壓縮態光場在激光干涉儀引力波探測器中的應用

王運永 韓森 錢進 張齊元 殷聰 王建波

摘要：激光干涉儀在引力波發現中起著關鍵作用，標準量子極限是干涉儀靈敏度進一步提高的主要障礙，壓縮態光場注入是超越標準量子極限的重要手段。分析了壓縮態光場的主要特點，討論了壓縮態光場的產生機制，介紹了壓縮態光場技術在超越標準量子極限中的應用。

關鍵詞：引力波;激光干涉儀;標準量子極限;壓縮態光場技術

中圖分類號：TH744.3 文獻標志碼：A

引言

引力波是愛因斯坦廣義相對論的重要預言，引力波探測是當代物理學最重要的前沿領域之一。隨著引力波天文學的蓬勃發展，要求激光干涉儀引力波探測器的靈敏度不斷提高，而壓縮態光場注入技術可提高激光干涉儀引力波探測器的靈敏度，使其突破標準量子極限。因此，本文對壓縮態光場特點、產生機制及應用進行探討。

1壓縮態光場

1.1相干態

光場壓縮態與光場的相干態密不可分，為了深入了解光場壓縮態的特性及獲取方法，我們有必要對光場相干態進行概括的介紹。

我們知道，量子力學中物理量是用波函數描述的，不在它本征態下的測量具有不確定性，設p和g是廣義坐標和廣義動量，根據海森堡測不準原理，有：△p△q≥h/2，而在經典力學中，對任何物理量的測量都是唯一的，即h=0。當式△p△q≥h/2取等號時，即當△p△q=h/2時，我們認為這種量子態是最接近經典的態。相干態和壓縮態就是這種最接近經典的態。實驗和理論均可證明，一臺理想的激光器所產生的激光就是相干態光場，它既是一個量子態又最接近經典物理的情況。

在傳統的經典光學中，人們以光是否具有產生干涉的能力作為相干光的判據。經典光場的干涉反映不同時空點光場的相位關聯程度，其相位關聯的相干性用一階相關函數來描述，利用相關函數可以定義相干度，經典光學中所說的相干光是一階相干光。它是一階相干度的絕對值等于1的光場。這種相干性實質上是對光場相位差的起伏加以嚴格限制，使光場相位差隨機起伏造成的噪聲受到限制，但是不能把光場起伏造成的全部噪聲加以限制。同樣我們可以引入二階相關函數，當一階相干度的絕對值為1，光場的二階相干度也等于1時，這樣的光場稱為二階相干光，二階相干光場對場量的隨機漲落多了一個限制條件，因而比一階相干光有更小的噪聲。從理論上講，我們可以引進多階的相關函數簇來描述光場的隨機性，對經典電磁場理論來說，當所有各階的相干度的絕對值都等于1時，光場所有場量的起伏都受到了限制，這種光場是嚴格意義上的完全相干光。這就是說，經典理論中的完全相干光應該是場量不存在任何起伏的無噪聲光場。

在量子光學中，同樣可以引進相關函數簇來描述光場的隨機性，完全相干光的定義與經典理論相似，只不過場量用算符表示，相關函數的形式也有所不同。在光的量子理論中，相干態光場是嚴格意義上的完全相干光。但是與經典理論的相干性不同，相干態光場不是無噪聲的光場，它的場量具有來自真空起伏的量子漲落。相干態是符合最小測不準關系的量子態。

1.2電磁場的正交相位算符和正交振幅算符

在量子光學中，光子的湮滅和產生算符a和a+為非厄米算符，其本征值是復數。我們知道，量子力學中的力學量是用算符來表示的，實驗上可觀測的物理量是實數，而在任何狀態下，厄米算符的本征值為實數，因此，實驗上可觀測的物理量要用厄米算符來表示。為了描述可觀測的物理量，我們需要用a和a+這兩個非厄米算符定義兩個新的厄米算符x1和x2：

由以上討論可以知道，在量子光學中，相干態同樣是電場和磁場最小測不準態，兩者起伏相同。相干態的粒子數起伏實質上是真空起伏，在利用位移算符將真空態演化成相干態的過程中光場的量子起伏保持不變。

1.3壓縮態

壓縮態與粒子數態一樣，是具有純量子性的光場態，沒有經典對應。在量子光學中，真空態，相干態和壓縮態都是最小不確定態，滿足海森堡不等式的下限，這一點和熱輻射態不同。真空態和相干態各向不確定性都相等，即：

利用正交圖我們可以知道，雖然量子力學中的海森堡測不準原理限定了“云”的最小面積，但是我們有權改變它的形狀。如圖2右圖顯示的那樣，當正交相位的不確定性△x2被壓縮減小的同時，正交振幅的不確定性△x1被擴大了，此時表示不確定性的圓發生了形變，它由正圓變成了橢圓。這就是所謂的壓縮橢圓。根據量子力學中海森堡測不準原理，壓縮后圓的面積保持不變。

在圖2中，左圖為相干態的正交圖，它說明，由于光的量子特性，激光束中的光子并不是全部都具有相同的振幅和相位，而是遵循一定的幾率分布，這個分布用圖中的“云“表示，云的最小面積由測不準原理限定。右圖為壓縮態的正交圖，它說明，正交相位的不確定性△x2被壓縮而減小但正交振幅的不確定性△x1被擴大，云的形狀由正圓變成橢圓，但面積不變。

2.2常規的非壓縮態光場量子噪聲應變譜密度的圖像表示

我們首先討論傳統的常規光場的量子噪聲應變譜密度的圖像表示，所謂傳統光場，指的是干涉儀中通常使用的常規光場，它是非壓縮態光場。傳統光場的量子噪聲可以分為有光一機耦合和沒有光一機耦合兩種情況，它們的應變譜密度的圖像表示是不同的。

量子噪聲的應變譜密度可以簡單地理解為“噪聲信號比”，它是大家熟知的信號/噪聲比（sNR）的倒數。在這里，噪聲指的是干涉儀中光量子漲落的幅度，而信號指的是引力波導致的光相位的變化。在激光干涉儀引力波探測器中，這種相位的變化顯示了兩臂長度差的變化。長度差是用干涉儀的信號增益標定的，干涉儀的信號增益是探測頻率的函數。當信號幅度是常數時，量子噪聲越低，被光量子噪聲限定的干涉儀的應變譜密度越低，即儀器的靈敏度越高。或者說，在量子噪聲水平不變的情況下，信號幅度越高，被光量子噪聲限定的干涉儀的應變譜密度越低，儀器的靈敏度越高。

應該指出，如果干涉儀受到局部干擾而使鏡子的位置發生移動，也會產生兩臂長度差的變化，從而導致光相位的變化，這種效應與引力波的作用是一樣的，也會在正交相位上顯現出來。這種干擾噪聲要用其他方法排除。

圖3給出了傳統的常規光場中被光量子噪聲限定的干涉儀的應變靈敏度的圖像。

在圖3中我們用虛線圓表示進入干涉儀系統內的光子態的不確定性的輪廓。用兩個箭頭E2和E1分別表示互相垂直的兩個正交量（正交相位與正交振幅）的漲落導致的光量子噪聲。圖3（b）給出了在沒有光一機耦合的情況下，輸入光場量子噪聲的圖像，可以看到，對相干態來說，兩個正交量中的噪聲E2和E1是完全沒有相互關聯的。

當引力波使干涉儀的臂長發生改變，會產生一個引力波信號（由于局部噪聲干擾使干涉儀的鏡子位置發生移動時，也會產生與引力波相同的效應），這個信號在圖中用小箭頭EGw表示，它出現在正交相位中。圖3（c）給出了在沒有光_機耦合時干涉儀輸出光場的圖像。

為了測量引力波信號，我們需要確定一個讀出角（也稱為正交角），在圖3（c）所示的簡單情況下，我們精確地讀出正交相位就能得到最好的信號噪聲比。因為在這種情況下，噪聲幅度對所有可能的讀出角都一樣大，但信號在正交相位方向（即在垂直方向）最大。根據這個原因，如果不另做明確的說明，我們總是選擇與正交相位嚴格相符合的方向進行讀出。需要指出，圖3（c）顯示的是沒有光一機耦合時的干涉儀的輸出光場圖像，這種情況僅在高頻區域或激光功率與鏡子質量之比非常低的情況下才是正確的。因為只有在這種情況下，光一機耦合才可以忽略不計。

當光一機耦合占主導地位時，事情就要發生巨大的變化。從圖3（a）中可以看到，輸入光場的相位漲落和振幅漲落產生的量子噪聲都作用在被懸掛起來的鏡子上（圖3（a）），輸入光場相位漲落在測試質量上不引起機械效應，但是它的振幅漲落通過輻射壓力耦合到測試質量上，導致測試質量位置的漲落，與引力波信號產生的作用相似，這種位置漲落作為一個附加成份也出現在正交相位上，如圖3（d）中的ERP所示。可以看出，通過光一機耦合從正交振幅耦合到正交相位的漲落使兩個正交量中的噪聲成分有了關聯。圖3（d）給出了在光一機耦合占主導地位的情況下干涉儀輸出光場的圖像。

需要指出，正交相位中的原初漲落E2與來自正交振幅漲落但通過光一機耦合而耦合到正交相位中的附加漲落ERP是有本質上的區別的，前者來自光的量子特性，后者是正交相位和正交振幅的相互關聯引起的（因此又稱為正交相位與正交振幅的關聯漲落），這種被引入的相互關聯漲落可以用來突破標準量子極限sQL。

在正交相位中由關聯漲落引入的輻射壓力漲落的幅度，即ERP的長度，直接由光場的功率來標定，而且與鏡子的質量及探測頻率的平方成反比。

2.3壓縮態光場量子噪聲的圖像表示

雖然海森堡測不準原理控制了正交圖像中圓的最小面積，我們仍然可以自由地改變圓的形狀，改變圓形狀的方法就是所謂的“壓縮光場技術”。如圖2所表示的那樣，如果光態的不確定性在一個正交參量（圖中是正交相位）中被壓縮而減小，那么必然以增加與之垂直的另一個正交參量（圖中是正交振幅）中的不確定性為代價。這時表示光子態不確定性的圓變成了橢圓。壓縮橢圓可以用三個參數來描述：

（1）壓縮水平和反壓縮水平，壓縮水平指的是未壓縮圓的直徑與壓縮橢圓短軸長度與之比，反壓縮水平定義為未壓縮圓的直徑與壓縮橢圓主軸長度之比。

（2）在正交平面內壓縮圓的取向，也稱為壓縮角。

（3）壓縮態光場的頻率。

在過去十幾年間，用于引力波探測器的壓縮態光場的產生技術取得了長足的進步，壓縮水平已超過12 dB，壓縮頻率可以降低到幾個赫茲。

壓縮態光場的量子噪聲也可以用正交圖像來表示，如圖4所示。當我們想利用壓縮態光改善干涉儀的靈敏度時，需要做兩件事：

（1）在我們期待探測的頻率產生足夠強的壓縮態光場。

（2）確定壓縮橢圓的取向，即根據實驗需要確定壓縮角。

比如說，我們想在高頻區域壓低光量子噪聲，提高引力波探測器的靈敏度，就需要注入相位壓縮光，因為我們的讀出角嚴格地與正教交相位方向一致，也就是要讓壓縮橢圓短軸的方向嚴格地平行于正交相位。圖4（b）給出了注入的相位壓縮光的圖像，從圖中可以看到，正交相位漲落的幅度E2因壓縮而減小，但正交振幅的漲落E1卻相應增大了。為了進行比較，我們在圖4（a）中也給出了未壓縮光場的圖像。從圖中可以看到，輸入的非壓縮光場中，正交相位的漲落E2和正交振幅的漲落E1是完全相等的。

當注入相位壓縮光時，圖4（b）中正交相位的漲落E2被壓縮而變短，正交振幅的漲落E1卻因此而變長。由于引力波信號的幅度保持為常數，因此在高頻部分我們可以改善信號噪聲比，從而提高干涉儀高頻區域的靈敏度（如圖4㈣中b2的右下圖所示），但是如圖4（b）中b2的左下圖所示，在低頻區域正交相位中的噪聲卻大幅度增加了，因為在對正交相位進行壓縮時，由于正交振幅的反壓縮效應，它的漲落增加了。這種漲落通過輻射壓力耦合到正交相位（圖4（b）中b2左下圖中的ERP）使正交相位中的噪聲大幅度增加。鑒于引力波信號EGW與壓縮水平無關，由于低頻區域的量子噪聲隨著相位壓縮光的應用而增加，總體上雖然我們在高頻區域提高了靈敏度，但在低頻端我們還是損失了靈敏度。

如果我們想在低頻區域提高干涉儀的靈敏度，就要注入振幅壓縮光使E1的長度因壓縮而變短，從而使耦合到正交相位中的輻射壓力噪聲ERP減小。雖然低頻靈敏度得到了改善，但是，這種改善是以犧牲高頻區域的靈敏度為代價的。因為在對正交振幅進行壓縮時，由于正交相位的反壓縮效應，E2要比未壓縮時變長一些，而我們的讀出是選擇在正交相位嚴格相符合的方向。

通過以上討論我們可以看到，注入純粹的相位壓縮光或純粹的振幅壓縮光我們僅能在探測頻帶的特定區域改善干涉儀的靈敏度。從定性的觀點來看，在理想的情況下（即壓縮水平嚴格地等于反壓縮水平），利用這種壓縮光技術得到的靈敏度變化與利用增加或減少干涉儀內激光功率得到的變化是完全相同的。因此我們得出一個重要結論：利用純粹的相位壓縮光或振幅壓縮光，不能使激光干涉儀引力波探測器的靈敏度在整個探測頻帶內突破標準量子極限sQL。但是，不容置疑，可以在特定頻段其靈敏度超越標準量子極限sQL。

3超越標準量子極限

3.1讀出角選擇

通過合理的方式注入壓縮態光場，可以使激光干涉儀引力波探測器的靈敏度超越標準量子極限sQL。

通常認為，精確地在正交相位中讀出干涉儀信號是理所當然的，因為利用這種讀出方法我們能得到最大的引力波信號。但是，利用不同的讀出角，我們也可以在干涉儀靈敏度的提高方面獲得益處。所謂不同的讀出角指的是讀出方向取正交相位和正交振幅的重疊，而不是嚴格地讀出正交相位。

下面我們以輸入傳統的非壓縮光場為例，用圖解的方法來說明讀出角選擇與靈敏度提高的關系。從技術觀點來看，利用圖5（a）給出的讀出方案，通過改變并選擇合適的讀出角，我們能夠在特定頻率上消除輻射壓力噪聲，從而在一個比較窄的頻帶內得到“亞標準量子極限”級的靈敏度。圖中所示的讀出方法，我們稱為“零差讀出”，又稱“同步檢波讀出”。

我們知道，在激光干涉儀引力波探測器的輸出端，我們需要從已調制信號中把引力波信號抽取出來。這個過程被稱為“檢波”。它是用一個與載波同頻同相的本振信號與已調制信號相乘來實現信號解調的。

零差檢波是在干涉儀主體部分之前的某個部位提取一些光并把它引導到輸出口，用做局部震蕩信號，這個與載波同頻同相的本振信號與輸出端的已調信號相乘，利用低通濾波器將低頻信號提取出來。

在圖5（a）所示的“零拍讀出”中，我們依靠移動局部震蕩光場相對于從主干涉儀出射的光場的相位，可以在讀出正交相位、讀出正交振幅或讀出它們之間的任意疊加方案中進行選擇。移動局部震蕩光場相位的方案很多，精密地微調局部震蕩光的光程就是一種簡單易行的方法。這種“零差讀出”，可以幫助我們減小量子噪聲，提高干涉儀的靈敏度。其工作原理可以用圖5（b）來說明。

在圖5（a）中，干涉儀的輸出口保持在干涉相消狀態，只有信號光能夠朝著光探測器方向傳播，并在光探測器上與在干涉儀主體部分之前的某個部位提取的光相“拍”。為了避免在讀出線路中出現“開路”現象，零差探測器中使用了兩個光二極管。調節相位移動器可以得到我們需要的讀出角。通過選擇合適的讀出角可以把輻射壓力噪聲的影響“抵消”。工作原理如圖5（b）所示，在圖中，E1的長度表示正交振幅中的噪聲，E2的長度表示正交相位中的噪聲，ERP的長度表示通過光一機相互作用E1到E2的耦合。我們知道，ERP的長度與觀測頻率有關，E1的長度雖然與ERP的長度有關聯但卻是與觀測頻率無關的。這就是意味著對于任何一個觀測頻率，一定存在一個特殊的讀出角，對于這個讀出角度來說，兩個相互關聯的矢量E1和ERP在讀出軸上的投影F1和ERP具有嚴格相等的長度。由于E1和ERP相互關聯但指向相反的方向，因此他們會嚴格地相互抵消。這樣以來，干涉儀的靈敏度就只由和EGw和E2的長度比來確定。在這種情況下，我們就在選定的觀測頻率上完全消除了輻射壓力噪聲的影響。

3.2頻率變化壓縮

前面的分析告訴我們，注入單純的振幅壓縮光或單純的相位壓縮光不可能在干涉儀的整個探測頻帶內壓低光量子噪聲，改善靈敏度。因此，利用這種壓縮光態不能突破標準量子極限sQL。然而，如果以頻率變化壓縮（或稱為頻率制約壓縮）的方式改變注入光的壓縮角，我們就有可能在干涉儀的整個探測頻帶內減小量子噪聲，從而能夠以超越標準量子極限的靈敏度進行寬頻帶測量。

從以前的討論中我們知道，激光干涉儀的靈敏度在高頻區域受限于霰彈噪聲，在低頻區域主要受輻射壓力噪聲中的ERP的限制，ERP是振幅漲落通過輻射壓力引起的鏡子運動，耦合到正交相位中造成的額外噪聲。因此，如果我們以探測頻率的函數來轉動壓縮橢圓，使得整個探測頻帶內總能得到最理想的正交量的壓縮，從而在探測器的整個探測頻帶內（而不是單一頻率上）減小量子噪聲，提高靈敏度。由于壓縮角的轉動是以頻率的函數進行的，我們稱這種的壓縮為頻變壓縮，也稱為頻率制約壓縮。其工作原理可以用圖6來說明。

圖6給出了頻變壓縮的正交圖像（我們在這里用了“頻變”一詞是為了區別于電子學儀器中的“變頻”電路）。如前所述，精確地讀出正交相位我們能夠得到最好的信號噪聲比，因此在圖6中，對所有的探測頻率我們都讀出正交相位。在高頻區域，使用相位壓縮技術來降低光量子噪聲，降低的數值完全與注入純粹的、頻率無關的相位壓縮時得到的結果相等。由于相位壓縮光的注入減小了量子噪聲，干涉儀的靈敏度在高頻區域得到了提高。但是我們也知道，在低頻區域靈敏度卻降低了。由于這時感興趣的探測頻率在高頻區域，在低頻區域我們沒有運作。對它不做任何考慮。

當探測頻率朝著頻帶的低頻端改變時，我們讓壓縮橢圓連續地從相位壓縮向振幅壓縮轉動，轉動過程中的關鍵在于要讓正交振幅中原初E，矢量的長度減小，使得通過輻射壓力導致的鏡子運動耦合到正交相位中的噪聲較小，即正交相位中附加的ERP的長度減小。其結果使低頻區域的信號噪聲比sNR大于未壓縮時的情況。

圖7給出了使用純粹相位壓縮以及頻變壓縮時簡單干涉儀的量子噪聲譜。圖中曲線（1）為標準量子極限，曲線（2）表示沒有使用壓縮態時常規干涉儀的量子噪聲譜，曲線（3）表示利用純粹相位壓縮時的量子噪聲譜，曲線（4）表示利用頻變壓縮時的情況。底部的橢圓表示在探測頻帶的不同頻率注入壓縮光的壓縮橢圓的最佳取向，它表明，頻變壓縮技術可以在較寬的頻帶內使量子噪聲減小到標準量子極限之下。

壓縮光場是量子光學中的一種非常重要的非經典光場，壓縮態在光通信、微弱信號檢測、高精度干涉測量等方面都有重要的應用。

4結束語

引力波的發現是一項劃時代的科學成就，它標志著困擾科學家百年來的物理學難題得以破解，引力波天文學完成了從尋找引力波到研究天文學的歷史性轉折。以第三代激光干涉儀引力波探測器為基礎的引力波天文臺的建立，必將迎來引力波天文學蓬勃發展的新時代。當前世界各大實驗室都投入大量人力物力對第三代激光干涉儀進行前期研究，靈敏度直指10^-24，由光的量子特性產生的標準量子極限是提高靈敏度必須克服的障礙。壓縮光場技術的研發和應用為突破標準量子極限提供了強有力的技術支持。