數(shù)列易錯題分析

■河南省沈丘縣第一高級中學 劉 玉

易錯點1：求通項公式時，弄錯首項致錯

例1 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,3an+1=Sn(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項公式。

錯解：由3an+1=Sn,可得3an=Sn-1(n≥2),兩式相減可得3an+1-3an=Sn-Sn-1=

所以數(shù)列{an}是以1為首項,為公比的等比數(shù)列,所以

正解：由上述分析可得又,所以數(shù)列{a}從第二項起是n以為公比的等比數(shù)列,即首項為所以當n≥2時

分析：本題易忽視首項與所有項的整體關(guān)系,事實上,數(shù)列{an}從第二項起,以后各項組成等比數(shù)列,而{an}不是等比數(shù)列,因此等比數(shù)列的首項不是a1。

易錯點2：忽略數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別致錯

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=若數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍是( )。

錯解：因為{an}是遞增數(shù)列,所以解得正解：因為{an}是遞增數(shù)列,所以

解得2＜a＜3。

分析：實際上,數(shù)列可以看成是特殊的函數(shù),它的定義域是自然數(shù)集,圖像是一系列孤立的點,所以該題不能直接按照函數(shù)的方法處理。

易錯點3：忽略等比數(shù)列中的隱含條件致錯

例3 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=1,an+1=,試探究是不是等比數(shù)列,并求an。

錯解：因為an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ),即

又a1+λ=1+λ,故數(shù)列{an+λ}是以1+λ為首項,2為公比的等比數(shù)列。

所以an+λ=(1+λ)·2n-1,即an=(1+λ)·2n-1-λ。

正解：因為an+1=2an+λ,所以an+1+λ=2(an+λ)。

又a1=1,所以當λ=-1時,a1+λ=0,此時數(shù)列{an+λ}不是等比數(shù)列。

當λ≠-1時,a1+λ≠0,故an+λ≠0,所以數(shù)列{an+λ}是以1+λ為首項,2為公比的等比數(shù)列。此時,an+λ=(1+λ)·2n-1,即an=(1+λ)·2n-1-λ。

例4 已知等差數(shù)列{an}中,a1=2,a1,a2,a3+2成等比數(shù)列,則等差數(shù)列{an}的前10項和等于____。

錯解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,由a1,a2,a3+2成等比數(shù)列,可得a22=a1(a3+2),即(2+d)2=2(4+2d),化簡得d2=4,所以d=2或d=-2,因此-70。

正解：當d=-2時,a2=0,a1,a2,a3+2不能構(gòu)成等比數(shù)列,故d=2,所以S10=10×

分析：兩題的易錯點相同,同學們易忽略等比數(shù)列中的隱含條件“各項均不為0”,做題時要注意檢驗。

例5 已知數(shù)列｛an｝滿足a1=0,an+1=n pn+an,求數(shù)列{an}的通項公式。

錯解：由an+1-an=n pn可得,當n≥2時,an-an-1=(n-1)pn-1。

由累加法可得an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-1-an-2)+(an-an-1)=0+p+2p2+3p3+…+(n-1)·pn-1(n≥2)。

所以p an=p2+2p3+…+(n-1)pn。兩式相減得an-p an=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn。

當p=0時,an=0。

當p=1時,當n=1時,a1=0也適合。

由①-②得an-p an=p+p2+p3+…+pn-1-(n-1)pn。

當n=1時,a1=0也適合。

分析：本題p=0時,{an}是各項均為0的常數(shù)列,而p≠0時,在利用錯位相減乘公比時,公比不能為1,因此要討論p=0,p=1,p≠0且p≠1三種情況。

易錯點4：忽略數(shù)列的定義域是正整數(shù)集致錯

例6 已知各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,an,使得,則的最小值為( )。

錯解：依題意可得a5q2=a5q+2a5,所以q2-q-2=0,所以q=2。

正解：上式當且僅當即時取等號,與m,n∈N*矛盾。

結(jié)合對勾函數(shù)圖像,當m=1,n=5時,;當m=2,n=4時

分析：數(shù)列的定義域是正整數(shù)集,不能取分數(shù),在利用基本不等式時要注意檢驗等號成立的條件是否滿足。