數學模型在中學幾何光學教學中的應用
——以“探究光的反射定律”為例

(華南師范大學物理與電信工程學院，廣東 廣州 510000)

1 問題的提出

“光的反射定律”是中學幾何光學中的重點內容，筆者在多年的教學實踐中發現學生在本節的學習常出現下列問題：(1) 誤把入射角的余角、反射角的余角當作入射角和反射角；(2) 對于探究“兩線分居”和“三線共面”的目的不明了；(3) 認為反射規律較為冗長復雜，難以全部掌握。

對學生學習過程中出現的問題進行溯源，本節在教學中常出現的誤區有：(1) 未能建立以光線模型為核心的幾何光學的研究思路；(2) 直接告訴學生入射角和反射角的概念，未能體現入射角和反射角概念建立的合理性；(3) 用驗證型實驗代替科學探究，未能發揮探究性教學的教育價值；(4) 忽視對模型法教育價值的挖掘。本文運用軸對稱數學模型，針對以上教學問題，提出了切實可行的教學方案，體現了物理科學方法的教育價值。

2 基于數學模型的探究性教學設計

2.1 數學模型

模型指的是模擬原型的形式，而這里的原型一般需經過抽象處理，使其具備所研究系統的結構形態或運動形態。數學模型則是用數學語言描述的一類模型，數學模型方法是指舍去研究對象(原型)的一些非本質的聯系和次要的細節，用數學語言進行抽象、描述，用更簡化和理想化的形式去反映原型的本質特點與規律。數學模型法包括兩個方面：一是對原形的數學抽象，二是具體研究數學模型，得出原型的本質規律。例如為了研究平拋物體的運動軌跡特點，我們可以建立拋物線的模型；研究同種電荷中電場最強的位置，我們會用到函數模型，將物理問題轉化為函數極值問題；幾何光學中用到的光線模型實際上就是一個射線模型。本節我們探究光的反射定律，可以對光的反射現象進行抽象，建立基于兩線一面的軸對稱模型。

2.2 基于軸對稱模型的概念引入

本節課的課題引入方式有多種方案，可以用激光筆演示光的反射現象，也可以通過視頻或者圖片等素材來展示光的反射情境，目的都是提供情景，確定研究對象，進而建立模型：兩條光線和一個反射面。

模型建立之后，教師就可以引導學生猜想兩條光線的位置分布關系。由于學生在中學幾何中已學過軸對稱的概念，所以學生多數會猜測模型中兩條光線的軸對稱關系。既然有了“軸對稱”這個關鍵詞，即可自然地從“對稱軸”的概念出發提出“法線”的概念，進而建立入射角和反射角的概念。如圖1所示，畫出對稱軸這一輔助線，并稱之為法線，比交代法線為反射面的垂線更能體現法線的本質。此處，法線概念的建立為入射角和反射角概念的建立起了很好的鋪墊作用，有利于在源頭上消除學生對入射角和反射角的誤解：認為入射角的余角、反射角的余角為入射角和反射角。在后文中，大家還會看到如果把入射角的余角、反射角的余角當作入射角和反射角，將不利于反射定律的探究，進一步體現了入射角和反射角概念建立的合理性。

圖1

2.3 基于軸對稱模型的探究設計

光的反射定律本質是反射光線與入射光線關于法線的軸對稱關系，圍繞反射光與入射光關于法線的軸對稱關系而展開的科學探究，是本節教學設計的核心。

根據對中學生的學情分析，教師可預見為了探究兩條光線的軸對稱關系，學生一開始只會想到去探究反射角和入射角的大小關系。從認知規律的角度來看，這個時候不宜糾正學生思路，因為科學發現的本身就是不斷試誤的過程。根據教學條件，可采用學生分組實驗或演示實驗，探究兩角關系，要求學生做好觀察與記錄。

可以預計絕大多數同學可以順利完成此步探究，得出兩角相等的實驗結論。此時，教師可提問：是不是有了兩角相等就可以證明反射光線和入射光線關于法線對稱？

在學生充分思考之后，教師可進一步引導：在立體空間里，可能出現r=i,但是反射光線和入射光線并不關于法線ON成軸對稱。從而讓學生明白，要證明兩條光線關于法線的軸對稱關系，就必須證明入射光線、反射光線和法線是在同一平面內，具體實驗操作可參照教材進行(如圖2)，此處探究實驗的一個關鍵點是讓學生體驗紙板在本實驗中所起的作用。

圖2

學生經歷了實驗的過程，有了切身的體驗，對于三線共面就會理解得更深刻。而此時，我們可繼續向學生提問：同時有兩角相等和三線共面是不是就可以證明反射光線和入射光線關于法線的軸對稱關系？

此時教師可提出：如圖3所示，AO和OB重合但反向，∠BON=∠AON，且OB、OA和ON也在同一平面，但是顯然此時的構圖中OA和OB并不關于ON成軸對稱。

圖3

從而讓學生知道要證明反射光線和入射光線關于法線成軸對稱，還必須先證明入射光線和反射光線分居在法線兩側。此處的實驗操作其實是對圖1實驗的重復，多次改變入射光線，觀察入射光線和反射光線的分布情況，學生很快就可得出兩線分居在法線兩側的結論。

對于本實驗的結論，教材上是從三線共面、兩角相等、兩線分居在法線兩側三個方面展開敘述的，體現了結論與實驗過程的統一性。學生在實驗探究的基礎上，就很容易理解光的反射定律的內涵。我們還可以進一步將光的反射定律提煉為反射光線與入射光線關于法線成軸對稱，這樣的表達更簡潔，也抓住了反射規律的本質。

3 評估

在本教學設計中，兩線一面的軸對稱模型發揮了至關重要的核心作用。首先是它體現了法線、入射角和反射角概念生成的合理性。另外，軸對稱作為關鍵詞，是貫穿整個科學探究的一條主線。基于對反射光線與入射光線是否關于法線成軸對稱的關系這一問題，科學探究的過程得以循序漸進式展開，依次為探究兩角相等、三線共面和兩線分居在法線兩側。最后又統一成一個整體，體現了科學探究的嚴密性與邏輯性，對于學生來說是很好的科學方法教育。

總的來說，基于模型法的教學設計降低了本節的教學難度，有利于突破重難點。在引導學生思考如何對光的反射定律

進行科學探究的過程中，模型法也發揮了至關重要的作用，有利于培養學生的物理學科核心素養。基于數學模型對光的反射定律的歸納與提煉，彰顯了物理規律的簡潔美，有利于學生掌握光的反射定律的本質。在幾何光學的教學中，重要的一步就是在光線模型的基礎上建立光路模型，從幾何的角度研究光的反射規律。在本節案例中，我們重視對學生進行模型法的教育，有利于學生舉一反三，系統掌握幾何光學的研究方法。

在本節的教學設計中，還體現了模型法特有的教育價值：模型法的核心是去繁存簡卻又抓住研究對象的本質，并且將抽象的問題具體化。將光的反射現象抽象為兩線一面的軸對稱模型，進而將對物理問題的研究轉化為對數學模型的研究，體現了模型法不同于其他物理方法的獨特性，展示了研究物理問題的一種重要方法與思路。基于對數學模型的研究，使得物理問題得以解決，既體現了數學與物理的緊密關系，又反映了數學作為研究物理問題的工具，有著重要的作用。