高職高專高等數學課程文化因素二次開發初探

匡 榮

（萍鄉學院 工程與管理學院，江西 萍鄉 337000）

近年來，大學課堂中數學文化的教學與傳播越來越受到重視。如南開大學的顧沛教授在2001年開設了“數學文化”選修課，旨在提高大學生的數學思維素質和數學文化素養。吉林大學的李輝來教授以及北京航空航天大學的李尚志教授也分別于2002 年、2006 年開設了有關數學文化的課程。此后，越來越多的高校也開設了與數學文化相關的課程，越來越多的老師開始研究數學文化。相比較而言，在高職高專高等數學教學中，由于學生的數學基礎相對較差、課時量相對較緊，數學文化的傳播還幾乎是空白空缺。高職高專學生對數學文化素養的認識水平和具備的素養都不高[1]。大部分高職高專的學生甚至教師對數學文化的認知不夠全面，認為數學只是學習專業知識、單純解決數學問題的工具，是專升本考試或研究生考試的一門課程，不能從更高層次認識和理解數學文化的重要性。教師在高等數學課程的教學中，也不注重對教材中的數學文化進行挖掘和二次開發，沒有對數學文化知識進行總結和傳播，對數學課程的教學也就滿足于夠用即可，點到為止，沒能致力于對學生數學思維素質和數學文化素養的培養[2]。然而，加強對高等數學課程文化因素的挖掘和二次開發，能有效激發高職高專學生的學習興趣，提高高數課程的學習效果。

一、課程二次開發的概念

教學過程中對課程的二次開發，最重要的是對教材的開發。教材是課程的載體，一門課程的教學理念、教學目標、教學內容都是通過教材來進行表達和傳遞。因此，課程的二次開發，主要是指教師根據教學對象的區別，按照自己的教學理念，在靈活對標課程標準的基礎上對教學內容（主要是教材內容）適度地予以調整、增刪和加工，并合理開發和補充其他教學材料，從而使之能夠更好地滿足學生的學習需求和教師的教學要求。課程二次開發的過程是以教材為依托，但又超越教材本身。具體做法包括以下三種，一是創造性的運用既有教材，重點體現在對教材內容的挖掘和選擇等方面；二是對其他教學資料進行選擇、優化和整合；三是通過自主開發其他的教學資源，延伸課程的廣度和深度[3]。高職高專高等數學課程文化因素的二次開發，也需依托現有的教材，充分挖掘數學文化因素，加以引申和歸類，達到豐富學生數學文化知識，提升數學文化素養的目的。

二、高等數學課程文化因素二次開發的意義

（一）能激發學生的學習興趣、培養學生的科學精神

當前，高職高專學生的數學基礎相對較差，對數學課程多有畏難情緒，對數學這門科學中所蘊含的數學思想方法普遍缺乏較全面的理解[4]。如果老師在授課時照本宣科地按照大綱要求將知識點一一講授，勢必使大多數學生望而卻步，對數學這門課程失去信心和興趣。因此，教師對教材中所蘊含的數學文化因素進行提煉整合、二次開發就顯得非常必要。數學文化具有三方面的特征，一是豐富的美學特征，以至于被稱為科學美的皇后；二是數學語言是傳播人類思想的重要載體，具有明確、簡潔、嚴謹的特點；三是數學文化是自然與人之間的樞紐，也是社會與人之間的樞紐，數學一直是解決科技問題和社會問題的關健[5]。基于以上特征，對課程中數學文化的挖掘與開發不僅能激發學生的學習興趣，同時還能培養學生的科學精神。

數學文化與其他文化有著密切的聯系。如音樂的樂譜是可以通過數學符號來標示，文學作品中的詩詞，生物、化學、計算機等學科中的標數和計算，都離不開數學知識。通過對這些數學文化因素的提煉挖掘、二次開發，可以有效地把數學課程中抽象、低效、靜態的學習情境，轉化為形象、高效、動態的學習情境，從而有效地激發學生的學習興趣。同時，數學還是一門嚴謹的科學，其所蘊含的求真、求實、創新等科學精神一直是人們所追求的。沒有數學家的堅持不懈、追求真理的科學精神，也就不可能有如今科技的不斷發展。在教學中教師可將科學史與數學知識結合起來，引導學生樹立一種求真、求實等科學精神。如在講解微積分時，可以結合其曲折的發展史，講述牛頓與萊布尼茨創立了微積分后，由于只給出計算，推導不嚴謹，理論基礎不牢靠，因而遭到了英國大主教貝克萊針對其求導過程中的無窮小的模糊展開的百般責難，引發二次數學危機。危機后，包括柯西、維爾斯特拉斯在內的數學家們在接下來的200 年里通過不懈的鉆研，才逐步建立了牢固的微積分基礎理論。通過以上數學文化知識的挖掘，普及了數學知識發展的背景和過程，培養了學生求真、求實、創新的科學精神。

（二））能有效解決高職高專課時量緊、不能開出新課的問題

高職高專院校學生在校學習時間一般為三年，在教學計劃安排過程中，總體上覺得時間較緊，要安排的課程多，很難開出專門的數學文化類課程。因此，加強對高等數學課程文化因素的二次開發就顯得尤為重要。教師結合數學史，數學在生活中的應用等知識，通過對教材內容的挖掘、整合和提煉，可以開發、歸納出眾多數學文化專題知識。在教學實踐中，教師再將這些知識融入到教學內容中進行講授，有效地解決課時量緊、不能開出專門的數學文化課程的問題。

三、 高等數學課程文化因素二次開發的探索與實踐

（一）教師在高等數學課程文化因素二次開發中的角色實現

在高等數學教學中，由于教師教學任務重且部分教師觀念陳舊，對數學知識的傳授大多是填鴨式的灌注。此時教師成了教材內容的復述者，照本宣科的“教書匠”。同時，由于數學的教學內容理論性太強，部分教師的教學與實際生活脫節嚴重，造成學生認為數學學習枯燥乏味，從而缺乏興趣，導致上課沒有活力。這種現象在高職高專中尤其如此。針對這種情況，教師要更新教學理念，轉換教學模式，變換教學角色。教材是教師開展課堂教學的重要依據。教材中篇章的順序安排，例題的選擇，甚至課后練習的選擇都是經過教材編寫者反復論證、深思熟慮而形成的。因此，高職高專的數學教學中，教師作為課堂實施者，首先是要吃透教材，深刻領會教材的編寫意圖。在理解編寫意圖的基礎上，針對不同的教學對象，教師需要變通處理教材的方式。從數學文化的角度對教材進行二次開發，根據教學對象和教學情境，適度對課程內容進行增減和調整，是行之有效的變通使用數學教材方法之一。教師通過對教材數學文化內容的積極開發和優化整合，能充分調動學生的積極性，改變學生對數學課程的認知，從而有效提高他們對數學這門課程的興趣。其次，在教學手段上充分利用現代教育技術，將黑板板書與多媒體有機地結合起來，借助多媒體將數學課程文化合理、有效地開發。

高等數學課程文化因素二次開發的基本理念不僅僅是簡單地“教數學文化”,更是“用數學文化教”，即從數學文化的角度對教材進行二次開發和處理。基于此，在課程教材數學文化二次開發方面，教師必須從消極的課程實施者轉變為積極的課程數學文化開發者[6]。他們必須掌握豐富的數學史知識，深刻領會真正的數學思想和精神，了解一些數學家的奇聞異事，數學知識的發現和發明故事，等等。更重要的是，他們要通過課堂將這些知識傳遞給學生，從而激發學生的好奇心，培養其學習數學的興趣。

（二）學生也是高等數學課程文化因素二次開發的主體

傳統的高等數學授課模式，大多是教師在講臺上一味地講，學生在下面興趣索然地聽，學生在課堂上不能積極地反饋信息。教學中缺乏學生的主動參與，以“學生為中心”的理念就沒有得到實施，教學效果也就會大打折扣。因此，學生也該是課程實施的主體，他們同樣可以從文化因素的層面對高等數學課程進行二次開發，從而也成為教材文化因素二次開發的主體。教材是教師和學生對話和交往的重要介質。學生參與高等數學課程文化因素二次開發過程，實際上是他們作為課程和教材實施主體的一種實踐。他們通過積極參與課程二次開發，使自己由被動地參與變成主動的“作為”，從而激發他們對課程本身的興趣，以致產生正面的、積極的效應。

學生作為高等數學課程“二次開發”的主體之一，意味著他們從課程的被動接受者變為主動參與者, 可以根據課程的目標以及自身的需要,和教師一起對教材進行再開發。學生參與教材的二次開發，其重點不僅僅在于理解和吸收教材中的知識，還要對教材中的數學文化也進行挖掘和整合，這樣才能從更深的層次掌握數學知識和原理。他們需要站在教材開發者的角度進一步評估教材、認識教材，梳理教材中的文化因素。這種全新的視角能促使他們“換位思考”，進一步激發他們學習高等數學課程的積極性和主動性[7]。

（三）高等數學課程文化因素二次開發的方法與技巧

首先，教材的選擇非常重要。誠然，優秀的高等數學教材并不少，但現行的高職高專的高等數學教材在編寫和內容組織中過分強調數學知識的系統性、抽象性、完備性、嚴密性和技巧性，忽視了數學課程文化因素。由于缺少文化因素，缺乏美感、缺少活力，學生解答完數學題后，并未深化其對數學的創新性和探究性的理解。在他們印象中只留下一些應試的技巧，未知數和符號搭建的骨架以及枯燥的理論。所以教師選教材時，首先要選擇那些數學文化因素較豐富的教材，即選擇那些有應用知識的閱讀材料，或應用實例較多、能將數學建模和數學實驗的思想方法融入例題的教材。比如，在導數、定積分、級數以及微分方程等教學內容中，便可穿插數學建模的內容。另外可以選擇在特定章節后附上適量數學文化方面閱讀材料的教材，如數學問題的歷史背景、數學家的治學故事、數學應用的實例等材料。

其次，要充分挖掘高等數學教材中的數學文化資源。大多數高等數學教材是按照嚴密的邏輯推理的原則以及逐步推進的順序編寫的，沒有過多的文化色彩。這就要求教師對教材進行二次開發，挖掘和提煉教材中的數學文化。如：在運用微分方程求解出懸鏈線的時候，可以聯系生活實際，舉例說明我們所見所聞的懸鏈線。通過解懸鏈線方程，我們知道兩電線桿之間的電線就是懸鏈線。此外，放飛天空的風箏線、夜間蜘蛛吐出的蜘蛛絲、美國密蘇里州1965 年建成的圣路易斯大拱門的拱線、我國浙江紹興的清代石拱橋等等，都是懸鏈線。甚至連大家小時候吹過的肥皂泡都與懸鏈線有關——實際上肥皂膜就是懸鏈線繞一條軸旋轉形成的旋轉體。盡管如今我們知道以上平日里隨處可見的曲線都屬于懸鏈線的范疇，但在德國大數學家萊布尼茨給出懸鏈線方程證明前，它們竟然一直被誤以為是拋物線。其后年僅24 歲的瑞士數學家約翰·伯努利也證明了懸鏈線的有關問題，長期以來的錯誤觀點才得以否定。通過輔以故事與實例，學生們才會發現，數學是多么的神奇而有趣。

最后，在授課中，要根據教學內容的需要嵌入合適的數學文化知識。數學一直以來都被認為是一門條理嚴謹、思維縝密、邏輯性強的學科。因此學生在聽課過程中，必須集中思想，跟上教師的思維，才可能真正學進去。教師在授課過程中不能拘泥一種形式，要變通方式加以引導，如適當嵌入名人數學典故等文化知識，使學生能領悟到數學的思想，激發他們自主探索的精神。在教學實踐中可以使用以下兩種不同的方式對數學文化進行穿插。一是以實驗輔助教學。如講到蒲豐投針問題（Buffon’s needle problem）時，可以在教學過程中安排學生親身體驗著名的蒲豐投針實驗。18 世紀末，年逾古稀的蒲豐在家宴請賓客時做了一個投針實驗，實驗結果顯示，在等距的平行線間隨機投長度為平行線間距半長的針，針與平行線相交次數與總的投針次數之比竟然正好是圓周率的近似值！同時他還提出投擲的次數越多，求出的圓周率近似值越精確。為了使同學們能夠自主探索，增強動手實踐的能力，在課堂上，可將學生分為了幾組，每組設定不同的投擲次數，用事先提醒其準備好的畫了等距平行線的白紙與平行線間距半長的牙簽，驗證蒲豐投針的結果。在結論得出后，再運用概率論和微積分對其進行證明。此舉能有效地提高學生的興趣和教學的效果。二是以背景豐富課堂。在進行歐拉公式的講解時，可以講述其發明者歐拉的治學精神和對科學的貢獻。萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）出生于瑞士，數學中常常可見以他的名字命名的定理、公式等，如初等幾何的歐拉線，連接自然對數的底數e 與圓周率π、虛數單位i 與自然數單位1 的歐阿恒等式，幾何學中的廣義歐拉公式等（eix=cosx+isinx,eπi+1=0,V+F-E=2）。杰出如他，卻在28 歲淪為獨眼，56 歲又患白內障以致徹底雙目失明，但他卻在病痛下一直堅持著包括數學在內的眾多領域的科學研究，直至逝世。在歐拉的時代里，他的研究涉及當時幾乎所有數學領域。據統計：他一生中寫了427 本著作，866 篇論文[8]，無愧其“最多產”的數學家之名。通過講述歐拉的有關背景知識，不但充實了課堂內容并加深了學生印象，其鍥而不舍的鉆研精神也有助于進一步推動學生繼續數學的學習。