張量Z-特征值的新包含域

何 軍，劉衍民

(遵義師范學院數學學院，貴州遵義563006)

1 預備知識

張量特征值是矩陣特征值的推廣，并廣泛應用到醫學成像、圖像分割和量子計算等問題中[1-7].令（實數集），Qi在文獻[1]中給出了如下的張量Z-特征值的定義.

定義1[1]設（階維），若存在非零向量和數使得

其中，

張量Z-特征值在最佳秩一逼近以及高維統計中都有著重要的

引理1[8]設，則

引理2[9]設是非負不可約且弱對稱的張量，則(A)是張量的正Z-特征值，并且(A)對應的Z-特征向量是正向量.

基于引理1和引理2，Wang等在文獻[8]中給出了如下的非負張量Z-譜半徑上界.

引理3[8]設是非負弱對稱不可約的張量，則

令張量A的階m≥4，本文給出了張量Z-特征值的新包含域，并通過張量Z-特征值的新包含域，給出了非負張量Z-譜半徑的新上界.數值例子說明本文結果優于文獻[8]中的結果.

2 主要結果

對任意k∈N，令

我們可得如下張量Z-特征值的新包含域.

其中，

在等式(4)兩邊同時取絕對值有

當m≥4時，有

由(5)和(6)可得

證畢

注 由定理1的證明可得，

則可得

基于定理1，我們可得如下非負弱對稱不可約張量的Z-譜半徑的新上界.

由定理1可知，存在p∈N使得

即

由s的任意性可得

證畢.

3 數值例子

本節我們用數值例子來說明結果的有效性.

由定理1可得

由圖1可以看出，定理1的結果比文獻[8]中定理3.2的結果好.

圖 1 L（A）VS K（A）

由例2可以看出，定理2的結果比文獻[8]中定理4.5的結果好.