基于低碳技術轉讓的寡頭企業價格博弈的穩定性分析

司鳳山，戴道明，孫玉濤

(安徽財經大學管理科學與工程學院，安徽蚌埠 233030)

1 研究背景

為了更好地發展綠色經濟和滿足消費者的低碳偏好，企業不斷加大低碳生產技術的研發力度。但是由于經濟實力所限，各企業低碳技術研發水平相差甚遠。沒有技術研發能力的企業便爭取技術轉讓，以此實現低碳產品的生產。

對于低碳技術方面的問題，慕艷芬等[1]分析了碳稅對制造商選擇低碳技術的影響，但是市場大小會制約低碳技術選擇的效果。魏守道等[2]研究了碳稅制約下的供應鏈企業競爭或合作研發低碳技術的博弈模型，分析了低碳技術研發的策略選擇問題。劉名武等[3]在分析低碳技術特征的基礎上，在考慮碳交易和消費者低碳偏好的背景下，構建了低碳技術減排投入與合作的微分博弈模型，給出了促進零售商低碳合作的市場條件和實現雙贏的低碳技術特征條件。蔡小哩等[4]通過構建博弈模型研究供應鏈中的低碳技術與定價問題，對比分析了不同博弈模式下的制造商、零售商和供應鏈整體利潤的差異，實現了供應鏈節點企業收益的帕累托改進。這些研究成果為企業在政府征收碳稅的背景下促進低碳技術研發或低碳技術轉讓提供了有價值的參考。

關于雙寡頭博弈問題，張雅慧等[5]研究了具有溢出效應的雙寡頭產量博弈模型，給出了最優產量解析式，分析了產量調整速率對模型穩定性的影響。李金溪等[6]通過建立委托—代理的雙寡頭博弈模型，分析了節能激勵合同對競爭策略和企業利潤的影響。王琦瑋等[7]構建了四維的Bertrand離散價格博弈模型，在考慮技術吸收效益的基礎上討論了價格、利潤和成本之間的關系，分析了決策參數對系統穩定性的影響，并對失穩系統進行了穩定性控制。Luca Gori等[8]基于產品差異構建了非線性雙寡頭價格博弈模型，研究了二維離散系統的局部和全局的系統特性。Yue Xiao等[9]構建了非線性雙寡頭Stackelberg博弈模型，分析了異構企業應對產量差異的策略問題，探究了博弈模型復雜的動力學行為。學者普遍對離散的雙寡頭博弈模型的復雜動力學演化行為進行了分析，探究了決策參數對博弈系統穩定性和復雜性的影響。這為本文研究連續的時滯微分博弈模型的動力學特性奠定了堅實的基礎。

通過文獻梳理可以發現，在雙寡頭企業之間考慮低碳技術轉讓的研究還比較少見。文獻[10]考慮了雙寡頭之間的技術轉讓問題，但只采用了運籌的方法對比分析了有無技術轉讓機制下的最優策略，研究方法略顯單一。另外，文獻[10]中始終假定兩個寡頭企業單位產品的生產成本相同，這種假設略顯不妥：一是假定掌握低碳技術企業的生產成本低于無技術企業的情形才更合理；二是企業在獲得低碳技術轉讓后，單位產品的生產成本應該隨著技術轉讓程度有所下降，這樣考慮才更符合實際。

本文針對文獻[10]存在的以上不足，在考慮低碳技術轉讓、延遲決策和生產成本動態變化的基礎上，構建帶時滯的動態價格博弈模型，采用非線性動力學理論和系統復雜性理論分析雙寡頭企業價格博弈系統的動力學行為，探究時滯參數、價格調整速度和技術轉讓程度對價格博弈系統和寡頭企業利潤的影響，力爭為企業決策提供幫助。

2 構建博弈模型

市場中存在兩個生產同質低碳產品的寡頭企業，記為企業1和企業2，二者展開價格競爭。這兩個企業都積極追求產品低碳化，努力提高產品的綠色水平,以滿足消費者需求。其中，企業1研發出了產品低碳化生產技術，技術水平為L；研發投入成本為CL=γL2/2，γ為成本系數；單位產品的生產成本為c1，零售價為p1，市場需求量為q1。企業2由于沒有研發出低碳生產技術，單位產品的生產成本c2較高(c2>c1)，零售價為p2，市場需求量為q2。企業1和企業2的產品需求函數為：

q1=a-α1p1+β1p2.

(1)

q2=a-α2p2+β2p1.

(2)

其中，a為產品的潛在最大需求量,a>0；α為價格敏感系數,αi>0，β為交叉價格敏感系數,βi>0，且αi>βi>0，i=1,2。為了便于計算和分析，令α1=α2=α，β1=β2=β，且α>β>0。

因為企業2沒有掌握低碳生產技術，企業1可以向企業2有償轉讓相關技術。企業2會根據技術轉讓程度和產品銷量向企業1支付轉讓費，費用為q2φθL。其中，θ為技術轉讓的程度，θ=0表示不轉讓技術，θ=1表示全部轉讓；φ表示企業2銷售單位產品應該向企業1繳納的費用系數。此外，由于企業2獲得了轉讓技術，單位產品的生產成本會降低，成本降低幅度依賴于獲得的技術轉讓程度θ。此時，企業2單位產品的成本為C2=c2-ηθ，其中η表示轉讓單位程度的技術時，企業2的成本下降幅度系數。

企業1和企業2的利潤函數為：

π1(p1,p2)=q1(p1-c1)-CL+q2φθL.

(3)

π2(p1,p2)=q2(p2-C2-φθL).

(4)

其中，π1為企業1的利潤；π2為企業2的利潤。另外，企業往往依據自身的邊際利潤進行價格決策。當邊際利潤為正時,企業提高價格；當邊際利潤為負時,企業降低價格。企業1和企業2的邊際利潤分別為：

(5)

企業1和企業2的動態價格調整過程分別為：

(6)

其中，k1和k2分別表示企業1和企業2的價格調整速度。因為當前價格難以準確及時掌握，所以企業通常會參照歷史價格進行產品定價，也就是把某一歷史時期的價格作為當前價格的近似值。假設企業1和企業2都參照相同歷史時期的價格進行決策，歷史價格分別為p1(t-τ)和p2(t-τ)。其中，τ≥0表示時間段，t-τ意味著距離當前τ之前的歷史時刻。本文將τ稱作時滯參數。

至此，基于式(6)帶雙時滯的動態價格博弈模型為：

(7)

3 Hopf分岔的存在性及局部漸近穩定性

(8)

模型(8)的特征方程為：

λ2+Ae-λτλ+Be-2λτ=0.

(9)

(I)當τ=0時，式(9)可簡化為：

λ2+Aλ+B=0.

(10)

(II)當τ>0時，式(9)兩邊同時乘以eλτ為：

λ2eλτ+Aλ+Be-λτ=0.

(11)

令λ=iω(ω>0)為式(11)的一個根，可得：

(12)

當滿足條件(H2)：B-ω2≠0時，可求得：

(13)

則有：

ω4+(2B-A2)ω2+B2=0,

(14)

令s=ω2，式(14)可為：

s2+(2B-A2)s+B2=0.

(15)

①若滿足條件2B-A2>0且B2>0時，式(15)沒有正根；②由于B2>0，所以式(15)不存在只有一個正根的情況；③若滿足條件2B-A2<0，B2>0且(2B-A2)2-4B2>0時，式(15)有兩個正根。

(16)

令

(17)

對式(11)兩邊求λ關于τ的導數，可得：

(18)

(19)

如果條件(H3)：PRQR+PIQI≠0成立，則滿足產生Hopf分岔的橫截性條件。根據文獻[11]可得如下結論。

4 數值仿真

通過數值仿真驗證理論分析的正確性，并探究時滯參數τ、價格調整速度k1和技術轉讓程度θ對價格博弈系統穩定性的影響，分析利潤受影響時的變化趨勢。

為了更好地展現系統的動力學演化行為，參數取值如下：a=1.2，α=0.8，β=0.5，L=1，φ=0.01，γ=0.2，η=0.2，c1=0.2，c2=0.4，θ=0.5，k1=0.5，k2=0.5。此時，模型(7)為：

(20)

經計算，系統(20)的均衡點為E(1.256,1.295)。

(Ⅰ)當τ=0時，計算可得A=2.041>0，B=0.939>0，AB=1.917>0，所以滿足條件(H1)，系統(20)在均衡點處是局部漸近穩定的。

(Ⅱ)當τ>0時，計算可得B-ω2=-0.886≠0，即滿足條件(H2)。另外，2B-A2=-2.286<0，B2=0.882>0且(2B-A2)2-4B2=1.698>0，根據理論分析可知系統(20)有兩個正根。根據式(16)和式(17)可以得到τ0=1.163，ω0=1.351。此外，PRQR+PIQI=7.618≠0，即滿足條件(H3)。綜上可知定理1成立。

4.1 時滯參數τ對系統穩定性的影響

根據定理1可以明確，τ取值范圍的不同將引起系統狀態的變化。τ對系統(20)穩定性的影響如圖1所示。

圖1 系統(20)關于τ的分岔圖

從圖1可以看出，隨著τ的增大,系統從穩定狀態經過分岔進入不穩定狀態，直至進入混沌狀態。系統的分岔臨界點為τ0=1.163，其兩側的系統狀態截然不同。當τ=1<τ0時的吸引子如圖2(a)所示；當τ=1.3>τ0時的吸引子如圖2(b)所示。

圖2 系統(20)的吸引子

當τ=1時系統是穩定的，企業的價格經過長期博弈后會趨于均衡點E(1.256,1.295)。當τ=1.3時系統是不穩定的，企業價格始終處于不穩定的混亂狀態，這不利于價格決策和企業獲利。因此，企業參照的歷史價格不是越久遠越好，而必須在距離學前時刻一個合理的范圍內，否則系統會失去穩定。

4.2 價格調整速度k1對系統穩定性的影響

企業為了追求利潤最大化，有時會加快價格的調整速度,但是過快的價格調整速度會對系統帶來不利的影響。價格調整速度k1對系統穩定性的影響如圖3所示。

以下分析都是以系統穩定為前提的，所以取τ=0.5<τ0。圖3與圖1類似，當k1超越臨界值k10=1.48時，系統失去穩定,進入混沌狀態。當k1∈[0,0.05)時系統是不穩定的，所以價格調整速度的合理范圍為k1∈[0.05,k10)。

圖3 當τ=0.5時，系統(20)關于k1的分岔圖

圖4 當τ=0.5時，θ對企業利潤的影響

4.3 低碳技術轉讓程度θ對企業利潤的影響

低碳技術的轉讓必然導致兩企業利潤的變化，利潤變化趨勢如圖4所示。

從圖4可以看出，π1與θ負相關，π2與θ正相關。雖然企業1獲得了轉讓技術收益，但是企業2由于獲得了低碳技術，利潤明顯增加，而企業1則恰恰相反。這也是企業不輕易轉讓技術的原因所在。

4.4 價格調整速度k1和技術轉讓程度θ對利潤的影響

參數k1和θ對利潤的影響如圖5所示。

圖5 當τ=0.5時，k1和θ對企業利潤的影響

從圖5可以直觀地看到，θ從0增加到0.05時，企業1和企業2的利潤都直線增大，并在θ=0.05時出現轉折，此后企業1的利潤開始逐漸下降，而企業2的利潤逐步上升。這說明技術轉讓程度較低時無法影響市場份額，企業1因獲得技術轉讓費而使利潤明顯增加；企業2由于獲得低碳技術降低了生產成本，利潤也顯著增加。但是技術轉讓程度較高時會導致兩企業利潤的變化趨勢截然相反。此外，價格調整速度k1對利潤幾乎沒有影響。

5 結語

針對生產同質產品的雙寡頭企業，本文在考慮低碳技術轉讓的背景下，建立了帶時滯的動態價格博弈模型，從時滯參數等于零和大于零兩個方面，給出了Hopf分岔存在的條件，分析了系統在均衡點處的局部漸近穩定性。通過數值仿真探究了時滯參數和價格調整速度對價格博弈系統穩定性的影響，分析了低碳技術轉讓程度對雙寡頭企業利潤的影響。研究表明，無論是時滯參數還是價格調整速度都必須在合理的范圍內，否則會導致系統失穩。低碳技術的轉讓會導致寡頭企業存在不同的利潤變化趨勢，技術接受者獲益明顯。此外，還可以通過設計合理的協調機制，在技術轉讓的同時實現雙贏，這是未來研究的方向。