判別線(xiàn)面相交及面面相交可見(jiàn)性的假想墻法

王 琳，畢 艷

?

判別線(xiàn)面相交及面面相交可見(jiàn)性的假想墻法

王 琳，畢 艷

(文華學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)部，湖北 武漢 430074)

針對(duì)判別直線(xiàn)與平面相交及平面與平面相交的可見(jiàn)性提出了一種假想墻的方法。在直線(xiàn)與平面相交問(wèn)題中探討了3種典型的情況：一般位置直線(xiàn)與特殊位置平面相交、一般位置直線(xiàn)與一般位置平面相交、特殊位置直線(xiàn)與一般位置平面相交；在平面與平面相交的問(wèn)題中探討了3種典型的情況：特殊位置平面與特殊位置平面相交、一般位置平面與特殊位置平面相交、一般位置平面與一般位置平面相交。通過(guò)假想墻方法，可快速準(zhǔn)確地判斷直線(xiàn)與平面相交及平面與平面相交的可見(jiàn)性，為機(jī)械制圖課程相關(guān)內(nèi)容的學(xué)習(xí)及教學(xué)提供一些參考。

直線(xiàn)；平面；相交；可見(jiàn)性

在工程制圖與畫(huà)法幾何中，直線(xiàn)與平面相交求交點(diǎn)并判別直線(xiàn)可見(jiàn)性、平面與平面相交求交線(xiàn)并判別平面的可見(jiàn)性這兩個(gè)問(wèn)題一直是難點(diǎn)問(wèn)題，尤其是可見(jiàn)性的判別。常用的方法是通過(guò)重影點(diǎn)或者換面法進(jìn)行判別[1-2]，理解起來(lái)有一定難度。有學(xué)者提出了一些新方法如區(qū)分平面的正、背面、重影線(xiàn)等[3-6]，這些方法均只能解決某一類(lèi)問(wèn)題，如直線(xiàn)和平面相交或平面與平面相交或者是相交問(wèn)題中的某一特殊情況。本文提出了一種假想墻的方法，既可解決線(xiàn)面相交的問(wèn)題又可解決面面相交的問(wèn)題，且應(yīng)用起來(lái)較直觀簡(jiǎn)單。

1 直線(xiàn)與平面相交的判別

直線(xiàn)與平面相交，首先要求交點(diǎn)，再判別直線(xiàn)的可見(jiàn)性。根據(jù)直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系，可分為一般位置直線(xiàn)與特殊位置平面相交、一般位置直線(xiàn)與一般位置平面相交、特殊位置直線(xiàn)與一般位置平面相交3類(lèi)[7-8]。下面將分別分析3種情況下假想墻方法的應(yīng)用。

1.1 一般位置直線(xiàn)與特殊位置平面相交

如圖1(a)所示，為一般位置直線(xiàn)，△為鉛垂面，求直線(xiàn)與△的交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性。

找交點(diǎn)：如圖1(b)所示，設(shè)直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)為，點(diǎn)既在直線(xiàn)上又在平面內(nèi)，因此點(diǎn)在水平面內(nèi)的投影即直線(xiàn)與平面水平投影的交點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)的水平投影可以很容易找到點(diǎn)的正面投影?。

圖1 假想墻法判別一般位置直線(xiàn)與特殊位置平面相交的可見(jiàn)性

假想墻判別可見(jiàn)性：如圖1(c)所示，要判別直線(xiàn)正面投影的可見(jiàn)性，需在水平面從前往后看。將直線(xiàn)的水平投影拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，從前往后看，發(fā)現(xiàn)△靠近的部分可見(jiàn)，靠近的部分被墻擋住不可見(jiàn)。根據(jù)直線(xiàn)與平面一個(gè)可見(jiàn)則另一個(gè)不可見(jiàn)的規(guī)律，在正面投影中△靠近的部分可見(jiàn)，則直線(xiàn)靠近這部分即端不可見(jiàn)，△靠近的部分不可見(jiàn)，則直線(xiàn)靠近的部分即端可見(jiàn)。

結(jié)果：如圖1(d)所示，的正面投影以交點(diǎn)?為界，靠近?的一端可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)，靠近?的一端不可見(jiàn)為虛線(xiàn)。

1.2 一般位置直線(xiàn)與一般位置平面相交

如圖2(a)所示，為一般位置直線(xiàn)，△為一般位置平面，求直線(xiàn)與△的交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性。

找交點(diǎn)：如圖2(b)所示，設(shè)一經(jīng)過(guò)直線(xiàn)的鉛垂面與△相交于直線(xiàn)，則直線(xiàn)與△的交點(diǎn)必在直線(xiàn)上。的水平投影，正面投影??，則??與??的交點(diǎn)即為?，再根據(jù)投影關(guān)系找到的水平投影。

圖2 假想墻法判別一般位置直線(xiàn)與一般位置平面相交的可見(jiàn)性

假想墻判別可見(jiàn)性：如圖2(c)所示，要判別直線(xiàn)正面投影的可見(jiàn)性，需在水平面從前往后看。將直線(xiàn)的水平投影拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，從前往后看，發(fā)現(xiàn)△靠近的部分可見(jiàn)，靠近的部分被墻擋住不可見(jiàn)。根據(jù)直線(xiàn)與平面一個(gè)可見(jiàn)則另一個(gè)不可見(jiàn)的規(guī)律，在正面投影中△靠近的部分可見(jiàn)，則直線(xiàn)靠近這部分即端不可見(jiàn)，△靠近的部分不可見(jiàn)，則直線(xiàn)靠近的部分即端可見(jiàn)。

同理，判別直線(xiàn)水平面投影的可見(jiàn)性，需由正面從上往下看。如圖2(d)所示，將直線(xiàn)的正面投影??拉伸為一個(gè)正垂面墻，從上往下看，發(fā)現(xiàn)△靠近的部分可見(jiàn)，靠近的一端被墻擋住不可見(jiàn)。根據(jù)直線(xiàn)與平面一個(gè)可見(jiàn)則另一個(gè)不可見(jiàn)的規(guī)律，在水平投影中△靠近的部分可見(jiàn)，則直線(xiàn)靠近這部分即端不可見(jiàn)，△靠近的部分不可見(jiàn)，則直線(xiàn)靠近的部分即端可見(jiàn)。

結(jié)果：如圖2(e)所示，的正面投影以交點(diǎn)?為界，靠近?的一端可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)，靠近?的一端不可見(jiàn)為虛線(xiàn)。的水平投影以交點(diǎn)為界，靠近的一端可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)，靠近的一端不可見(jiàn)為虛線(xiàn)。

1.3 特殊位置直線(xiàn)與一般位置平面相交

如圖3(a)所示，為鉛垂線(xiàn)，△為一般位置平面，求直線(xiàn)與△的交點(diǎn)并判別可見(jiàn)性。

找交點(diǎn)：如圖3(b)所示，設(shè)直線(xiàn)與平面的交點(diǎn)為，在鉛垂線(xiàn)上。在水平投影面內(nèi)連接并延長(zhǎng)交于，則點(diǎn)既在直線(xiàn)上又在直線(xiàn)上。??與??的交點(diǎn)'即直線(xiàn)與平面△的交點(diǎn)的正面投影。

圖3 假想墻法判別特殊位置直線(xiàn)與一般位置平面相交的可見(jiàn)性

假想墻判別可見(jiàn)性：如圖3(c)所示，要判別直線(xiàn)正面投影的可見(jiàn)性，應(yīng)在水平面內(nèi)由前往后看。將直線(xiàn)的水平投影拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，從前往后看，發(fā)現(xiàn)△靠近的部分可見(jiàn)，靠近的一端不可見(jiàn)，則正面投影直線(xiàn)靠近這部分即端不可見(jiàn)，靠近的部分即端可見(jiàn)。

結(jié)果：如圖3(d)所示，的正面投影以交點(diǎn)?為界，靠近?的一端不可見(jiàn)為虛線(xiàn)，靠近?的一端可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)。

2 平面與平面相交的判別

平面與平面相交，首先要求出交線(xiàn)，再判別平面的可見(jiàn)性。根據(jù)平面和平面的位置關(guān)系，可分為特殊位置平面與特殊位置平面相交、一般位置平面與特殊位置平面相交、一般位置平面與一般位置平面相交3類(lèi)[7-8]，本文分別分析應(yīng)用3種假想墻的方法。

2.1 特殊位置平面與特殊位置平面相交

如圖4(a)所示，△和△均為鉛垂面，求△與△的交線(xiàn)并判別可見(jiàn)性。

找交線(xiàn)：如圖4(b)所示，設(shè)兩平面的交線(xiàn)為，則既在△上又在△上，的水平投影集聚為一點(diǎn)，為鉛垂線(xiàn)。作出該鉛垂線(xiàn)的正面投影，與兩平面的邊有4個(gè)交點(diǎn)，因既在△上又在△上，取靠近里面的兩個(gè)交點(diǎn)即為的正面投影??。

圖4 假想墻法判別特殊位置平面與特殊位置平面相交的可見(jiàn)性

假想墻判別可見(jiàn)性：如圖4(c)所示，要判別正面投影的可見(jiàn)性，應(yīng)在水平面內(nèi)由前往后看。將△的水平投影拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，從前往后看，發(fā)現(xiàn)△靠近的部分可見(jiàn)，靠近的部分被墻擋住不可見(jiàn)，根據(jù)兩平面一個(gè)可見(jiàn)則另一個(gè)不可見(jiàn)的規(guī)律，則正面投影中△靠近這部分即端不可見(jiàn)，靠近的部分即端可見(jiàn)。也可將△的水平投影拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，得到的結(jié)果相同。

結(jié)果：如圖4(d)所示，正面投影中以交線(xiàn)??為界，△靠近的部分可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)，靠近的部分不可見(jiàn)為虛線(xiàn)；△靠近的部分不可見(jiàn)用虛線(xiàn)，靠近的部分可見(jiàn)用實(shí)線(xiàn)。

2.2 一般位置平面與特殊位置平面相交

如圖5(a)所示，△為一般位置平面，△為鉛垂面，求△與△的交線(xiàn)并判別可見(jiàn)性。

找交線(xiàn)：如圖5(b)所示，設(shè)兩平面的交線(xiàn)為，則既在△上又在△上，的水平投影即為圖中的交線(xiàn)，根據(jù)水平投影很容易找到的正面投影??。

圖5 假想墻法判別一般位置平面與特殊位置平面相交的可見(jiàn)性

假想墻判別可見(jiàn)性：如圖5(c)所示，要判別正面投影的可見(jiàn)性，應(yīng)在水平面內(nèi)由前往后看。將△的水平投影拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，從前往后看，發(fā)現(xiàn)△靠近的部分可見(jiàn)，靠近的部分被墻擋住不可見(jiàn)，根據(jù)兩平面一個(gè)可見(jiàn)則另一個(gè)不可見(jiàn)的規(guī)律，則正面投影中△靠近這部分即端不可見(jiàn)，靠近的部分即端可見(jiàn)。

結(jié)果：如圖5(d)所示，正面投影中以交線(xiàn)??為界，△靠近的部分可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)，靠近的部分不可見(jiàn)為虛線(xiàn)；△靠近的部分不可見(jiàn)為虛線(xiàn)，靠近的部分可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)。

2.3 一般位置平面與一般位置平面相交

如圖6(a)所示，△與△均為一般位置平面，求△與△的交線(xiàn)并判別可見(jiàn)性。

找交線(xiàn)：如圖6(b)所示，設(shè)有一經(jīng)過(guò)△的邊的鉛垂面與△相交于直線(xiàn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)既在△上又在△上；設(shè)有一經(jīng)過(guò)△的邊的鉛垂面與△相交于直線(xiàn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)既在△上又在△上，只需找到這兩個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的連線(xiàn)即兩平面的交線(xiàn)。

直線(xiàn)和直線(xiàn)的水平投影為12和34，正面投影為1?2?和3?4?；1?2?與??的交點(diǎn)為?，3?4?與??的交點(diǎn)為?，則??既在△ABC上又在△上，直線(xiàn)即為兩平面的交線(xiàn)。根據(jù)的正面投影可找到其水平投影。

圖6 假想墻法判別一般位置平面與一般位置平面相交的可見(jiàn)性

假想墻判別可見(jiàn)性：如圖6(c)所示，要判別正面投影的可見(jiàn)性，應(yīng)在水平面內(nèi)由前往后看。將交線(xiàn)的水平投影拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，從前往后看，發(fā)現(xiàn)△靠近的部分可見(jiàn)，靠近的部分被墻擋住不可見(jiàn)，根據(jù)兩平面一個(gè)可見(jiàn)則另一個(gè)不可見(jiàn)的規(guī)律，則正面投影中△靠近這部分即端不可見(jiàn)，靠近的部分即端可見(jiàn)。也可先判別△的可見(jiàn)性再根據(jù)兩平面一個(gè)可見(jiàn)則另一個(gè)不可見(jiàn)的規(guī)律判別△的可見(jiàn)性，得到的結(jié)果是一樣的。

同理，判別水平面投影的可見(jiàn)性。如圖6(d)所示，要判別水平投影的可見(jiàn)性，應(yīng)在正面內(nèi)從上往下看。將交線(xiàn)的正面投影??拉伸為一個(gè)正垂面墻，從上往下，發(fā)現(xiàn)△靠近的部分可見(jiàn)，靠近的部分被墻擋住不可見(jiàn)，根據(jù)兩平面一個(gè)可見(jiàn)則另一個(gè)不可見(jiàn)的規(guī)律，則水平投影中△靠近這部分即端不可見(jiàn)，靠近的部分即端可見(jiàn)。

結(jié)果：如圖6(e)所示，正面投影中以交線(xiàn)??為界，△靠近的部分可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)，靠近的部分不可見(jiàn)為虛線(xiàn)；△靠近的部分不可見(jiàn)為虛線(xiàn)，靠近的部分可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)。水平投影中以交線(xiàn)為界，△靠近的部分可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)，靠近的部分不可見(jiàn)為虛線(xiàn)；△靠近的部分不可見(jiàn)為虛線(xiàn)，靠近的部分可見(jiàn)為實(shí)線(xiàn)。

3 結(jié) 論

假想墻法判別線(xiàn)面相交直線(xiàn)的可見(jiàn)性：

(1) 判別直線(xiàn)正面投影的可見(jiàn)性，在水平投影面內(nèi)將直線(xiàn)的投影(若直線(xiàn)投影集聚為一點(diǎn)則將該點(diǎn)所在的直線(xiàn))拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，從前往后看，在墻前面的平面可見(jiàn)，則正面投影中靠近平面該部分的直線(xiàn)端不可見(jiàn)，另一端可見(jiàn)。

(2) 判別直線(xiàn)水平投影的可見(jiàn)性，在正投影面將直線(xiàn)的投影(若直線(xiàn)投影集聚為一點(diǎn)則將該點(diǎn)所在的直線(xiàn))拉伸為一個(gè)正垂面墻，從上往下看，在墻上方的平面可見(jiàn)，則水平投影中靠近平面該部分的直線(xiàn)端不可見(jiàn)，另一端可見(jiàn)。

假想墻法判別面面相交平面的可見(jiàn)性：

(1) 判別平面正面投影的可見(jiàn)性，在水平面內(nèi)將交線(xiàn)所在直線(xiàn)的投影拉伸為一個(gè)鉛垂面墻，從前往后看，在墻前面的平面端可見(jiàn)，在墻后面的平面端不可見(jiàn)。

(2) 判別平面水平投影的可見(jiàn)性，在正投影面內(nèi)將交線(xiàn)所在直線(xiàn)的投影拉伸為一個(gè)正垂面墻，從上往下看，在墻上面的平面端可見(jiàn)，在墻下面的平面端不可見(jiàn)。

通過(guò)假想墻的方法，可較快速準(zhǔn)確地判別各種情況下的線(xiàn)面相交及面面相交的可見(jiàn)性。

[1] 杜海霞. 用重影線(xiàn)法圖解線(xiàn)面相交問(wèn)題[J]. 高等函授學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2010, 23(1): 39-40.

[2] 羅宏博. 一般位置直線(xiàn)與一般位置平面相交可見(jiàn)性判斷方法的研究[J]. 隴東學(xué)院學(xué)報(bào), 2014, 25(1): 25-26.

[3] 牛彥. 兩平面相交可見(jiàn)性判斷的新方法[J]. 遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 24(1): 124-126.

[4] 馬麗敏, 劉仁杰. 直線(xiàn)與平面相交可見(jiàn)性判別的新方法[J]. 工程圖學(xué)學(xué)報(bào), 2008, 29(3): 121-125.

[5] 于曉丹. 平面與平面相交可見(jiàn)性判別的新方法[J]. 遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2014, 34(6): 411-412.

[6] 沈麗萍, 王剛. 空間幾何元素一般相交問(wèn)題的求解[J]. 沈陽(yáng)大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版, 2014, 26(3): 255-258.

[7] 胥北瀾, 鄧宇. 機(jī)械制圖[M]. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2017: 52-56.

[8] 張慧云, 范競(jìng)芳. 機(jī)械制圖[M]. 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社, 2012: 52-53.

Imaginary Wall Method to Determine the Visibility of Line and Plane Intersection or Plane-Plane Intersection

WANG Lin, BI Yan

(Department of Mechanical and Electrical Engineering, WenHua College, Wuhan Hubei 430074, China)

An imaginary wall method is proposed to determine the visibility of line and plane intersection or plane and plane intersection. Three typical cases are discussed concerning the former topic: a line in the general position intersects with a plane in the special position, a line in the general position intersects with a plane in the general position, and a line in the special position intersects with a plane in the general position. Three typical cases are also discussed on the latter topic: the intersection of two planes both in the special position, a plane in the general position intersects with a plane in the special position, and the intersection of two planes both in the general position. The imaginary wall method can determine the visibility of line and plane intersection or plane and plane intersection quickly and accurately. This method can also provide some references for the learning and teaching in mechanical drawing courses.

line; plane; intersection; visibility

TP 126.2

10.11996/JG.j.2095-302X.2019010207

A

2095-302X(2019)01-0207-05

2018-04-25；

2018-05-23

王 琳(1988-)，女，湖北武漢人，講師，碩士。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械制圖、三維數(shù)字化設(shè)計(jì)教學(xué)與研究。E-mail：525498463@qq.com。

畢 艷(1983-)，女，湖北武漢人，講師，碩士。主要研究方向?yàn)闄C(jī)械制圖、三維數(shù)字化設(shè)計(jì)教學(xué)與研究。E-mail：13554328770@qq.com。