電子在恒定均勻電磁場中的阻尼運動

周

（北京 100007）

關于晶體的電阻和霍爾效應的嚴格理論雖然已經很成熟，但是由于嚴格理論在數學技巧上比較復雜，缺乏一定的物理直觀，如何利用一個簡單的物理圖像給出電阻和霍爾效應的描述是本文的目的所在。本文提出了一種描述帶電粒子在導體中運動的非常簡單的方法。把磁場中物質的導電行為，模型化為帶電粒子在恒定的均勻電場和均勻磁場中的線性阻尼運動，也即物質中載流子的運動受到電場力、洛倫茲力和正比于速度的阻力。模型十分簡單的同時又保證了足夠的正確性，給出了一種在生活生產中應用廣泛的電阻和霍爾效應的快速估算方法。

1 模型的建立

通常電子在導體中的運動，是外加電場、晶格離子所形成的電場共同作用的結果，如果再考慮外加恒定均勻磁場下的霍爾效應，電子還會受到洛倫茲力。導體中存在穩恒電流的情況下，其內部存在著恒定電場，這個電場實際上是外加電動勢所提供的，如果考慮均勻無限大導體，該電場在空間上處處均勻。另一方面，晶格的熱運動和離散性使晶格形成的電場隨時間、空間變化，精確地描述該項電場力很困難。實際上晶格電場的主要貢獻在于電子受到該電場力的碰撞和散射作用，從而形成阻力，在最簡單的近似中，我們可以將該阻力處理為的形式。因此，在這個最簡單的模型中，上述方程足以描述導體中的導電行為。

我們將上述方程寫成分量形式，得到：

2 運動方程的求解

這是一個速度大小趨近于零的運動，無論初速度的取值為多少。

3 電阻和霍爾效應

實際上，很多物質的電阻率或多或少會隨著磁場發生變化，這個現象實際上可以利用多通道電流的模型給出解釋。原子中的電子有著不同的軌道，一些遠離原子核的電子可以自由運動，來自不同軌道的自由運動電子可以有著不同的有效質量；同時，不同軌道電子受到晶格的阻礙作用也不相同，這些都會造成阻尼不相同。可以認為，物質中的電子在運動的過程中，互相獨立，沒有影響。考慮最簡單的情形，只有兩種電子軌道貢獻電流，這就是雙通道電流模型。該模型下，，和是兩個不同軌道電子對總電流的貢獻，的表達式和一致，不過相應的電子數密度和阻尼需要使用相應通道的電子的取值，此時得到，利用矩陣的求逆，我們得到電阻率為：

4 結語

本文使用了一個非常簡單的模型給出導體中電阻率和霍爾效應的計算結果，該結果能夠很好地解釋某些物質的導電性質。本方法可用于估算某些材料的電阻率，設計霍爾器件，制作傳感器等，在生產生活中應用廣泛。模型可以進一步推廣，例如可以考慮在交變電場中電子的運動，此時求解電子的運動方程，可以得到和電場同頻率的振動，這個振動所造成的電流就是一個交流電，這可以用來解釋物質導電的交流性質。