變速運動可壓縮夾層梁穩定性的直接多尺度分析

顏 婷， 楊天智,2， 丁 虎， 陳立群,3

(1.上海大學 上海市應用數學和力學研究所，上海 200072；2.天津大學 力學系，天津 300072；3.上海大學 力學系，上海 200444)

軸向運動結構廣泛存在于航空航天、機械、軍事等領域。另一方面，在航空航天領域，對材料有著特殊的要求。復合材料夾層梁是由表面很簿、但強度要求高的約束層，和中間較輕的夾心層組成，其輕質、高強度特征，使其在航空航天領域得到廣泛應用。

目前，對軸向運動連續體的研究主要集中在各向同性的均質材料，很少將夾層結構考慮到軸向運動梁的建模與分析中。Wickert[1]用能量法建立了運動梁非線性振動的控制方程。陳樹輝等[2]用增量諧波平衡法分析了運動梁的內共振響應。丁虎等[3]運用微分求積法分析了在受迫振動時軸向運動梁的穩定性。王波[4]分析了運動梁穩定性區域受軸向拉力的影響。楊鑫等[5]分析了在熱沖擊作用下兩端簡支運動梁的穩定性。Yang等[6]研究了多頻激勵下黏彈性梁的近似解。Ding等[7]分析了3∶1內共振下黏彈性梁的穩態響應。

隨著復合材料結構的廣泛應用，研究人員逐漸開始關注其動力學特征。Ray等[8]討論了不同邊界條件下夾層梁的穩定性。Yang等[9]用狀態空間法解決了不可壓縮夾層梁的復模態問題。Lü等[10]分析了不可壓縮的帶有軸向脈動速度的夾層梁的運動穩定性。Khdeir等[11]應用有限元方法對不可壓縮夾層梁進行了屈曲分析。以上文獻都忽略了夾心層的可壓縮性。

Frostig等[12]運用高階梁理論得到了可壓縮夾層梁線性和非線性的控制方程。Dwivedy等[13]分析了周期荷載作用下軟夾層梁的穩定性。Marynowski等[14]分析了帶有黏彈性軟夾心的軸向運動夾層梁的動力學特性。呂海煒等[15]分析了夾心層的厚度與臨界速度的關系。Chakrabarti等[16]基于zig-zag梁理論對軟夾層梁進行了屈曲分析。Vo等[17]用準三維理論對復合層合梁進行了彎曲分析。Yang等[18]分析了軟夾層梁夾心層的剪切模量對臨界速度和固有頻率的影響。以上文獻考慮了夾層梁夾心層的可壓縮性，但都沒有考慮速度周期變化對系統動力學的影響。

這些工作中，對可壓縮夾層梁的參數振動方面的研究尚屬空白。本文考慮帶有速度脈動的可壓縮夾層梁，利用直接多尺度法，分析了變速運動軸向運動梁的穩定性問題。

1 直接多尺度法

上下約束層僅承受軸向力，中間夾心層僅考慮剪切變形的夾層梁的無量綱控制方程為

(1)

式中:w(x,t)為運動梁的橫向位移，是軸向坐標x和時間t的函數；Y為夾層梁彈性模量和剪切模量的比值，文中簡稱模量比值。

兩端鉸支的邊界條件為

(2)

假定速度圍繞平均速度c0作簡諧脈動，即

c=c0+εc1sin(Ωt)

(3)

式中:ε,εc1非常小，εc1為速度脈動振幅；Ω為速度脈動頻率。

將式(3)代入式(1)，作ε的一次近似，有

(4)

對式(4)應用直接多尺度法，設其一階近似解為

w(x,t;ε)=w0(x,T0,T1)+εw1(x,T0,T1)+…,

(5)

式中：T0=t為快時間尺度，是由于梁某階固有頻率ωk而引起的；T1=εt為慢時間尺度，是由于速度小擾動而引發的振幅及相位慢變。

(6)

式中：Dn=?/?Tn，將式(5)和式(6)代入式(4)，然后分離ε0和ε1不同階量，得到

(7)

(8)

式(7)的解可以寫為

(9)

其中兩端鉸支的模態函數可以表示為[19]

(10)

將式(9)代入式(7)，再引入鉸支邊界條件有

(11)

(12)

2 固有頻率分析

利用式(11)和式(12)，由試根法可以得到夾層梁各階的固有頻率。圖1～圖3給出了彈性模量與剪切模量的比值在不同速度下對固有頻率的影響。

由圖1可知,與經典軸向運動梁一樣，夾層梁的固有頻率隨著速度的增大而減小。對于夾層梁，當彈性模量與剪切模量比值增大時，夾層梁的固有頻率減小。由圖2可知，當彈性模量與剪切模量比值小于0.2時，模量比值的增大對固有頻率的影響較大；當模量比值大于0.2時，模量比值對固有頻率的影響則趨于平緩。由圖3可知，在速度較大時，模量比值對前兩階的固有頻率影響較大，即速度越大，改變模量比值對前兩階固有頻率的影響越明顯。

圖1 模量比值取不同的值時前兩階固有頻率和平均速度的關系Fig.1 The relationship between the mean speed and first two natural frequencies at different modulus ratios

圖2 速度取不同的值時模量比值對前四階固有頻率的影響Fig.2 The effect of modulus ratio on the first four order natural frequencies at different speeds

圖3 不同速度時模量比值與固有頻率的關系Fig.3 The relationship between the modulus ratio and natural frequencies at different speeds

3 穩定性邊界及參數的影響

取m階和n階主模態，考慮速度脈動頻率為

Ω=ωn+ωm+εσ

(13)

式中：當m=n時，為次諧波共振；當m≠n時，為組合共振[20]。

將式(9)及式(13)代入式(8)，有

(14)

式中：cc和NST分別為前面所有項的共軛項和非長期項。由可解性條件可得

(15)

(16)

其中，

(17)

(18)

令

An=BneiσT1/2,Am=BmeiσT1/2

(19)

將式(19)代入式(15)和式(16)中，可得

(20)

(21)

假設式(20)和式(21)的解有如下形式

(22)

式中：bn,bm為實數。將式(22)代入式(20)和式(21)，有

(23)

(24)

3.1 梁平均速度對失穩邊界的影響

由梁的線性控制方程，在已知平均速度c0以及彈性模量和剪切模量的比值Y時，利用前文提及的試根法可得到兩端鉸支條件下梁的各階固有頻率。現分析梁的軸向平均速度和模量比值對一階次諧波、二階次諧波及和式組合三種不同共振失穩區域的影響。

當模量比值Y=0.1時，梁在不同軸向平均速度下三種共振失穩區域的情況，如圖4所示。由下圖可知，當軸向平均速度增大時，運動梁的共振失穩區域略有縮小；而梁平均速度對三種共振失穩區域的影響，主要表現在使梁固有頻率發生改變。ω-c1平面上為運動梁的三種不同的共振失穩區域，其中曲線頻率內軸向運動梁產生共振。

3.2 彈性模量與剪切模量的比值Y對失穩邊界的影響

當c0=2.0時，不同彈性模量與剪切模量的比值Y對三種共振失穩區域的影響，如圖5所示。由圖5可知，當彈性模量與剪切模量的比值Y增大時，ω-c1平面上失穩區域有所增大。彈性模量與剪切模量的比值Y對共振失穩區域的影響也主要表現在使運動梁固有頻率的改變。

圖4 梁平均速度對失穩區域的影響Fig.4 Influence of beam mean speed on instability region

圖5 彈性模量與剪切模量的比值對失穩區域的影響Fig.5 Influence of the ratio of the elastic and shear modulus on instability region

3.3 三種共振的比較

考慮帶有脈動的軸向運動梁，其模量比值為Y=0.4，軸向平均速度為c0=1。三種不同的共振在σ-c1平面上的失穩區域，如圖6所示。從圖6可知，第一階次諧波共振時，運動梁失穩區域的范圍最大。

圖6 共振失穩區域Fig.6 Resonance instability region

3.4 可壓縮夾層梁與普通不可壓縮梁的比較

當c0=2.0時，Y=0(普通不可壓縮梁)和Y=0.01,Y=0.02(可壓縮夾層梁)時，第一階次和第二階次諧波共振的穩定性比較，如圖7所示。從圖7中可知，與經典的不可壓縮的軸向運動梁相比，可壓縮夾層梁的失穩區域較大，即可壓縮夾層的引入，會導致運動梁的失穩區域增大。

圖7 共振失穩區域Fig.7 Resonance instability region

4 結 論

本文研究的是帶有速度脈動的可壓縮夾層梁。其中表面層為薄膜結構，中間層為軟夾心層；這里假定表面層僅承受軸向力，中間夾心層僅考慮剪切變形。通過試根法得到夾層梁的固有頻率，以及彈性模量與剪切模量的比值對夾層梁固有頻率的影響。與經典軸向運動梁一樣，當軸向平均速度增大時，夾層梁的固有頻率減小。對于軟夾心層梁，當彈性模量與剪切模量比值增大時，夾層梁的固有頻率減小。此外，當彈性模量與剪切模量比值小于0.2時，改變模量比值對固有頻率的影響較大；當彈性模量與剪切模量比值大于0.2時，改變模量比值對固有頻率的影響較小。同時在速度較大時，模量比值對固有頻率的影響較大，即速度越大，改變模量比值對固有頻率的影響越明顯。利用直接多尺度法分析了軸向帶有脈動速度的夾層梁的穩定性邊界，發現夾層梁的失穩區域會隨著平均速度的增大而略有縮小，而彈性模量與剪切模量的比值增大會導致失穩區域增大。發現與不可壓縮運動梁相比，由于可壓縮夾層的引入，梁的固有頻率和臨界速度均降低；且梁的失穩區域有所增大。由此可以分析得到，在一定的條件下，可以通過增大中間夾心層的剪切模量，從而達到使夾層梁失穩區域縮小的目的。