具有規整曲率線網的光滑曲面設計

鄭薈瑩，伯彭波

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具有規整曲率線網的光滑曲面設計

鄭薈瑩，伯彭波

(哈爾濱工業大學(威海)計算機科學與技術學院，山東 威海 264209)

為了設計具有規整曲率線網且無臍點的光滑曲面，提出一種曲面交互設計算法。采用Bézier曲面片光滑拼接構成的復合曲面作為表達形式，通過交替曲率線網的優化和曲面細分得到自由形狀的設計曲面，所得曲面具有規整曲率線網而且沒有臍點。以此復合Bézier曲面為基礎，通過圓紋樣條曲面優化算法得到結構規整的圓紋樣條曲面，同時也能得到圓錐曲面條模型以及曲面多層支撐結構等自由建筑曲面設計中有重要應用的幾何結構。

曲率線網；圓紋曲面；臍點；曲面設計

1 相關工作

在建筑曲面設計和數控加工等領域設計曲面上的曲率線具有重要的實際應用意義，例如在建筑曲面造型中，多層玻璃結構建筑物的支撐框架的走向必須與曲面的曲率線走向一致[1]，因此在應用中希望設計曲面的曲率線分布比較規整。規整的曲率線網是指曲率線分布比較整齊，而且曲率線網不含有奇異點。設計具有規整曲率線網的曲面難點之一是曲面的曲率線網對曲面形狀變化高度敏感[1-2]。圖1給出了一個參數曲面和曲面上的不規整的曲率線網，形狀簡單的曲面上具有很復雜的曲率線網。

現有曲面建模技術關注曲面的光順性、連續性和逼近誤差等要求，無法設計具有規整曲率線網且無臍點的連續參數曲面。已有的改善曲面光順性的工作也能夠在一定程度上改善曲面的曲率線分布，但不能保證得到具有規整曲率線網且無臍點的曲面。此類方法通過優化定義曲面上的能量函數改善曲面的光順性[3]。JOSHI[4]通過極小化曲面的曲率變化達到光順曲面的目的。一些方法通過直接或間接修改曲面上的高光線缺陷消除曲面的局部不光順形狀特征[5-7]。ALLIZE等[8]提出基于曲面上曲率線網的重新網格化方法，且不試圖改善曲面的曲率線分布也無法去除臍點。KN?PPEL等[9]提出網格曲面方向場的設計方法，可將主曲率方向作為約束生成沿曲率線的重新網格化結果，但該方法不能保證生成無臍點的曲面。LIU等[1]提出離散曲率線網格的計算方法，并討論了在建筑曲面設計中的應用。PAN等[10]提出了基于曲面片邊界上給定的方向場生成邊界內部的光順方向場，進而生成網格曲面的方法。

圖1 曲面上不規整的曲率線網

本文提出一種能夠生成具有規整曲率線網且無臍點的連續曲面設計算法。結合圓紋曲面優化技術得到具有規整結構的圓紋樣條曲面及其他在建筑曲面設計中有重要應用的特殊幾何結構。圓紋樣條曲面采用Dupin圓紋面上的曲面片光滑拼接構造復雜的形狀[11]。圓紋樣條曲面由圓弧樣條曲線組成，是曲面上的精確曲率線，在一定程度上實現了幾何表達和曲率表達的一致性。圓紋樣條曲面幾何性質的表達，在面向數字化制造中的曲面設計中具有重要的應用前景[12]。

圓紋樣條曲面建模的困難在于其自由度很少，傳統的方法無法生成具有復雜形狀的圓紋樣條曲面。SRINIVAS等[13]首先設計一個圓圈網格，在網格的指定頂點上定義一個標架，并通過反射約束傳播到整個曲面，但不能保證曲面的整體光順性。BO等[11]提出一種全局觀點的優化方法，將網格頂點和頂點上的標架一同優化，可以構造形狀復雜的圓紋樣條曲面。該方法在目標曲面上沿曲率線生成四邊形網格，網格結構比較復雜且存在奇異點。

本文的貢獻為：①提出一種無臍點且具有規整曲率線網的光滑曲面設計方法；②提供了具有規整結構的圓紋樣條曲面、圓錐曲面條模型及多層支撐結構等自由建筑支撐結構等自由曲面建筑設計中重要的幾何結構設計方法。

2 算法描述

本文提出的曲面設計方法，能夠設計具有規整曲率線網的光滑曲面。在曲面細分的設計流程中，用戶首先設計一個粗糙網格，表達設計意圖，然后通過迭代曲面細分和曲面優化得到光滑的曲面。

為了在曲面設計過程中提供一個光滑的曲面表示，本文以三次Bézier曲面拼接的復合曲面作為曲面表示形式，優化目標使Bézier曲面片的邊界曲線成為曲面上的曲率線，并由所有曲面片的邊界曲線構成復合曲面上的曲率線網結構。最后基于具有規整曲率線網結構的復合Bézier曲面，設計圓紋樣條曲面優化算法優化Bézier曲面的控制點，生成圓紋曲面片的有理二次多項式曲面的控制點和權重。

目標是讓復合曲面中Bézier曲面片的邊界曲線成為曲面的曲率線，基本策略是通過交替曲面細分和曲率線優化構造具有規整曲率線網的自由曲面，并以此曲面的幾何信息構造圓紋樣條曲面優化的初始。算法流程如圖2所示。首先交互設計初始網格并生成初始Bézier曲面。然后交替2個步驟：基于Bézier曲面片的規整曲率線網以及曲面細分。當得到的曲面符合設計要求時，優化復合Bézier曲面的控制點生成圓紋樣條曲面。

圖2 算法流程圖

初始設計網格是規整四邊形網格結構，網格細分可保持四邊形網格結構，曲面優化的目標是網格面片的邊界成為曲面的曲率線。由于圓紋曲面片沒有臍點，因此算法可以保證最后生成的圓紋樣條曲面符合設計意圖并且具有規整曲率線網結構。

2.1 初始曲面的交互設計

首先交互設計一個符合預期形狀的粗略四邊形網格曲面。每一個四邊形內生成3×3個小四邊形，小四邊形的頂點為控制點，在每一個原始四邊形面片上構造一個雙三次Bézier曲面(,)，其中，是參數。

2.2 曲率線網的優化

本文基于Bézier曲面拼接的復合曲面生成的具有規整曲率線網需考慮以下約束。

(1) 曲率線約束。考慮曲面片(,)的一個邊界曲線()，并優化其成為曲面的近似曲率線。假設()上的曲面法向量是()，()是曲線()上的切矢量。根據曲面上曲率線的性質可知曲線()是曲面的曲率線，當且僅當曲線()上每一點滿足如下約束[14]

其中，參數可以任意參數化，且()和()不要求是單位向量。在曲線上計算+1個采樣點，建立目標函數

定義曲面的曲率線目標函數為

(2) 曲面光滑拼接約束。根據Bézier曲面的幾何性質，其拼接的連續性條件可以用公共邊界鄰近的曲面控制點的關系表示。在設計過程中，由于四邊形片面拼接的曲面上不存在奇異點，因此相鄰的Bézier曲面1拼接的目標函數比較簡單，記為smooth。

(3) 網格光順控制。為了得到光順的曲面形狀，需增加網格的光順控制項，即

其中，v,v+1,v+2是網格流線上相鄰的3個頂點。該函數可使得流線上的頂點趨向均勻分布。

(4) 距離約束。為了避免曲面的形狀變化太大，增加網格頂點到初始位置的距離誤差，即

曲面優化目標函數為

由極小化目標函數式(2)得到具有規整曲率線網的復合Bézier曲面，其優化變量是曲面的所有控制點P。利用Gauss-Newton算法極小化目標函數式(2)，解析出算法中需要的導函數。目標函數中的權重取經驗值，本文選取的權重值分別為1=0.1，2=0.1，1=0.001，2=0.100。

2.3 曲面細分

曲率線優化生成由Bézier曲面片拼接構成的曲面，曲面片的邊界曲線是近似曲率線。初始控制網格的控制點較少，無法生成形狀復雜的曲面，本文通過曲面細分并增加曲面控制點的數量，從而增加造型的自由度。在建筑曲面設計中，曲面片的大小與建筑的結構性質和制造成本有緊密聯系，因此對曲面片的大小有具體的要求。在設計過程中，若曲面片大小不符合要求時，需進一步細分。

細分操作需將1個Bézier曲面剖分成4個，可通過重新參數化實現，細分的結果不改變曲面的形狀。當繼續優化曲率線時，在曲面光順項的作用下，曲面的形狀變得更加光順，同時該邊界曲線就是曲面的曲率線。

曲率線優化和曲面細分需要交替執行，可生成具有足夠數目曲面片的光滑曲面。設計人員的設計意圖決定了最終生成的曲面的面片數目，以此確定曲率線優化和曲面細分交替執行的次數。結果得到1拼接的Bézier曲面片構成的自由形狀，曲面片的邊界曲線可生成曲面的曲率線網。

2.4 生成圓紋樣條曲面

為得到圓紋曲面片光滑拼接的曲面，在每一片Bézier曲面的位置構造一個圓紋曲面片，其生成的復合曲面上曲面片的邊界曲線是曲率線。得到的曲面形狀符合設計要求時，進行圓紋曲面優化，當曲面的控制網格符合圓紋樣條曲面的約束，可確定一個圓紋樣條曲面。

不管注冊會計師怎樣小心嚴謹與認真，審計風險都是無法避免的。追其根本因素，審計風險是屬于客觀性的存在，列入審計成本方面的因素，想要減少審計風險就需要投入很大的人力與物力的資源，當風險被減少到一定程度的時候，進一步減少審計風險會造成適得其反。

因為曲率線優化和曲面細分算法生成的光滑Bézier曲面的邊界曲線是近似曲率線，為圓紋樣條曲面優化提供了高質量的初始。由Bézier曲面的控制網格頂點得到圓紋樣條曲面，其形狀和曲率線優化和曲面細分算法得到的Bézier復合曲面相比改變微小。基于Bézier曲面表示的圓紋曲面優化的約束如下：

圓紋曲面要求曲面邊界端點標架滿足該約束。考慮圖4中的曲面邊界0003，約束條件為

圓紋曲面優化的反射目標函數為

該目標函數的求和針對所有的網格邊。

(2) 切向垂直約束。以圖4中曲面片的頂點00為例，切向垂直約束為

正交約束的目標函數是

(3)1拼接約束。要求相鄰曲面片的邊界曲線光滑拼接，且相關控制點在一條直線上。圖4中2個曲面片在00點的1拼接條件為

即曲面光滑拼接目標函數為

2.5 復合曲面分析

本文計算一個具有規整曲率線網的由Bézier曲面1拼接的復合曲面。基于該曲面可得到圓紋樣條曲面優化的非常好的初始幾何信息，并提供了對最后生成的圓紋樣條曲面形狀的視覺評估依據。

根據圓紋曲面的定義以及曲面主曲率線網的幾何性質可知：曲率線優化和曲面細分的迭代算法構造的Bézier曲面的控制網格如果滿足約束條件(3)，控制網格可以確定一個圓紋曲面片。網格光順可使控制點形成對稱性，但即使滿足條件(3)，雙三次Bézier曲面仍無法精確表示圓紋曲面。所以希望算法生成的Bézier曲面以較高的精度近似一個圓紋樣條曲面，且對雙三次Bézier曲面逼近圓紋曲面片的能力感興趣。

記梯形控制多邊形生成的Bézier曲線上點的坐標(,)，圓弧對應點的坐標(，)。用|－|表示2條曲線的誤差，記夾角對應的Bézier曲線和圓弧之間的最大誤差為()。

舉例說明誤差()隨角度的變化。給出一個控制多邊形，控制點坐標0=(–10，0)，3=(10，0)，1和2由式(8)和式(9)計算得到。計算該曲線上采樣點的(平均分成100份)最大誤差()，如圖5所示。實驗表明，隨減小最大誤差()逐漸減小，當=89°時曲線上采樣點的最大誤差是0.313 1；當=30°時，曲線的最大誤差是0.021 7。圖6給出=89°和=30°時的圓弧和三次Bézier曲線。在圓紋樣條曲面上的圓弧角度一般不大，因此控制點滿足圓紋曲面約束的Bézier曲面與圓紋曲面片的逼近程度較高。

圖5 圓弧和Bézier曲線的最大誤差

圖6 圓弧和Bézier曲線的形狀

由于圓紋曲面片由正交的圓弧構成，因此三次Bézier曲線表示圓弧的能力與雙三次Bézier曲面表達圓紋曲面片的能力有密切關系，但從理論論證雙三次Bézier曲面表達圓紋曲面片的能力的相關結論比較困難。雖然利用有理Bézier曲面能夠精確表示曲面的邊界圓弧，但是基于有理形式的目標函數的優化要更困難，而且本文使用雙三次Bézier曲面只是作為一種中間表示形式，不要求能夠精確表示圓弧。

3 實驗和討論

3.1 曲率線準確度的可視化

3.2 實例和討論

(1) 圓紋樣條曲面建模實驗。圖7~10給出了幾個模型的設計和優化過程，以及生成的圓紋樣條曲面。圖(a)為交互設計的初始網格；圖(c)~(h)展示了優化和細分迭代過程中的中間結果，并顯示了衡量曲率線精確度的顏色編碼，其中，圖(c)和圖(d)分別為優化前、后的曲面以及曲面上的曲率線可視化；圖(e)和圖(f)經過1次曲面細分后，優化前、后的曲面以及曲率線可視化；圖(g)和圖(h)經過再一次細分后，優化前、后的曲面以及曲率線可視化。基于最后得到的具有規整曲率線網格結構的曲面，通過圓紋樣條曲面優化得到圓紋樣條曲面(圖(b))。實驗說明本文方法能夠有效地設計具有規整結構的自由形狀的圓紋樣條曲面。

圖7 模型1規則的優化過程

圖8 模型2的優化過程

圖9 模型3的優化過程

圖10 模型4的優化過程

圖中顯示了優化曲面設計過程中曲面邊界上沿法向的垂直曲面的可展性顏色編碼，反映曲面邊界是曲面的曲率線的程度。曲率線優化結束條件由式(10)計算的平均誤差決定，其可達到10–4數量級，如圖10中的模型曲面片邊界曲線上的直紋面的可展性式(10)的平均值為1.5×10–4。以此結果作為初始，利用優化算法可以成功得到具有規整曲率線網的圓紋樣條曲面。本實驗的測試平臺為Intel Core i5 2.5 G CPU，4 G內存，1T 硬盤的筆記本電腦。圖7~10的優化時間分別為：6 s，7 s，7 s和10 s。

(2) 自由曲面建筑結構的生成。圖11、12給出幾個圓紋樣條曲面的結果及特殊幾何結構。圖11和圖12(a)給出了圓紋樣條曲面的等距面，根據圓紋曲面的幾何性質，一個圓紋樣條曲面的等距面也是一個圓紋樣條曲面。圖11和圖12(b)~(c)給出了由圓紋樣條曲面得到的沿2個不同方向的圓錐條模型(conical strip)，在基于單向彎曲的可展曲面條的建筑表面設計和建造中有重要應用[16]。

圖11 圓紋樣條曲面結果及上面的幾何結構(模型5)

圖12 圓紋樣條曲面結果及上面的幾何結構(模型3)

在建筑設計中，其表面的支撐結構是曲面垂直的可展曲面，且曲面只能沿著曲面的主曲率線構造[17]。本文得到的曲率線規整的光滑曲面上的可展曲面(,)就是建筑設計中的支撐結構。圖13給出了結果曲面上的垂直支撐結構。

4 結束語

本文提出一種曲面的設計算法，能夠生成具有規整曲率線網而且無臍點的光滑曲面。基于該方法，結合圓紋樣條曲面的優化，能夠得到具有規整結構的圓紋樣條曲面，以及多種在自由建筑曲面設計中具有重要應用的特殊幾何結構。

未來的工作包括研究算法效率的提高以及曲面的交互形狀調整和編輯，目標是找到一種具有規整曲率線網的自由曲面交互設計技術。另外基于具有規整曲率線網的曲面的數控加工刀具形狀和運動軌跡的計算也有重要意義，是未來的研究方向。

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Design of Smooth Surfaces with Regular Network of Curvature Curves

ZHENG Hui-ying, BO Peng-bo

(School of Computer Science and Technology, Harbin Institute of Technology (Weihai), Weihai Shandong 264209, China)

A new algorithm is proposed for the design of a smooth surfaces which is required to have a regular mesh of curvature curves without any umbilical points. A composite surface as smoothly joint by Bézier surface patches is used in the design procedure. By the alternative steps of optimization of curvature line networks and surface subdivision, the free from surface is generated which has a regular network of curvature curves without an umbilical point. Based on the resultant surface, a cyclide spline surface with regular structures, conical strip models and multi-layer support structures for freeform architectural surface design are easily obtained.

curvature line network; cyclide surface; umbilical point; surface design

TP 391

10.11996/JG.j.2095-302X.2019010046

A

2095-302X(2019)01-0046-08

2018-06-06；

2018-06-24

國家自然科學基金項目(61672187)；山東省重點研發計劃項目(2018GGX103038)；模式識別國家重點實驗室開放課題項目(201800013)

鄭薈瑩(1993-)，女，河南周口人，碩士研究生。主要研究方向為計算機輔助幾何設計。E-mail：pengbo@hitwh.edu.cn

伯彭波(1978-)，男，山東威海人，副教授，博士，碩士生導師。主要研究方向為計算機圖形學。E-mail：pbbo@hit.edu.cn