一種可重構、部分運動解耦的空間n維平移1維轉動并聯機構的拓撲及其運動學設計

沈惠平 趙迎春 許 可 張 震 楊廷力

常州大學現代機構學研究中心，常州,213016

0 引言

三自由度并聯機構具有結構簡單、制造成本低、控制方便等優點，因而成為研究和應用的熱點，其中，三維純平移和三維純轉動并聯機構研究較多[1-7]；而具有轉動和移動混合輸出的三自由度并聯機構，同樣具有較好的應用價值。

關于一平移兩轉動(1T2R)并聯機構，研究較多的有HUNT[8]提出的3-PRS并聯機構,JOSHI等[9]對3-RPS機構進行了奇異分析。Tricept和TriVariant機器人[10-12]中的3-UPS-UP和2-UPS-UP并聯機構、Exechon機器人[13]中的2-UPR-USP并聯機構以及3-PRRU并聯機構[14]都屬于1T2R并聯機構。王飛博等[15]對3-PRRU、2-PRU-PRRU和2-PRS-PRRU這3種1T2R并聯機構進行了構型優選，對2-UPR-USP并聯機構進行了尺度綜合[16]；汪滿新等[17]運用虛擬鏈法對1T2R型并聯機構進行型綜合，得到多種含冗余驅動/過約束的新構型；胡微微等[18]提出一種((2-RPR&RP)+R)&UPR并聯機構。

關于兩平移一轉動(2T1R)機構的研究相對較少，這類機構可用于空間抓放定位設備、娛樂設備、調姿裝備等。KONG等[19]、楊寧等[20]分別基于螺旋理論對2T1R型并聯機構的結構綜合進行了研究；REFAAT等[21]根據位移李群理論對三自由度混合運動并聯機構進行了型綜合研究；張彥斌等[22]根據線性變換理論，對無奇異完全各向同性2T1R型空間并聯機構進行了結構綜合；楊廷力等[23]根據基于方位特征(position and orientation characteristic, POC)的并聯機構拓撲設計理論與方法，得到了多種含有平面閉回路的2T1R型新型機構。

本文設計了一種動平臺可重構、零耦合度且運動部分解耦的nT1R(n=2,3)并聯機構，建立了相關運動學模型并進行了運動學分析。

1 2T1R并聯機構的設計及其拓撲分析

1.1 機構設計

根據基于POC方程的并聯機構拓撲結構設計理論和方法，本文提出的三自由度可重構并聯機構如圖1所示，靜平臺0與動平臺1用一條混合支鏈(hybrid single-open-chain, HSOC)和一條無約束支鏈Ⅲ連接。

圖1 nT1R并聯機構的設計Fig.1 Design of nT1R parallel mechanism

混合支鏈包含一個子并聯機構、一個轉動副R4。子并聯機構由支鏈Ⅰ、Ⅱ組成，支鏈Ⅰ包含一個由4個R副(Ra，Rb，Rc，Rd)組成的平行四邊形，和具有平行軸線的3個轉動副(R11‖R12‖R13)；支鏈Ⅱ由3個平行軸線的轉動副(R21‖R22‖R23)組成。進一步，子平臺1′通過轉動副(R4)串聯連接于動平臺1。因此，混合支鏈的拓撲表示為RPa-R‖R‖R-R，簡記為RPa‖3R-R；而無約束支鏈Ⅲ為R31-S31-S32，其拓撲為RSS型。因此，該并聯機構簡記為RPa‖3R-R+RSS。

動平臺1上轉動副R4的軸線與x、y、z軸的夾角分別為α、β、γ。實際使用時，可通過桿9重構調節為平行于x、y、z軸，從而使動平臺1產生繞3個特定軸線的轉動輸出，適用于空間3種應用場合(詳見1.2.3節)。

1.2 機構的輸出特性分析

1.2.1并聯機構的POC方程

并聯機構的POC方程[23]為

(1)

(2)

其中，MPa為機構動平臺的POC集；Mbi為第i條支鏈末端的POC集；Msj為當支鏈含有子序單開鏈(single-open-chain, SOC)串聯時，第j個子SOC的POC集。

1.2.2動平臺的POC集分析

(1)機構的拓撲結構。組成子并聯機構(sub-PM)的Ⅰ、Ⅱ支鏈的拓撲結構分別為SOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-}和SOC2{-R21‖R22‖R23-}。

靜平臺0上R11與R21為垂直布置，即R21⊥R11；R31可任意布置，取R31‖R11。選定動平臺1的幾何中心p為基點O′。

(2)確定混合支鏈HSOC末端構件的POC集。設H為子并聯機構子平臺1′上的任一點，則H點處的POC集為

(3)

即子平臺1′始終產生oyz平面內的二維平移。

因此，該子并聯機構串聯轉動副R4后，構成的混合支鏈的POC集為

(4)

(3)確定動平臺POC集。RSS型Ⅲ支鏈的POC集為3T3R，因此，動平臺1的POC集為

其中，{t1(⊥R4)}為伴隨移動。

1.2.3動平臺輸出運動的分析及實現

由式(3)可知，該機構在oyz平面內的兩維平移運動量y、z僅由驅動副R11、R21確定，因此，該機構具有部分輸入-輸出運動解耦性(詳見2.1.2節)。

由式(4)可知：

(1)當且僅當R4的軸線平行于R23的軸線(即平行于x軸線)時，動平臺1能產生在oyz平面(即垂直于R23軸線的平面)內的兩維平移及繞R4軸線的一維轉動(2T1R)，為3個獨立運動；

(2)當R4的軸線在其他位置時，動平臺1中心都會產生三平移一轉動(3T1R)的輸出運動，但其中沿x軸向的平移為寄生運動；如選動平臺1上的轉動副R4為基點，即安裝末端操作器，則末端操作器仍產生在oyz平面內的兩維平移及繞R4軸線的一維轉動(2T1R)。

在實際使用中，動平臺1轉動軸姿態的可重構性可以這樣實現：

如圖2所示，桿9與子平臺1′通過球副H連接，可實現下列3種不同的固定姿態后予以鎖緊：①當α=180°、β=90°、γ=90°即桿9平行于x軸時，動平臺1產生2T1R的3個獨立運動。②當α=90°、β=90°、γ=0°即桿9平行于動平臺1的z軸(即其法線)時，動平臺1會產生沿x軸的寄生平移運動，因此，動平臺產生3T1R的輸出運動，但其中僅有3個獨立運動。③當α=90°、β=90°、γ=180°即桿9平行于y軸時，動平臺1會產生沿x軸的寄生平移運動，即動平臺會產生3T1R的輸出運動，但其中僅有3個獨立運動。

也就是說，動平臺具有的寄生的平移運動量可通過重構動平臺1的轉動軸線的特殊布置(如平行于x軸，即情形①)予以消除，這是本機構的一個重要特性。

圖2 動平臺轉動軸的3種特定位置Fig.2 Three specific positions of rotation axis of moving platform

這種動平臺轉動軸方向的可重構性增強了該機構的適應能力和實用價值。

1.3 機構的自由度計算

1.3.1并聯機構全周性的自由度公式

并聯機構全周性的自由度公式[23]為

(5)

(6)

v=m-n+1

1.3.2機構的自由度計算

(1)確定獨立回路的位移方程數。該機構可分解為兩個獨立回路：①由支鏈Ⅰ、Ⅱ組成的子并聯機構為第1個獨立回路，即HSOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-R23‖R22‖R21-}

由式(6)可得

ξL1=dim{MⅠ∪MⅡ} =

而該子并聯機構的POC集已由式(3)計算出，因此，由式(5)可知，該子并聯機構的自由度為

②上述子并聯機構與R4、支鏈Ⅲ(即SOC3{-R4-S32-S31-R31-})組成第2個回路，由式(6)可得

(2)確定該并聯機構的自由度。由式(5)得

因此，該機構的自由度為3，可取靜平臺上的R11、R21、R31為驅動副。計算自由度時，若將該機構視為包含一條等效混合支鏈和支鏈Ⅲ組成的一個獨立回路，即SOC{-P*-P*-R4-S32-S31-R31-}，則由式(6)其獨立位移方程數ξL為

ξL=dim{MHSOC∪Mb2}=

由式(5)得

顯然，計算自由度時，如將含回路的子并聯機構用兩平移等效支鏈(P*-P*)替代，則會比較方便。

1.4 機構的耦合度計算

1.4.1耦合度的定義

由基于序單開鏈(SOC)單元的機構組成原理[23]知，任意機構可分解為若干個基本運動鏈(basic kinematics chain， BKC)，進一步，獨立回路數為v的BKC可分解為v個單開鏈SOC(Δj)(j=1,2,3,…,v)，而第j個單開鏈(SOCj)的約束度定義為

(7)

式中，mj為第j個SOC的運動副數；fi為第i個運動副的自由度(不含局部自由度)；Ij為第j個SOC的驅動副數。

Δj有正、零、負3種形式，但須滿足

∑Δj=0

因此，BKC的耦合度к定義為

(8)

1.4.2機構的耦合度к計算

1.3.2節已計算出兩個回路的獨立位移方程數，分別為ξ1=5，ξ2=6，因此，它們的約束度Δ1、Δ2由式(7)計算，得

因此，該機構包含兩個BKC，即BKC1、BKC2。由式(8)得，其耦合度分別為к1=0、к2=0,則運動學正解可直接求出解析式。

2 機構的位置分析

2.1 位置正解

2.1.1坐標系的建立與參數標注

2T1R機構的運動學建模如圖3所示，靜坐標系oxyz建立在靜平臺0的幾何中心，且x軸與A1A3連線重合，y軸與A1A3連線垂直，動坐標系puvw的原點p位于直線C3D3中點，v軸重

圖3 2T1R機構的運動學建模Fig.3 Kinematic modeling of 2T1R mechanism

合于直線C3D3，u軸、w軸如圖3所示。

圖3中，oA1=oA2=oA3=l；C3D3=l8；桿2、3、4的長度均為l1，即A1B1=A2B2=A3B3=l1；B1C1=l2；B2C2=l3；B3C3=l5；C1D1=l4；D1E=EC2=l6；HD3=l7。

設A1B1、A3B3與x軸正向的夾角為θ1、θ3，A2B2與y軸正向的夾角為θ2，HD3與x、y、z軸的夾角分別為α、β、γ，動平臺1上p的坐標為(x,y,z)，其姿態角為θ。

2.1.2 BKC1(子并聯機構)的位置分析

BKC1(子并聯機構)的位置分析即求子平臺1′上點C1、C2的坐標。易知，在靜坐標系oxyz中，A1、A2、A3點的坐標分別為(l,0,0)、(0,l,0)、(-l,0,0)；B1、B2的坐標分別為(l+l1cosθ1,0,l1sinθ1)、(0,l+l1cosθ2,l1sinθ2)。

由1.2.2節可知，在機構運動過程中，子平臺1′僅產生沿z、y軸的平移，即xC2=0，則C2、C1的坐標分別為(0,yC2,zC2)、(l-l6,yC2-l6,zC2-l4)。

于是，由桿長約束B1C1=l2和B2C2=l3，有位置約束方程：

(9)

將式(9)化簡得

ayC2+bzC2=c

(10)

a=2(yB2-2l6)

b=2(zB2-l4-xB1)

(1)當a=0時

(11)

(2)當a≠0時

(12)

d=a2+b2

e=2(bc+zB2a2-abyB2)

由式(11)、式(12)可以看出，子平臺1′的兩維平移運動量y、z僅由驅動副R11、R21的輸入角θ1、θ2確定，即該機構具有部分輸入-輸出運動解耦性。

2.1.3BKC2的位置求解

BKC2的位置求解即求動平臺上p點的坐標(x,y,z)和姿態角θ。

(13)

而C3點的坐標為

(14)

f11=fxfx(1-cosθ)+cosθ

f12=fyfx(1-cosθ)-fzsinθ

f13=fzfx(1-cosθ)+fysinθ

f21=fxfy(1-cosθ)+fzsinθ

f22=fyfy(1-cosθ)+cosθ

f23=fzfy(1-cosθ)-fxsinθ

f31=fxfz(1-cosθ)-fzsinθ

f32=fyfz(1-cosθ)+fxsinθ

f33=fzfz(1-cosθ)+cosθ

式中，fx、fy、fz分別為x、y、z軸上的方向余弦，即cosα、cosβ、cosγ。

于是，由D3、C3點坐標，易求解p點的坐標(x,y,z)。

進一步，由桿長約束B3C3=l5，得位置約束方程：

(15)

將式(15)整理化簡得

a1sinθ+b1cosθ+c1=0

(16)

a1=2a2l8fz-2c2l8fx

a2=(xB3-x)2b2=(yB3-y)2c2=(zB3-z)2

解得

(17)

從而求得該機構動平臺的姿態角。

2.2 位置逆解求解

已知：動平臺1上p的坐標(x,y,z)和姿態角θ，求輸入角θ1、θ2、θ3。

由式(14)可知，C3點的坐標為(l8f12/2+x，l8f22/2+y，l8f32/2+z)，則D3點的坐標為(2x-xC3,2y-yC3,2z-zC3)；而H點的坐標為(-l6,yD3-l7cosβ,zD3-l7cosγ)。于是，C1、C2點的坐標分別為(l6,yH,zH-l4)，(0,yH+l6,zH)。

由桿6、7、8的桿長約束，可建立方程：

(18)

(19)

(20)

由式(18)～式(20)可得

(21)

i=1,2,3z1=zC1z2=zC2z3=zC3

綜上可知，當動平臺p點的坐標(x,y,z)已知時，輸入角θ1、θ2、θ3各有兩組解，C1、C2、C3點的坐標各有兩組解，故逆解數8×8=64，因此，動平臺有64種構型。

2.3 正逆解驗算

針對動平臺1的第二種姿態，即α=90°，β=90°，γ=0°，進行位置數值驗證計算。

參考ABB機器人I4R的尺寸參數，輸入桿和平行四邊形的尺寸參數與之相同[24]，即l1=350、l2=750；其他結構參數分別為l=300、l3=l5=800、l4=100、l6=150、l7=200、l8=400，單位mm。

取輸入角θ1、θ2、θ3分別為25.98°、35.8°、134.52°。由MATLAB計算得機構此時的位置正解，見表1。此時，對應機構的三維構型如圖4所示。

表1 第二種姿態時的機構位置正解

圖4 對應正解1的三維構型 Fig.4 Configuration corresponding to solution 1

取表1中的第1組數據，進行逆解運算，求得輸入角θ1、θ2、θ3的8組逆解數值，見表2。由表2可知，第1組逆解數值與正解求解時的3個設定的輸入角一致，因此，正逆解公式推導正確。

表2 第二種姿態時機構的位置逆解

3 機構的工作空間和轉動能力分析

3.1 工作空間分析

工作空間是衡量并聯機構性能的一個重要指標。本文采用極坐標空間三維搜索法，基于上述第二種姿態時求得的機構位置逆解，查找該機構工作空間內所有滿足桿長約束、轉角約束、干涉約束的點，即預先設定該機構工作空間的z向高度范圍，通過改變搜索半徑以及搜索角度，找到工作空間的邊界。

設定搜索范圍為：300 mm≤z≤1 200 mm， -π≤θ≤π，0≤ρ≤300 mm；運用MATLAB軟件編程，得到該機構工作空間的三維立體圖(圖5)；其中，不同高度z處的xy截面圖見圖6。

圖5 機構的三維工作空間Fig.5 3D workspace of the PM

圖6 機構工作空間的xy截面圖Fig.6 Cross-section view of xy of workspace of the PM

由圖5和圖6可知：

(1)機構的工作空間相對于直線T-T具有良好的對稱性，這與實際結構關于直線T-T對稱是一致的。

(2)當z≤500 mm時，該機構的工作空間不連續，存在空洞。

(3)當z∈[700, 1 100] mm時，截面連續且形狀比較規則，該區域為末端操作器的有效工作空間；隨著z的增大，截面面積逐漸減小。

(4)截面在x方向上較短，這是因為x方向平移量是由繞轉動副R4轉動產生的寄生量，取決于動平臺長度的一半(l8/2)。

3.2 機構的轉動能力分析

機構的動平臺轉角分析是評估并聯機構轉動角度能夠到達的范圍的大小。同樣，基于上述第二種姿態時機構的位置逆解方程，采用極限邊界搜索法，可以求出機構動平臺1上D3點在工作空間內任意位置時轉角的范圍。

由MATLAB計算D3點在oyz平面上各點的轉角θ的范圍(圖7)。

圖7 機構工作空間各點的轉角范圍 Fig.7 Rotation capability of each point in workspace

由圖7可知，機構工作空間各點轉角θ的范圍很大，由圖7a和圖7b可看出：①動平臺處于點A(0,900)mm、B(-600,700)mm時，其轉角范圍分別為[-180°,180°]、[-90°,120°]；②A點處于的深色區域內，機構的轉角能達到[-180°，180°]，約占總區域面積的65%，表明機構的動平臺具有較大的轉動能力。

4 機構的奇異性分析

4.1 機構奇異性原理

f(y，z，θ)=0

全微分后可表示為

Jpv=Jqω

(22)

u11=2(zC1-zB1)l1cosθ1+2(xC1-xB1)l1sinθ1

u22=2(zB2-zC2)l1cosθ2+2(yC2-yB2)l1sinθ2

u33=2(zB3-zC3)l1cosθ3+2(xC3-xB3)l1sinθ3

v11=2yC1v21=2(yC2-yB2)v31=2yC3

v12=2(zC1-zB1)v22=2(zC2-zB2)

v32=2(zC3-zB3)v13=l8yC1sinθ

v23=l8(yC2-yB2)sinθ

v33=2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ

依據Jp、Jq矩陣是否奇異，將機構的奇異位形分為如下三類:①當det(Jq)=0時，機構發生輸入奇異；②當det(Jp)=0時，機構發生輸出奇異；③當det(Jq)=det(Jp)=0時，機構發生綜合奇異。

4.2 奇異位形分析

4.2.1輸入奇異

機構發生輸入奇異，意味著每條支鏈靠近驅動桿的兩根桿處于折疊在一起或完全展開狀態。這時，動平臺的自由度數減少。此時，det(Jq)=0，該行列式方程解的集合K為

K={K1∪K2∪K3}

(23)

且三種情況分別為

(1)K1={(xC1-xB1)sinθ1+(zB1-zC1)·cosθ1=0}，即A1、B1、C1三點在oxz平面上的投影共線；

(2)K2={(yC2-yB2)sinθ2+(zB2-zC2)·cosθ2=0}，即A2、B2、C2三點共線；

(3)K3={(zB3-zC3)cosθ3+(xC3-xB3)·sinθ3=0}，即A3、B3、C3三點在oxz平面上的投影共線。

圖8所示為滿足K1的三維構型。

圖8 輸入奇異位形Fig.8 Input singularity

4.2.2輸出奇異

機構發生輸出奇異，意味著每條支鏈靠近動平臺的桿，處于折疊在一起或完全展開的狀態，此時的動平臺自由度增多，即使鎖住輸入，動平臺也可能存在自由度輸出。設

(wi1,wi2,wi3)=eii=1,2,3

(24)

(wk1,wk2,wk3,wk4)=Ekk=1,2,3

(25)

若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有如下兩種情況：

(1)存在2個向量線性相關。

①若e1=ke2，取w12=kw22，則

kw23=kl8(yC2-yB2)sinθ≡w13

即E1≡kE2，其三維構型為向量B1C1、B2C2在oyz平面上的投影相互平行，見圖9。

圖9 輸出奇異位形1Fig.9 Output singularity 1

②若e2=ke3，取w21=kw31，則

kw33=k(2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ)

圖10 輸出奇異位形2Fig.10 Output singularity 2

同理可得：e1=ke3，E1≡kE3。

(2)存在3個向量線性相關。

若e1=k1e2+k2e3(k1k2≠0)，即有

w1i=k1w2i+k2w3ii=1,2,3

k1w23+k2w33=k1(l8(yC2-yB2)sinθ+

k2(2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ)≠w13

同理可得，若任意3個向量(k1k2≠0)均線性無關則第(2)種情況都不成立。

4.2.3綜合奇異

此時，det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發生。在此位形下，動平臺將失去原有的運動特性。因此，取滿足K1、K2、K3的條件，代入輸出奇異分析中，此時，輸出奇異不成立，故該機構不存在綜合奇異。

5 機構速度、加速度分析

5.1 速度公式推導

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，由式(22)得

(26)

式(26)即為動平臺原點的輸出速度。

5.2 加速度公式推導

進一步，由式(26)求導得到

(27)

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，則

(28)

式(28)即為動平臺原點的加速度正解公式。

5.3 速度、加速度算例驗證

表3 動平臺的速度分析

表4 動平臺的加速度分析

進一步通過SolidWorks將該并聯機構的三維模型導入ADAMS軟件中進行仿真，得到動平臺的速度與加速度曲線，見圖11、圖12。

圖11 動平臺的速度曲線Fig.11 Curves of velocity of moving platform

圖12 動平臺的加速度曲線Fig.12 Curves of acceleration of moving platform

經MATLAB計算得到的速度值(如表3中t=2 s時，vy=-1.324 mm/s，vz=-7.512 mm/s，ω=3.735(°)/s)與運用ADAMS仿真得到的速度(見圖11)完全一致，從而驗證了推導的速度與加速度公式的正確性。機構動平臺的速度、加速度曲線，變化平穩、連續，表明機構的動力學性能較好。

6 結論

(1)本文提出了一種新的零耦合度且具有部分運動解耦性的三自由度并聯機構，其動平臺能產生空間nT1R輸出運動(n=2,3)；建立了該機構動平臺繞任意轉動軸輸出構型下通用的解析運動學模型。

(2)對動平臺繞z軸轉動輸出構型下的運動學進行了詳細分析，發現機構的有效工作空間具有較好的對稱性；截面在x方向上較短，這是因為x方向平移量是由繞轉動副R4轉動產生的寄生量，取決于動平臺長度的一半(l8/2)。機構動平臺轉動能力分析表明：動平臺轉角θ的范圍較大，能達到[-180°，180°]的區域，約占總區域的65%，表明機構動平臺具有較大的轉動能力。該機構動平臺速度、加速度變化平穩，具有較好的動力學性能。