具有初始熱變形的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)分析

馬艷紅， 劉海舟， 鄧旺群， 楊海， 洪杰,*

(1. 北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院， 北京 100083； 2. 先進(jìn)航空發(fā)動機(jī)協(xié)同創(chuàng)新中心， 北京 100083；3. 中國航發(fā)湖南航空動力機(jī)械研究所， 株洲 412002； 4. 航空發(fā)動機(jī)振動技術(shù)航空科技重點實驗室， 株洲 412002)

隨著航空發(fā)動機(jī)向高負(fù)荷、輕質(zhì)化的方向發(fā)展，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動問題越來越突出。當(dāng)這類發(fā)動機(jī)停車后再次起動(即熱起動)時，發(fā)動機(jī)內(nèi)的溫度分布不均會使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生初始熱變形，進(jìn)而使轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)進(jìn)一步惡化，甚至導(dǎo)致發(fā)動機(jī)起動失敗。事實上，國內(nèi)外對發(fā)動機(jī)在熱起動過程中由初始熱變形引起的振動過大的故障屢有報道。朱梓根和晏礪堂[1]對某渦槳發(fā)動機(jī)在熱起動過程中出現(xiàn)較大的振動響應(yīng)，甚至引起轉(zhuǎn)靜子碰摩故障的現(xiàn)象進(jìn)行了研究。張連祥等[2-3]對某渦扇發(fā)動機(jī)在熱起動過程中振動過大的原因進(jìn)行了分析。Marinescu[4]與Baldassarre[5]等發(fā)現(xiàn)，當(dāng)發(fā)動機(jī)熱起動時，軸承上會出現(xiàn)較大的動載荷。因此，準(zhǔn)確描述和分析初始熱變形對轉(zhuǎn)子動力學(xué)特性的影響具有重要的工程意義。

在早期研究中，關(guān)于初始熱變形對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)影響的研究多以轉(zhuǎn)軸初始熱彎曲為重點，并以簡單轉(zhuǎn)子模型為對象開展理論分析。Nicholas等[6-7]通過Jeffcott轉(zhuǎn)子模型，從幅值和相位的角度詳細(xì)分析了轉(zhuǎn)軸初始彎曲對其不平衡響應(yīng)的影響規(guī)律，并提出了相應(yīng)的平衡方法。Shiau和Lee[8]在Nicholas等[6-7]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步完善，考慮了轉(zhuǎn)軸初始彎曲對轉(zhuǎn)子在初始不平衡和輪盤初始傾斜下響應(yīng)的影響。近年來，研究對象逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)閷嶋H的、較為復(fù)雜的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，但對初始熱變形影響的研究仍以轉(zhuǎn)軸初始熱彎曲為主。Pennacchi等[9-10]通過對轉(zhuǎn)子施加與轉(zhuǎn)速同步旋轉(zhuǎn)的彎曲力矩，研究了帶有初始熱彎曲的轉(zhuǎn)子的故障診斷方法，并以實際發(fā)動機(jī)故障為例，驗證了診斷方法的可行性。Sanches和Pederiva[11]也進(jìn)行了相似的研究，他們對同時帶有不平衡量和初始彎曲的轉(zhuǎn)子的診斷方法進(jìn)行了研究，認(rèn)為初始彎曲對轉(zhuǎn)子振動特性的影響可通過與轉(zhuǎn)速同步旋轉(zhuǎn)的激振力來等效。任平珍等[12-13]利用傳遞矩陣的方法推導(dǎo)了具有熱彎曲的轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)計算方法，并與試驗結(jié)果進(jìn)行了對比分析。袁慧群等[14-15]通過有限元法，計算了某高壓轉(zhuǎn)子停車后不同時刻的溫度分布、熱應(yīng)力及熱變形，并據(jù)此計算轉(zhuǎn)子的等效熱彎矩來模擬熱彎曲對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響。

上述文獻(xiàn)針對初始熱變形引起的轉(zhuǎn)軸初始彎曲對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響進(jìn)行了深入的研究，但這些研究沒有考慮轉(zhuǎn)子初始熱變形引起的構(gòu)件質(zhì)心變化。此外，針對初始熱變形對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響規(guī)律也缺乏詳細(xì)研究。本文考慮了初始熱變形引起的轉(zhuǎn)子構(gòu)件的質(zhì)心變化，并根據(jù)初始熱變形對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的作用效果，建立了相應(yīng)的動力學(xué)方程。通過對方程進(jìn)行模態(tài)坐標(biāo)變換，分析了初始熱變形對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 初始熱變形轉(zhuǎn)子及其動力學(xué)方程

1.1 熱狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子變形

航空發(fā)動機(jī)停車后，雖然在流道內(nèi)可以采取強(qiáng)制換熱措施，但是在轉(zhuǎn)子盤-軸結(jié)構(gòu)上仍會有不均勻的溫度分布，其典型分布如圖1所示。圖中以轉(zhuǎn)子左端下表面的溫度為基準(zhǔn)，對溫度分布進(jìn)行了無量綱化。轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)的溫度分布為渦輪段高于壓氣機(jī)段，截面上下兩端的溫度梯度由于與實際的材料、構(gòu)形和連接界面等因素有關(guān)，并無顯著規(guī)律。

圖1 發(fā)動機(jī)停車后轉(zhuǎn)子溫度分布示意圖Fig.1 Schematic of rotor temperature distribution after engine shutdown

圖2 轉(zhuǎn)子微元體熱彎曲Fig.2 Thermal bow of a rotor element

假設(shè)轉(zhuǎn)子完全冷卻后的溫度為T0，當(dāng)發(fā)動機(jī)進(jìn)行熱起動時，由于溫度在徑向上分布不均，轉(zhuǎn)子截面上端的溫度T1與下端的溫度T2并不相同，如圖2所示。假設(shè)截面溫度在豎直方向上滿足線性分布(線性分布假設(shè)只是為了便于說明溫度分布對轉(zhuǎn)子彎曲變形的影響，并不一定與實際情況相同)，并設(shè)轉(zhuǎn)子微元體的轉(zhuǎn)角為φ，則由幾何關(guān)系可得

hdφ=α(T2-T0)dx-α(T1-T0)dx

(1)

移項得

(2)

式中：α為材料線膨脹系數(shù)；h為轉(zhuǎn)子截面高度。式(2)說明，轉(zhuǎn)子截面徑向的溫度梯度通過影響截面的軸向變形使轉(zhuǎn)子發(fā)生彎曲變形，且溫度梯度越大，轉(zhuǎn)子的彎曲變形越嚴(yán)重。此外，變形還與結(jié)構(gòu)的材料、尺寸等因素有關(guān)。

轉(zhuǎn)子截面上的溫度梯度還會使截面的徑向變形產(chǎn)生差異，進(jìn)而使其形心偏移。如圖3所示，由于轉(zhuǎn)軸和輪盤的結(jié)構(gòu)特征、材料熱膨脹系數(shù)以及連接界面的影響，當(dāng)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生初始熱變形后，輪盤的質(zhì)心不一定與轉(zhuǎn)軸形心線重合，因此，初始熱變形后的輪盤會產(chǎn)生附加質(zhì)心偏移量δ。

設(shè)輪盤截面上、下端的位移分別為yd,u、yd,l，轉(zhuǎn)軸截面上、下端的位移分別為ys,u、ys,l，則輪盤和轉(zhuǎn)軸的中心近似為(yd,u+yd,l)/2和(ys,u+ys,l)/2，因此，輪盤的質(zhì)心偏移量近似為

(3)

圖3 輪盤質(zhì)心偏移Fig.3 Eccentricity of center of mass of a disk

同樣，由于轉(zhuǎn)軸和輪盤的結(jié)構(gòu)特征、材料熱膨脹系數(shù)以及連接界面的影響，當(dāng)轉(zhuǎn)子產(chǎn)生初始熱變形后，輪盤中心線不一定與轉(zhuǎn)軸形心線在輪盤處的切線重合，因此，初始熱變形后的輪盤還將產(chǎn)生初始傾斜量τ，如圖4所示。

由上述分析可知，轉(zhuǎn)子溫度分布不均引起的轉(zhuǎn)子初始熱變形主要有3類：轉(zhuǎn)軸彎曲變形、輪盤質(zhì)心相對旋轉(zhuǎn)中心線偏移、輪盤中心線相對旋轉(zhuǎn)中心線偏移。

圖4 輪盤初始傾斜Fig.4 Initial skewness of a disk

1.2 轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程

通過有限元法對轉(zhuǎn)子進(jìn)行振動分析，并采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)建立動力學(xué)方程[16]：

(4)

式中：M為質(zhì)量矩陣；G為陀螺矩陣；K為剛度矩陣；ω為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速；q為轉(zhuǎn)子各節(jié)點位移向量，q=[x1+iy1,θy1+iθx1,…,xk+iyk,θyk+iθxk]T；F為作用于轉(zhuǎn)子上的激勵。

設(shè)轉(zhuǎn)子由初始熱變形引起的轉(zhuǎn)軸初始彎曲、輪盤質(zhì)心偏移和輪盤初始傾斜分別為b、δ和τ。式(4)的物理意義是各節(jié)點處滿足力的平衡方程。轉(zhuǎn)軸初始彎曲b等效于對轉(zhuǎn)子作用了與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)的外力Kbeiωt。輪盤質(zhì)心偏移δ等效于對轉(zhuǎn)子作用了附加不平衡量ε=m°δ(“°”為Hadamard乘積，表示向量各分量相乘)，進(jìn)而引起附加不平衡激勵εω2eiωt，其中，m=[…,mk,0,…]T為輪盤質(zhì)量列陣，mk表示位于節(jié)點k的輪盤的質(zhì)量，δ=[…,δk,0,…]T為輪盤質(zhì)心偏移列陣，δk表示位于節(jié)點k的輪盤的質(zhì)心偏移量。輪盤初始傾斜會產(chǎn)生陀螺力矩(Ip-Id)°τω2eiωt，Ip=[…,0,Ip,k,…]T為輪盤極轉(zhuǎn)動慣量列陣，Ip,k表示位于節(jié)點k的輪盤的極轉(zhuǎn)動慣量，Id=[…,0,Id,k,…]T為輪盤直徑轉(zhuǎn)動慣量列陣，Id,k表示位于節(jié)點k的輪盤的直徑轉(zhuǎn)動慣量，τ=[0,…,0,τk,…]T為輪盤初始傾斜角列陣，τk表示位于節(jié)點k的輪盤的初始傾斜角。將上述表達(dá)式代入式(4)可得

(Ip-Id)°τω2]eiωt

(5)

由式(5)可知，轉(zhuǎn)子的3種初始熱變形形式相當(dāng)于在轉(zhuǎn)子上作用了3種附加激勵，且這3種激勵均與轉(zhuǎn)子同步旋轉(zhuǎn)。其中，轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵Kbeiωt的大小與轉(zhuǎn)速無關(guān)，附加不平衡激勵εω2eiωt和附加陀螺力矩激勵(Ip-Id)°τω2eiωt均與輪盤的慣性有關(guān)，其大小正比于轉(zhuǎn)速的平方。

需要注意的是，對于實際發(fā)動機(jī)，輪盤的質(zhì)心偏移和初始傾斜與轉(zhuǎn)軸和輪盤的結(jié)構(gòu)特征、材料熱膨脹系數(shù)以及連接界面的影響有關(guān)，其沿軸向的分布特征難以準(zhǔn)確確定。因此，最好通過區(qū)間數(shù)來描述，即εω2eiωt和(Ip-Id)°τω2eiωt更準(zhǔn)確的表達(dá)形式應(yīng)為εIω2eiωt和(Ip-Id)°τIω2eiωt，εI和τI表示向量中各元素以區(qū)間數(shù)表示。

2 初始熱變形對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響

2.1 轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程模態(tài)坐標(biāo)變換

轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)速為ω時的自由振動方程為

(6)

假設(shè)解的形式為q=φeiΩt，Ω為轉(zhuǎn)子的渦動角速度，φ為待求的常數(shù)列向量，則轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)速為ω時的特征方程為

[-Ω2M+ωΩG+K]φ=0

(7)

令Ω=ω，即可求得轉(zhuǎn)子第i階臨界轉(zhuǎn)速ωcr,i及其對應(yīng)振型φi。對于ωcr,i和φi，顯然成立

(8)

由于采用復(fù)數(shù)坐標(biāo)時，陀螺矩陣G為對稱矩陣，則M-G和K均為對稱矩陣。設(shè)Φ=[φ1,φ2,…,φn]T，則由振動力學(xué)可知，Φ使得式(9)成立：

(9)

(10)

當(dāng)轉(zhuǎn)子存在轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵、附加不平衡激勵和附加陀螺力矩激勵時，其動力學(xué)方程為

εIω2eiωt+(Ip-Id)°τIω2eiωt

(11)

[-ω2ΦT(M-G)Φ+ΦTKΦ)η=

ΦT[Kb+εIω2+(Ip-Id)°τIω2]

(12)

即

(13)

因此

(14)

式中：f=[f1,f2,…,fn]T為節(jié)點載荷列陣；λi=ω/ωcr,i為第i階頻率比。

因此，轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)可寫為

(15)

將具體的熱變形激勵的表達(dá)式代入式(15)即可分析其對轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)的影響。

2.2 轉(zhuǎn)子初始熱變形對振動響應(yīng)的影響

圖5為航空發(fā)動機(jī)中的典型轉(zhuǎn)子。其臨界轉(zhuǎn)速對應(yīng)的振型分別為平動振型、俯仰振型(統(tǒng)稱剛體振型)和一彎振型，且工作轉(zhuǎn)速一般位于剛體振型臨界轉(zhuǎn)速以上，靠近一彎振型臨界轉(zhuǎn)速。由式(15)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子分別通過各階臨界轉(zhuǎn)速時，其振動響應(yīng)近似為

(16)

相應(yīng)的轉(zhuǎn)子位移和支承反力分別為

(17)

(18)

圖5 典型航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子模型Fig.5 A model of typical aeroengine rotors

式中：xi,brg為支點在第i階振型中的位移；kbrg為支點支承剛度。

3) 附加不平衡激勵εIω2和附加陀螺力矩激勵(Ip-Id)°τIω2沿軸向分布具有非確定性，使得振動響應(yīng)也具有區(qū)間分布的特點，振動響應(yīng)的這種非確定性可能使轉(zhuǎn)子的支承反力進(jìn)一步加大。因此，如何更準(zhǔn)確地確定附加不平衡激勵和附加陀螺力矩激勵的分布需要進(jìn)一步的研究，如在實際工程應(yīng)用中通過統(tǒng)計的方法進(jìn)行分析等。

3 典型航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)分析

如圖6所示，燃?xì)獍l(fā)生器轉(zhuǎn)子為兩支點支承的大長徑比轉(zhuǎn)子，且工作轉(zhuǎn)速靠近彎曲臨界轉(zhuǎn)速，是航空發(fā)動機(jī)中典型的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。以該實際轉(zhuǎn)子為例，分析其存在初始熱變形時的振動響應(yīng)。

該轉(zhuǎn)子支點跨度為600 mm，最大直徑為200 mm，軸承直徑為50 mm，壓氣機(jī)材料為TC11，渦輪材料為GH4169。在ANSYS中，采用梁單元BEAM188模擬轉(zhuǎn)子，質(zhì)量單元MASS21模擬輪盤，彈簧單元COMBIN14模擬支點，節(jié)點數(shù)為14，單元數(shù)為16。

圖6 典型航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子Fig.6 A typical aeroengine rotor

按照1.2節(jié)中的熱變形轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程(式(5))，根據(jù)轉(zhuǎn)子在給定溫度場下初始熱變形的有限元計算結(jié)果，轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵可通過作用于轉(zhuǎn)子軸段中部的徑向同步激振力(約5 750 N)來模擬。對于附加不平衡激勵和附加陀螺力矩激勵，這里僅考慮第一級渦輪盤。根據(jù)初始熱變形的計算結(jié)果，渦輪盤的附加不平衡量約為45 g·mm，考慮連接結(jié)構(gòu)界面接觸等不確定因素的影響，以區(qū)間數(shù)表示不平衡量變化范圍[36,54] g·mm(偏差范圍取為20%)。同樣地，對于渦輪盤的附加陀螺力矩激勵，由于難以準(zhǔn)確確定數(shù)值，根據(jù)計算和統(tǒng)計分析取為[0.000 8,0.001 2] rad(偏差范圍取為20%)。上述激勵的相位均相同。按照上述激勵，計算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在不同轉(zhuǎn)速下的振動響應(yīng)，如圖7～圖9所示。需要說明的是，由于僅是3種激勵的幅值存在區(qū)間分布，且3種激勵作用的節(jié)點均只有1個，因此，轉(zhuǎn)子分別在這3種激勵下的振動響應(yīng)為激勵幅值的單調(diào)函數(shù)，其區(qū)間的上/下界可直接由激勵幅值的上/下界確定。

圖7 轉(zhuǎn)子在初始彎曲激勵下的振動響應(yīng)Fig.7 Vibration response of rotor under initial bow excitation

圖8 轉(zhuǎn)子在附加不平衡激勵下的振動響應(yīng)Fig.8 Vibration response of rotor under additional unbalance excitation

圖9 轉(zhuǎn)子在附加陀螺力矩激勵下的振動響應(yīng)Fig.9 Vibration response of rotor under additional gyroscopic moment excitation

4 結(jié) 論

基于理論和仿真，本文主要結(jié)論如下：

1) 轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)系統(tǒng)溫度分布不均產(chǎn)生的初始熱變形會對轉(zhuǎn)子的振動響應(yīng)產(chǎn)生影響，根據(jù)力學(xué)特征可分為：轉(zhuǎn)軸初始彎曲、輪盤質(zhì)心偏移和輪盤初始傾斜，分別使轉(zhuǎn)子產(chǎn)生轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵、附加不平衡激勵和附加陀螺力矩激勵。

2) 當(dāng)附加不平衡激勵和附加陀螺力矩激勵的幅值和方向滿足一定的條件時，其與轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵在支點處引起的振動響應(yīng)之和大于僅由初始彎曲激勵在支點處引起的振動響應(yīng)，即與僅考慮轉(zhuǎn)軸初始彎曲的轉(zhuǎn)子相比，附加不平衡激勵和附加陀螺力矩激勵可能加大支點支承反力的振動響應(yīng)。

3) 附加不平衡激勵和附加陀螺力矩激勵的大小正比于轉(zhuǎn)速的平方，其對轉(zhuǎn)子通過頻率較低和較高的臨界轉(zhuǎn)速時的支承反力均可能有較大的影響，具體影響程度與轉(zhuǎn)子的振型及激勵的分布特征有關(guān)。而轉(zhuǎn)軸初始彎曲激勵大小與轉(zhuǎn)速無關(guān)，其主要影響轉(zhuǎn)子通過頻率較低的臨界轉(zhuǎn)速時的支承反力。

4) 由于航空發(fā)動機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)材料不同且存在連接界面和幾何結(jié)構(gòu)突變，其盤-軸結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的初始熱變形難以確定，使得附加不平衡激勵和附加陀螺力矩激勵的大小與相位具有非確定性，進(jìn)而，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)表現(xiàn)出分散性和區(qū)間分布特點。因此，在工程應(yīng)用中可以對具體結(jié)構(gòu)統(tǒng)計分析其熱變形特征。