一種新的矩獨立重要性測度分析方法及高效算法

鞏祥瑞， 呂震宙， 孫天宇， 張雷雷， 封雷

(1. 西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所, 西安 710065； 2. 西北工業(yè)大學 航空學院, 西安 710072)

靈敏度分析方法主要研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的輸入變量對輸出響應的影響程度[1]，已廣泛應用于可靠性工程[2]、危險分析[3-4]、環(huán)境科學[5]、計算物理化學[6-7]等領(lǐng)域。靈敏度分析一般分為局部靈敏度分析方法和全局靈敏度分析方法。局部靈敏度分析方法研究模型輸入變量的分布參數(shù)對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出響應的影響程度[8]，只能反映輸入變量在某一名義值處對輸出響應的影響，具有很大的局限性[9]。

全局靈敏度分析，也稱為重要性測度分析，研究一個或多個輸入變量對模型輸出響應的影響程度，能夠反映輸入變量對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出響應的平均影響程度，因此，該分析方法在實際工程中得到了更廣泛的應用。重要性測度分析方法的核心思想是對影響結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出響應的輸入變量進行重要性排序，從而得到對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出響應影響較大的輸入變量，為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的設計改進提供理論依據(jù)。近年來，研究人員已經(jīng)提出了很多重要性測度分析方法。Saltelli 和 Helton提出了無參的方法，但缺乏模型的獨立性[9-10]。Sobol[11]和 Iman[12]等提出了基于方差的重要性測度分析方法和相應的求解算法，該方法隱含地假設了方差可以充分描述結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出響應的不確定性。然而，相關(guān)學者指出隨機變量的任何一階矩只能反映其部分信息，必然會丟失一些信息[13]。為了分析輸入變量在其整個分布區(qū)域上對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出響應的影響程度，Borgonovo[14]、Liu[15]和 Li[16]等又分別提出了矩獨立重要性測度分析(Moment-independent Importance Measures analysis，M-IM)方法。

目前，Borgonovo[14]所提出的矩獨立重要性測度分析方法應用最為廣泛。但在可靠性分析中，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率通常是工程技術(shù)人員所關(guān)注的焦點。Li等[16]又提出了基于失效概率的矩獨立重要性測度分析方法，該方法能夠計算輸入變量在其分布區(qū)域的任一固定點時，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的無條件失效概率和條件失效概率的平均偏差。然而，在實際工程中將輸入變量固定于某一點，這是很難實現(xiàn)的，只能使輸入變量在其分布區(qū)域的某一區(qū)間上縮減變化。

為了解決這一問題，Wei等[17]提出了一種新的輸入變量縮減區(qū)間的獲取方法，該方法的基本思想是：首先產(chǎn)生2個隨機數(shù)q1和q2，q1和q2服從均勻分布，q1～U(0,1)，q2～U(q1,1)，然后根據(jù)輸入變量累積分布函數(shù)的逆函數(shù)F-1(·)，得到輸入變量的縮減區(qū)間[F-1(q1),F-1(q2)]。該方法的優(yōu)點是很容易獲取輸入變量的縮減區(qū)間，然而它并沒有考慮輸入變量縮減區(qū)間獲取的任意性和等可能性。

本文提出了一種新的基于失效概率的矩獨立重要性測度分析方法，并給出了一種更加合理的輸入變量縮減區(qū)間的獲取方法。同時，引入自適應超球重要抽樣(Adaptive Radial-Based Importance Sampling，ARBIS)方法[18-19]，構(gòu)建所提新指標的高效求解算法。應用數(shù)值算例和工程算例，驗證本文所提新指標的合理性和求解算法的高效性。

1 新的矩獨立重要性測度指標

1.1 新指標的定義

EQ(E(IF)-E(IF|Xi∈Ui(Q)))2

(1)

式中：Pf為非條件失效概率；Q為分位數(shù)矩陣，用來生成輸入變量Xi的縮減區(qū)間；當Xi的分布區(qū)間縮減到其所有可能的子區(qū)間Ui(Q)時，就能夠得到條件失效概率Pf|Xi∈Ui(Q)；EQ(·)為對Q求期望；IF為指示函數(shù)，當X位于失效域(即g(X)≤0)時，IF(x)=1，否則IF(x)=0。

1.2 輸入變量縮減區(qū)間獲取方法

為了等概率地獲取輸入變量所有可能的縮減區(qū)間，首先定義一個分位數(shù)矩陣Hk(3×2)：

(2)

式中：hk(1)和hk(2)為[0,1]區(qū)間上的2個隨機數(shù)，滿足0≤hk(1)

Hk(k=1,2,…,N)組成一個(3N×2)的分位數(shù)矩陣Q：

(3)

式中：Hk(k=1,2,…,N) 是被等概率獲取的，例如P{Hk}=1/N。

為了更好地理解式(3)，可表示為

(4)

式中：q3k-2(1)=0，q3k-2(2)=q3k-1(1)=hk(1)，q3k-1(2)=q3k(1)=hk(2)，q3k(2)=1 (k=1,2,…,N)。

因此，根據(jù)分位數(shù)矩陣Q就可以定義縮減區(qū)間矩陣U為

(5)

對于輸入變量Xi，其縮減區(qū)間可表示為

(6)

上述是一種新的區(qū)間劃分技術(shù)來獲取輸入變量在其分布區(qū)域上所有可能的縮減區(qū)間。本文所提出的這種新的區(qū)間獲取方法具有2個優(yōu)點：①輸入變量所有可能的縮減區(qū)間能夠被等可能地獲取，從而就能夠更加合理地計算當輸入變量在其分布區(qū)域的縮減區(qū)間上變化時對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效概率的平均影響程度；②全期望公式在這種區(qū)間劃分技術(shù)中成立，基于全期望公式，第2節(jié)中就能夠?qū)⒈疚奶岢龅男碌幕谑Ц怕实木鬲毩⒅匾詼y度指標轉(zhuǎn)化為更加便于計算的基于方差的重要性測度指標。

2 新指標與基于方差的指標的關(guān)系

由于1.2節(jié)中提出的輸入變量縮減區(qū)間獲取方法中全期望公式成立，就能夠推導出新的矩獨立重要性測度指標與基于方差的重要性測度指標間的關(guān)系，同時得到一種新的基于方差的矩獨立重要性測度指標表示方式。

輸入變量在縮減區(qū)間上的全期望公式表示為

E(IF)=EQ(E(IF|Xi∈U(Q)))

(7)

證明過程詳見附錄A。

VQ(E(IF|Xi∈Ui(Q)))

(8)

從式(8)中可以看出，新的矩獨立重要性測度指標能夠很容易地轉(zhuǎn)換為基于方差的重要性測度指標，從而新的矩獨立重要性測度指標就能夠采用基于方差的重要性測度分析方法來進行求解。

3 新指標的高效求解算法

新的矩獨立重要性測度指標傳統(tǒng)的計算方法是雙層重復抽樣蒙特卡羅(Double-Loop-Repeat-Set Monte Carlo，DLRS MC)[17]方法，該方法先用N個樣本點計算非條件失效概率，然后在每一個子區(qū)間上，再產(chǎn)生N個新的樣本點來計算條件失效概率，最后計算非條件失效概率和條件失效概率差異的平均值。

DLRS MC方法可以獲得高精度的結(jié)果值，但其計算量很大，計算效率較低。本節(jié)提出了一種新的求解算法——ARBIS方法，旨在對新的矩獨立重要性測度指標進行高效求解。

3.1 自適應超球重要抽樣方法

ARBIS方法最初是用來計算失效概率的，而計算新的基于失效概率的矩獨立重要性測度指標的核心就是計算非條件失效概率和條件失效概率。因此，本節(jié)基于ARBIS方法構(gòu)建新指標的求解算法。

ARBIS方法[18-19]的基本思想是自適應地尋找到一個落在功能函數(shù)安全域內(nèi)的最大的超球。當抽樣點落入超球內(nèi)部時，就將該抽樣點歸類為安全點，不必再代入結(jié)構(gòu)系統(tǒng)功能函數(shù)進行求解。因此，該方法在計算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出響應的失效概率時，計算量將大幅度降低。同時， ARBIS方法采用自適應的方法來獲取滿足條件的最大超球半徑，相比于傳統(tǒng)的梯度搜索算法，效率更高，穩(wěn)健性也更好。

任何一個隨機變量通過合適的變換方法，都可以轉(zhuǎn)換到標準正態(tài)空間中[20-21]。因此，以下步驟都假定在標準正態(tài)空間中進行。為了更好地理解ARBIS方法，給出該方法的一些關(guān)鍵步驟。

步驟1設定初始化超球半徑β0。 為了確保超球與失效域相交，初始半徑β0可通過式(9)來確定：

(9)

步驟2根據(jù)隨機變量的分布類型，通過轉(zhuǎn)化得到標準正態(tài)空間的樣本點uk(k=1,2,…,N)。

(10)

圖1 自適應策略獲取最優(yōu)化半徑Fig.1 Adaptive strategy for obtaining optimal radius

步驟6重復步驟4和步驟5，直到收斂條件被滿足[22]，即可得到最優(yōu)的超球半徑βopt。

3.2 采用自適應超球重要抽樣方法求解新指標

當輸入變量Xi縮減到區(qū)間Ui(Q)時，Xi就是一個截斷變量，則所有輸入變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)可表示為

(11)

式中：K為截斷系數(shù)，可表示為

(12)

對于式(12)的估計，并不需要計算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的功能函數(shù)值，其計算量可以忽略。因此，條件失效概率Pf|Xi∈Ui(Q)可重新表示為

(13)

從式(13)中可以看出，條件失效概率Pf|Xi∈Ui(Q)的計算已轉(zhuǎn)化為一個不含截斷變量的多模態(tài)并聯(lián)系統(tǒng)問題。經(jīng)過這種轉(zhuǎn)化，構(gòu)建ARBIS方法計算新的矩獨立重要性測度指標的算法如下：

步驟1自適應搜索獲取超球半徑βopt，并計算無條件失效概率Pf；同時得到半徑為βopt的超球外失效點組成的樣本點矩陣B。

步驟2當輸入變量Xi縮減到區(qū)間Ui(Q)時，在樣本點矩陣B中搜索輸入變量Xi落在縮減區(qū)間Ui(Q)的樣本點，記樣本點個數(shù)為m。

步驟3計算條件失效概率：

(14)

式中：N為采用ARBIS方法的初始樣本點個數(shù)。

4 算例分析

4.1 數(shù)值算例

某一結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的功能函數(shù)可表示為

(15)

式中：X1、X2和X3為相互獨立的輸入隨機變量，均服從標準正態(tài)分布，即Xi～N(0,1),i=1,2,3。

表1 DLRS MC方法和ARBIS方法計算的新的矩獨立重要性測度指標值Table 1 New moment-independent importance measure indices of numerical example computed by DLRS MC and ARBIS methods

圖2 DLRS MC方法和ARBIS方法計算的新的矩獨立重要性測度指標的收斂曲線Fig.2 Convergence curves of new moment-independent importance measure indices of numerical example computed by DLRS MC and ARBIS methods

4.2 工程算例

在汽車結(jié)構(gòu)中，車橋承載著大部分汽車重量，其通過懸臂與車架相接，將來自車輪的牽引力和制動力，還有側(cè)向力經(jīng)過懸架傳遞給車架，起主要承載作用的就是汽車前軸[23]。由于工字型截斷梁能夠提高抗彎強度，因此前軸通常采用工字結(jié)構(gòu)梁。

圖3為前軸的結(jié)構(gòu)示意圖。危險截面處的最大正應力為σ=M/Wx，最大切應力為τ=T/Wρ，M為彎矩，T為扭矩，Wx為截面系數(shù)，Wρ為極截面系數(shù)，且有

(16)

Wρ=0.8bt2+0.4[a3(h-2t)/t]

(17)

考慮前軸結(jié)構(gòu)靜強度失效，有以下極限狀態(tài)方程：

(18)

式中：σS為靜強度屈服極限，根據(jù)前軸材料特性有σS=460 MPa;g為裕度值。

前軸結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)和承受外載看作獨立正態(tài)隨機變量，分布參數(shù)如表2所示。

采用DLRS MC方法和ARBIS方法計算的新的矩獨立重要性測度指標結(jié)果如表3所示，同時也給出了計算功能函數(shù)的總次數(shù)。可以看出，2種算法計算結(jié)果相近。圖4給出了DLRS MC方法和ARBIS方法計算結(jié)果標準差的收斂曲線。可見，估計值的標準差都比較小，因此計算結(jié)果可靠穩(wěn)健。DLRS MC方法的總次數(shù)為446 000，而ARBIS方法計算總次數(shù)僅為4 475，因此ARBIS方法的計算效率很高。

2種算法計算的新的矩獨立重要性測度指標的排序均相同：t>T>b>a>h>M。這表明當分別固定6個輸入隨機變量在其各自的分布區(qū)域內(nèi)縮減變化時，t對汽車前軸結(jié)構(gòu)的失效概率影響程度最大，而M對其失效概率的影響幾乎可以忽略不計。

圖3 汽車前軸結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic of automobile front axle structure

表2 汽車前軸結(jié)構(gòu)各輸入變量分布參數(shù)Table 2 Distribution parameters of input variables of automobile front axle structure

表3 DLRS MC方法和ARBIS方法計算汽車前軸指標結(jié)果Table 3 Results of indices of automobile front axle computed by DLRS MC and ARBIS methods

圖4 DLRS MC方法和ARBIS方法計算汽車前軸的收斂曲線Fig.4 Convergence curves of automobile front axle computed by DLRS MC and ARBIS methods

5 結(jié) 論

本文提出了一種新的基于失效概率的矩獨立重要性測度分析方法來計算輸入隨機變量對結(jié)構(gòu)系統(tǒng)輸出響應失效概率的平均影響程度。

1) 建立了一種新的區(qū)間劃分技術(shù)來等可能地獲得輸入隨機變量所有可能的縮減區(qū)間，并給出了相應證明。

2) 引入了自適應超球重要抽樣方法來進行新指標的求解，提高了計算效率。

3) 給出了一個數(shù)值算例和一個工程算例，說明了本文所提新指標的意義，同時也驗證了新算法的高效性。