帶標準Brown運動擾動風險模型的破產概率模擬計算

王 琪， 薛 紅， 陳毛毛

(西安工程大學理學院， 西安 710600)

引 言

破產概率是衡量金融風險和保險公司經營穩(wěn)健性的重要尺度。關于破產理論的研究起源于由Lundberg和Cramér提出的L-C經典風險模型[1]。文獻[2]討論了經典風險模型最終破產概率的解析表達式，因有限時破產概率并沒有具體的計算公式，文獻[3]利用Monte-Carlo方法對經典風險模型在有限時間內的破產概率值進行了模擬計算。當索賠到達過程不依賴于獨立性假設時，文獻[4]分析了風險模型有限時破產概率的漸近性。此外，許多學者對L-C經典風險模型做了如下推廣：一方面，在對保險公司的歷史理賠額數據進行分析后發(fā)現，相較于輕尾分布而言，重尾分布更適合刻畫實際中的理賠額分布。當不考慮風險干擾時，唐啟鶴[5]等得到了重尾索賠風險模型最終破產概率的一個等價式，文獻[6]討論了當重大索賠額服從廣義Pareto分布時的最終破產概率估計值。文獻[7]基于條件泊松過程的空間分析法，討論了路徑依賴重尾索賠風險模型的漸近有限時間破產概率。另一方面，由于現實中存在著投資收益和通貨膨脹等干擾因素，故加入擾動項的風險模型會更貼合實際，Gerber在文獻[8]中首次用標準Brown運動來刻畫風險干擾，并將其引入經典風險模型。當索賠額序列服從指數分布，理賠次數服從Poisson過程時，文獻[9]討論了帶標準Brown運動擾動風險模型的最終破產概率表達式，文獻[10]用鞍點法分析了最終破產概率的上下界。

當索賠額序列服從重尾分布時，帶標準Brown運動擾動風險模型的破產概率沒有解析表達式，故本文提出了一種有效的帶標準Brown運動擾動風險模型盈余軌道的模擬程序，運用MATLAB R2016a軟件對帶標準Brown運動擾動風險模型在有限時間內的破產概率進行Monte-Carlo模擬計算。并綜合考慮小額索賠、辦公用品、傭金等其他營業(yè)支出以及風險干擾等影響因素，結合保險公司實際數據，對該公司在有限時間內的破產概率進行了數值模擬計算，以期計算結果更加符合實際。

1 風險模型及破產概率模擬計算

1.1 經典風險模型

經典風險模型中，保險人在t時刻的盈余過程為[11]

(1)

其中：u是初始盈余，c為保費率即單位時間內的保費收入。{Xi,i≥1}是第i次理賠額，具有同分布A且均值為μA。{N(t),t≥0}服從參數為λ的Poisson過程，表示[0,t]內的理賠次數。

(2)

在風險模型中，若索賠額序列{Xi,i≥1}服從廣義Pareto分布，索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}服從均值為μB的指數分布，最終破產概率的漸近結果如定理2所述。

定理2[6]假設索賠額{Xi,i≥1}是一列非負的上廣義負相依序列，具有共同分布A和有限均值μA；索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}是一列廣義負相依序列，具有共同分布和有限均值μB；并且索賠額序列{Xi,i≥1}與索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}相互獨立。若索賠額分布A屬于重尾分布族中的控制變換尾分布族，同時安全負荷條件即κ=cμB-μA>0成立，則最終破產概率滿足如下漸近結果：

(3)

1.2 經典風險模型的破產概率模擬計算

當索賠額服從重尾分布時，經典風險模型在有限時間內的破產概率沒有明確表達式。結合經典風險模型盈余軌道的模擬程序思想[3]，假設索賠額序列服從廣義Pareto分布，對有限時間內破產概率值進行Monte-Carlo模擬計算。步驟如下：

①以天為單位，選取研究的時間總長度T，將時間區(qū)間[0,T]平均等分為n份，s=T/n為每一時間區(qū)間的長度。記m為發(fā)生破產的次數。

②確定初始盈余值u，單位時間內的保費收入c。

⑤重復第③步至第④步，利用MATLAB軟件總共進行M次模擬。

⑥用m除以M可得到破產概率模擬值p。

例1對風險模型的參數及分布作如下假設：

(i) 以天為單位，初始盈余u=20，單位時間的保費收入c=5。

(ii) 索賠額序列{Xi,i≥1}服從參數為k1=0.0016,σ1=14.7580的廣義Pareto分布F(x)=1-(1+kx/σ)-1/k，均值μA=15。

(iii)理賠次數{N(t),t≥0}服從參數為λ=1/5的 Poisson 過程，即索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}服從均值為μB=5的指數分布。

取小時間區(qū)間的長度s=0.1天，總時間長度T=1年，模擬盈余軌道如圖1所示。

圖1 經曲風險模型盈余軌道模擬圖

取s=0.001年，改變T的取值，分別用MATLAB軟件進行M=104次模擬，可得有限期內的破產概率模擬值，見表1。

表1 有限時間破產概率模擬值(重尾索賠)

根據例1中的假設，由式(3)計算得到最終破產概率值p1=0.3826。由表1可知，隨年限增長，破產概率模擬數值逐漸接近于最終破產概率p1，表明數值模擬計算合理有效。

1.3 帶標準Brown運動擾動風險模型

由于現實中存在著投資收益和通貨膨脹等各種隨機干擾因素，故加入擾動項的風險模型會更切合實際，Gerber[8]用標準Brown運動來刻畫風險干擾，并將其引入經典風險模型，盈余過程為

(4)

其中：σ>0為波動常數，{B(t),t≥0}是標準Brown運動，其余符號意義同經典風險模型，該模型也稱為跳-擴散風險模型。

若理賠次數服從參數為λ的Poisson過程，索賠額序列{Xi,i≥1}獨立同分布于均值為μA的指數分布A(x)，彭勤文[9]利用鞅論中的收斂定理得到帶擴散擾動風險模型的最終破產概率表達式。

定義1[12]設MX(r)為索賠額序列的矩母函數，則

定理3[9]當σ≠0時，帶標準Brown運動擾動風險模型的最終破產概率為

Ψ3(u)=(1+RμA)e-Ru

(5)

1.4 帶標準Brown運動擾動風險模型的破產概率模擬計算

基于1.2節(jié)，本文設計了一種模擬帶標準Brown運動擾動風險模型盈余軌道的程序思想，并結合Monte-Carlo方法，對風險模型在有限時間內的破產概率進行了模擬計算。步驟如下：

①選取研究的時間總長度T。將[0,T]等分為n等份，每一小區(qū)間長度為s. 則共有n+1個區(qū)間端點，記為{0,s,2s,…,ns}. 記m為發(fā)生破產的次數。

②確定初始盈余值U(0)=u，單位時間內保費收入c，波動常數σ的取值。

③由指數分布生成索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}，并記錄下索賠發(fā)生的時刻{τk,k≥1}。之后，生成服從A分布的索賠額序列{Xi,i=1,…,j}。再生成標準Brown運動隨機數序列{Bhs,h=0,1,2,…,n}，它是獨立的正態(tài)過程，且滿足{B(h+1)s-Bhs}～N(0,s)。

④計算每一小時間區(qū)間[hs,(h+1)s]右端點時刻的盈余值，記為序列{Uh+1},(h=0,1,…,n-1)。若τk∈[hs,(h+1)s]，即在時間區(qū)間[hs,(h+1)s]上發(fā)生了額度為Xk的索賠，則不僅在右端點處加入擴散擾動項σ·B(h+1)s，同時也要減去索賠額Xk，計算公式為Uh+1=Uh+c·s+σ·B(h+1)s-Xk；若未發(fā)生索賠，則僅在右端點處加入擾動項即可，計算公式修改為Uh+1=Uh+c·s+σ·B(h+1)s。若Uh+1<0，則終止本次計算，破產次數m加1。否則繼續(xù)計算下一區(qū)間右端點時刻的盈余值。

⑤重復第③步至第④步，利用MATLAB軟件進行M次模擬。

⑥用m除以M可得到破產概率模擬值p。

例2對風險模型(4)的參數作如下假設：

(i) 以天為單位，初始盈余u=20，單位時間的保費收入c=5。

(ii) 索賠額序列{Xi,i≥1}獨立同分布于均值為μA=15的指數分布。

(iii)理賠次數{N(t),t≥0}服從參數為λ=1/5的 Poisson 過程，即索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}服從均值為μB=5的指數分布。

(iv) 取波動常數σ=15。

取小時間區(qū)間的長度s=0.1天，T=1年，盈余過程樣本軌道如圖2所示。

圖2 帶標準Brown運動擾動風險模型盈余軌道模擬圖

對于不同參數σ，由式(5)可計算得到帶標準Brown運動擾動風險模型的最終破產概率值。分別進行M=106次模擬，利用Monte-Carlo方法模擬計算5年內的破產概率值，見表2。

表2 帶標準Brown運動擾動風險模型破產概率模擬值

由表2知：(1)有限時間破產概率模擬值接近于最終破產概率值，證明了程序的合理有效性。(2)不同σ的取值對有限時間破產概率模擬數值及最終破產概率值都存在顯著影響。

2 實證分析

2.1 模型選取

考慮保險公司辦公用品、傭金等其他營業(yè)支出對破產概率值的影響，用帶漂移項的標準Brown運動刻畫其他營業(yè)支出及風險干擾，記為W(t)=-μt+σB(t)～N(-μt,σ2t),t≥0。其中非負常數μ表示單位時間的其他營業(yè)平均支出，其余符號意義同模型(4)。盈余過程可整合寫為如下形式：

(6)

2.2 數據選取

中國太平洋財產保險股份有限公司(簡稱太平洋財險)成立于2001年11月，注冊資本為95億元。通過《中國保險年鑒2015》[13]和《中國保險年鑒2016》[14]，可得表3和表4中的數據信息(數額單位：百萬元，時間間隔單位：天)。

表3 太平洋財險2014年和2015年基本數據信

表4 太平洋財險2014年和2015年重大索賠數據

2.3 模型的參數估計及分布檢驗

(2) 結合表4中的數據，運用MATLAB R2016a、SPSS 16.0軟件進行分析，確定索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}和索賠額序列{Xi,i≥1}所服從的分布。

假設索賠時間間隔序列{Wj,j≥1}服從指數分布，運用SPSS 16.0軟件進行參數估計，并通過單樣本K-S檢驗來驗證這一假設，如圖3所示。此檢驗在顯著性水平α=0.05下進行，圖3表明漸近顯著性(雙側)值大于α，不能拒絕原假設，即{W(t),t≥0}服從均值為μB=9.0886的指數分布。

圖3 指數分布K-S檢驗

圖4 QQ圖擬合效果

(3) 分別取表3中的2014年初和2015年初的盈余值為初始值，對一年后的盈余值即2014年底和2015年底的盈余值進行計算，相比表3中的真實值U11和U21仍存在偏差，見表5。

表5 太平洋財險2014年和2015年年末盈余值

用擴散擾動項來刻畫偏差則εi～N(0,σ2t)，研究期限為一年，即t=365d。根據數理統(tǒng)計中正態(tài)總體方差估計方法[15-16]，參數σ的估計式

(7)

2.4 有限時間內破產概率模擬計算

取太平洋財險在2015年年底的總資產為初始盈余即U0=125 011.21百萬元，結合2.3節(jié)中的參數估計值，取總時間長度T=5年，時間小區(qū)間長度s=0.1天，利用MATLAB軟件對該公司在2020年底的破產概率進行Monte-Carlo模擬計算，結果見表6。

表6 太平洋財險在2020年底的破產概率模擬值

3 結束語

由于帶標準Brown運動擾動的重尾索賠風險模型在有限時間內的破產概率及最終破產概率都沒有解析表達式，本文針對這一問題提出了一種模擬帶標準Brown運動擾動風險模型盈余軌道的有效程序。并結合太平洋財產保險公司實際數據，進一步考慮其他營業(yè)支出及風險干擾兩大影響因素，利用Monte-Carlo方法對該公司在有限時間內的破產概率進行了數值模擬計算，使得計算結果更加切合實際。