掃描統計解題中的思維誤區

■苗子涵

本文針對統計解題中常見的易錯、易混、易忘的典型問題進行錯解剖析，幫助大家識破命題者精心設計的陷阱，希望對同學們的學習有所幫助。

誤區1：對系統抽樣的特征理解不到位

例1中央電視臺動畫城節目為了對本周的熱心觀眾給予獎勵，要從2014名小觀眾中抽取50名幸運小觀眾。先用簡單隨機抽樣從2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系統抽樣方法抽取50人，則在2014人中，每個人被抽取的可能性（ ）。

A．均不相等

B．不全相等

錯解：應選A或D。

剖析：上述解法對個體的入樣可能性與抽樣間隔理解不透。認為由于剔除14人，被抽取到的機會就不相等了，從而錯選A。由于利用了剔除后的數據計算，從而錯選D。

正解：在系統抽樣中，若所給的總體個數不能被樣本容量整除，則應先剔除幾個個體。本題應先剔除14人，然后再分組，在剔除過程中，每個個體被剔除的機會相等，也即每個個體被抽到的機會都相等。故在2014人中，每個人被抽取的可能性均為應選C。

警示：當總體容量較大，總體可以分為均勻的幾個部分時，用系統抽樣較為合理，當總體容量除以樣本容量不是整數時，要先在總體中剔除部分個體。總體中的每個個體被剔除的機會是均等的，也就是說每個個體不被剔除的機會也是均等的，由此可知在整個抽樣過程中每個個體被抽到的機會仍然相等。設在第1段內用簡單隨機抽樣的方法確定的個體編號為a1，按照系統抽樣，則抽取樣本an滿足（N為總體容量，n為樣本容量）。

誤區2：忽視分層抽樣的特征

例2某單位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，為了調查他們的身體情況，需從中抽取一個容量為36的樣本，則適合的抽樣方法是（ ）。

網課是一個更新潮的東西，它是在互聯網的發展下形成的，通過網絡的連接，將老師上課的視頻錄下來，通過視頻的方式演示，還可以隨時返回，重復觀看。這種學習方法對現在的人來說是一種十分受歡迎的方法，尤其是在大學時期，許多學生要自學去考試考證，但又不能耽誤自己平時的專業課，所以網課對他們來說就是很好的一種選擇，既能隨時觀看，又能根據自己的時間去安排學習的時間，學習的時間長短，是很方便的，但這種學習方法需要自己有很好的自控能力，能夠抵擋住外界的誘惑，專心學習。

A．簡單隨機抽樣

B．系統抽樣

C．直接運用分層抽樣

D．先從老年人中隨機剔除1人，再用分層抽樣

錯解：因為總體由差異明顯的三部分組成，所以可考慮用分層抽樣。因為總人數為28+54+81=163，樣本容量為36，按抽樣時無法得到整數，因此考慮先剔除1人，將抽樣比變為若從老年人中隨機剔除1人，則老年人應抽取中年人應抽取（人），青年人應抽取（人），從而組成容量為36的樣本。應選D。

剖析：如果用簡單隨機抽樣先從老年人中剔除1人，則老年人被抽到的概率顯然比其他人群小了，這不符合隨機抽樣的特征，即每個個體入樣的可能性相等。錯解中明確說明“先從老年人中隨機剔除1人”，這與從總體中隨機剔除1人是不一樣的。

正解：由分層抽樣法，可知從老年人，中年人和青年人中應抽取的人數分別為應選C。

誤區3：忽視頻率分布直方圖中的組距

例3有一容量為500的樣本，把數據分成7組，它的頻率分布直方圖如圖1所示，根據其頻率分布直方圖，請你估計數據落在［15.5，24.5）內的數據個數。

圖1

錯解：由頻率分布直方圖可知，數據落在［15.5，18.5）內的頻率為0.054，落在［18.5，21.5）內的頻率為0.06，落在［21.5，24.5）內的頻率為0.075，所以數據落在［15.5，24.5）內的數據個數為500×（0.054+0.06+0.075）=94.5。故估計數據落在［15.5，24.5）內的數據個數大約為95。

剖析：上述解法忽視縱坐標所表示的意義，把縱坐標表示的數據作為頻率了，其實縱坐標表示的是。若要計算頻率，則需要求組距。從橫坐標中明顯可以看出組距為3。

正解：由頻率分布直方圖可知，數據分成7組，其組距為3，所以數據落在［15.5，18.5）內的頻率為0.054×3，落在［18.5，21.5）內的頻率為0.06×3，落在［21.5，24.5）內的頻率為0.075×3。故數據落在［15.5，24.5）內的數據個數為500×（0.054×3+0.06×3+×0.075×3）=283.5，即估計數據落在［15.5，24.5）內的數據個數大約為284。

警示：利用頻率分布直方圖解題要注意三點：①縱坐標是，而不是頻率；②頻率；③小長方形的面積=頻率。利用頻率分布直方圖可求眾數、中位數與平均數：①最高小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數；②中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；③平均數是頻率分布直方圖的“重心”，它等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和。

誤區4：忽視方差的統計意義

例4甲、乙兩種冬小麥實驗品種連續5年的平均單位面積產量如表1所示（單位：t/k m2）。

表1

若某村要從中引進一種冬小麥大量種植，請給出你的建議。

錯解：由題意和表1可得10。由此可知甲、乙兩種冬小麥的平均產量都等于10，所以引進兩種冬小麥的任一種都可以。

剖析：上述解法只對兩種冬小麥的平均產量進行了比較，而忽略了對冬小麥產量穩定性的討論。

正解：由題意和表1可得10。由方差公式可得

警示：平均數反映的是樣本個體的平均水平，方差和標準差則反映了樣本的波動和離散程度。對于形如“誰發揮更好、誰更穩定、誰更優秀”之類的問題，除比較數據的平均數外，還應該比較方差或標準差的大小，以作出更為公正、合理的判斷。