彈性邊界條件下彈性基礎加筋板聲輻射特性研究

孫勇敢，黎 勝，包振明

(1.大連理工大學 工業裝備結構分析國家重點實驗室 運載工程與力學學部船舶工程學院，遼寧 大連 116024；

(2.重慶交通大學,重慶 400074； 3.江蘇科技大學,江蘇 鎮江 212003)

加筋板結構在建筑、車輛和海洋工程等領域得到廣泛的應用，其聲學性能一直是國內外學者研究的重要課題。在實際結構中，如土木建筑的樓板，高速公路，具有彈性車輪的輕軌車輛甲板等通常可以簡化為具有彈性基礎的板/加筋板結構等。國內外學者在彈性地基結構動力問題方面開展了大量的研究工作，Morfidis[1]推導了鐵木辛柯梁在彈性基礎上的動力平衡方程及相應的固有振動方程，B.U?urlu等[2]研究了彈性基礎和流體對矩形板固有頻率和振動模態的影響，Hashemi等[3]應用里茨法研究了流體加載下彈性基礎矩形板動力特性，計算了不同的彈性基礎剛度、流體加載區域，邊界條件，幾何尺寸下結構的固有頻率。Nguyen[4]研究了移動質量激勵下彈性基礎梁的動力響應，覃霞等[5]運用最小二乘無網格法研究了彈性地基上加筋板的固有頻率，高陽等[6]建立了被隔振設備彈性基礎上受垂向激勵的力學模型，結果表明設備彈性基礎對整體的彈性振動不能被忽略，賀小龍等[7]建立了彈性基礎下多級并聯調諧質量阻尼器數學模型，討論了彈性地基對主系統的影響。這些研究表明彈性基礎對結構的靜力或動力性能有重要影響，而彈性基礎對結構的聲學性能研究卻比較少，另外，而實際結構邊界約束往往比較復雜，如船舶甲板結構的邊界既不是自由支持，也不是剛性固定，而是介于自由支持和彈性固定之間的情況，因此，本文對彈性邊界條件下彈簧基礎加筋板聲學性能進行研究。

1 彈性邊界條件下彈性基礎加筋板聲輻射特性計算模型

考慮結構與流體的耦合效應，彈性邊界條件下彈性基礎加筋板在外力作用下有限元形式的運動方程為[8]

其中：[M]，[K]=[Ks]+[Kf]+[Kb]和[C]分別是總體質量矩陣，總體剛度矩陣，總體阻尼矩陣。其中[Ks]為加筋板剛度矩陣dS為彈性基礎剛度矩陣，[N]為板結構形函數矩陣，彈性基礎僅與垂向位移有關[9]，Γ為加筋板的邊界，[N(b)]為彈性邊界形函數，彈性邊界Kb包括旋轉剛度Kr和Z方向的平移剛度Kt。ω為激勵圓頻率，{F}為外載荷向量，{U}結構節點位移向量為轉換矩陣，{P}為結構表面聲壓向量。

結構表面輻射聲壓和節點法向速度的關系為

式中：[Z]為聲阻抗矩陣，可由帶無限障板的板表面進行瑞利積分求得，{vn}為結構表面節點的方向速度向量。結構表面節點法向速度向量{vn}與節點速度向量{v}之間的轉換關系為

聯立式(1)－式(3)，未知結構位移向量可用以下公式求得

一旦結構位移向量求出，結構表面聲壓和節點法向速度可有式(2)－式(3)求出。

結構的輻射聲功率可以用結構表面聲壓和節點法向速度表示，即

在某帶寬范圍內輻射的總功率為其中f1和f2為起始頻率和終止頻率。

結構表面法向速度均方值定義為

聲輻射效率為

式中：ρa為流體密度，ca為聲速，a為板長，b為板寬。

2 數值結果分析

圖1為工程中常見的加筋板結構，選取如圖中所示的坐標系，在計算中取板的尺寸為：板長a=0.8m，板寬b=0.6m，板厚h=0.01m，T型材尺寸為（單位：mm），L型材尺寸為20× 15× 4（單位：mm），材料為鋼,楊氏模量E=2.1×1011N/m2，泊松比ν=0.3，密度為ρ=7800kg/m3。Kf為彈性基礎剛度，Kt為z方向邊界支持剛度，Kr為邊界旋轉剛度，不同的邊界旋轉剛度和邊界支持剛度的組合可以表示相應的邊界條件。結構阻尼比取值1%，流體介質為空氣，密度ρa=1.21kg/m3，聲速為ca=343m/s，參考聲功率10-12W，單位簡諧力作用在加筋板的中心位置。

圖1 具有彈性邊界加筋板模型

2.1 模型驗證

下面分兩步驗證本文計算模型的精確度，首先通過計算彈性邊界和彈性基礎條件下板的固有頻率來驗證彈性邊界剛度和彈性基礎剛度的精度，再通過計算矩形板輻射聲功率特性驗證計算模型的可靠性。

2.1.1 驗證彈性邊界條件和彈性基礎條件下板固有頻率

令式（1）中等式右邊等于零可求出加筋板在真空中的固有頻率。為計算C-F-F-F邊界條件且x=a和y=a邊界處分別具有平移約束剛度和旋轉約束剛度方形板[12]，將本文計算模型中T型材和L型材取為微小值（下同），y=0邊界處取支持剛度和旋轉剛度為無窮大表示剛性固定邊界，x=a處的平移約束剛度1a3=100，y=a處的旋轉約束剛度分別取b1a=10和b1a=100，其中x1=Kt/D，b1=Kr/D，D表示板的彎曲剛度，計算時網格為48×48，計算結果與文獻[12]比較見表1，可以看出結果非常接近。

表1 C-F-F-F邊界約束且x=a和y=a邊界處的分別具有平移約束剛度和旋轉約束剛度方形板的頻率參數，kx1a3=100

彈性地基板[13]，板長a=1 m，板寬b=1.2m，板厚h=0.02m，楊氏模量E=7.2×1010N/m2，泊松比ν=0.3，密度為ρ=2800kg/m3。Kf=5.5N/m3，計算時四周邊界處支持剛度Kt和旋轉剛度Kr取為無窮大表示剛性固定邊界，計算時網格為48×48，計算結果與文獻[13]比較見表1，可以看出結果相差較小。

表2 四周剛性固定彈性地基矩形平板的前5階頻率/Hz

一四邊剛性固定的鋼板[14（]a=b=1m，h=0.025m），單位簡諧力作用在板的中點。計算時四周邊界處支持剛度Kt和旋轉剛度Kr取為無窮大表示剛性固定邊界，Kf=0N/m3，計算結果與文獻[14]比較見圖2。可以看出結果非常接近。

2.2 邊界條件對加筋板振動特性的影響

為方便討論，加筋板四周邊界采用相同的約束且彈性基礎剛度系數Kf=0N/m3。圖3為加筋板固有頻率隨邊界支持剛度和邊界旋轉剛度變化（或自由邊界—簡支邊界—剛性固定）曲線，從下到上依次是前10階的固有頻率，從圖中可以看出存在固有頻率急劇增加的2個階段，第1個階段：邊界支持剛度從Kt=1×106Pa變化到Kt=1×109Pa，邊界支持剛度對高階頻率的影響較大，而對低階頻率的影響較小，彈性模量（彎曲剛度）增加（減小）時，第1階段所對應的邊界支持剛度也近似線性增加（減小）（圖4（a）），故產生第1個階段的原因是，與加筋板彎曲剛度相比，邊界支持剛度足夠大時（約Kt=1×106Pa）能夠限制加筋板邊界節點的垂向位移，邊界支持剛度增大時，結構的剛體位移和邊界節點位移逐漸變小，當Kt=1×109Pa時，結構模態變為四周邊界位移約為零的彎曲振動模態（圖5），此時即使再增大邊界支持剛度，結構模態也將不會改變；第2個階段：邊界旋轉剛度從Kr=1×105N/rad 變化到Kr=1×108N/rad，加筋板的固有頻率也會有所增加，但沒有第1階段增加的幅度大，各階頻率變化基本相同，彈性模量增加（減小）時，第2階段所對應的邊界旋轉剛度也近似線性增加（減小）（圖4（b）），故產生第2個階段的原因是，與加筋板彎曲剛度相比，邊界旋轉剛度足夠大（Kr=1×105N/rad），能夠限制彎曲振動模態的邊界轉動，邊界旋轉剛度增大時，結構模態邊界的轉角逐漸變小，當Kr=1×108N/rad時，結構模態為四周邊界轉角約為零的彎曲振動模態，此時再增大邊界旋轉剛度，結構模態將不會改變。在其他邊界支持剛度和邊界旋轉剛度范圍內，加筋板的固有頻率基本不變。

2.1.2 驗證矩形板輻射聲功率

圖2 與文獻[14]矩形板輻射聲功率對比

圖3 邊界支持剛度和邊界旋轉剛度不同時加筋板前10階固有頻率變化曲線

當邊界支持剛度較小時，為避免剛體位移的影響，以邊界支持剛度取不同的值時加筋板的第7階模態為例來具體說明邊界支持剛度對加筋板模態的影響，如圖5所示（其他階次變化類似不再贅述），從圖中可以看出邊界支持剛度增加時，加筋板的模態發生了明顯變化，主要原因是邊界支持剛度的增加限制了邊界節點位移，與圖3加筋板頻率突變階段相對應，在此階段邊界支持剛度對結構模態有較大影響。

圖4 不同彈性模量時加筋板固有頻率增加階段所對應

圖5 不同邊界支持剛度時加筋板的第7階模態

當邊界支持剛度足夠大時，增加邊界旋轉剛度，此時結構模態因變化較小不易觀察，為了清晰地描述邊界旋轉剛度對加筋板模態的影響，以y=b/2時加筋板的線模態為例具體說明邊界旋轉剛度對模態的影響。圖6為邊界旋轉剛度取不同的值時加筋板的前兩階模態，從圖中可以看出邊界旋轉剛度增加時（箭頭方向表示邊界旋轉剛度增大），加筋板模態基本不變，僅模態兩邊的“坡度”略變小。由此可見，支持邊界剛度比旋轉邊界剛度對結構模態的影響更大。

2.3 結構參數對加筋板輻射聲功率特性的影響

2.3.1 邊界支持剛度的影響

圖6 在y=b/2處加筋板的模態

板結構輻射聲功率與結構表面各點的振動幅值和振動速度的分布有關，而結構輻射效率反映了結構表面法向振速均方相同時各種速度分布輻射聲功率的能力[15]，因此可以用各個頻段內結構表面的法向振動均方值和結構輻射效率來解釋結構的輻射聲功率變化，當彈性基礎剛度為Kf=0N/m3、邊界旋轉剛度Kr=0N/rad時，不同邊界支持剛度時加筋板表面振動速度均方值曲線和聲輻射曲線見圖7。隨著邊界支持剛度的增加，低頻時加筋板振動均方速度減小（圖7（a）），低頻聲輻射效率基本不變（圖7（b）），所以低頻輻射聲功率有所減小（圖7（c））；中高頻的振動均方速度基本不變，聲輻射效率明顯增加，從而輻射聲功率增大，結構總輻射聲功率增加（圖7（d）），這主要是因為當邊界支持剛度較小時，加筋板結構可近似為自由板，其輻射效率很低[16]，當支持剛度增大時，聲輻射效率會明顯增加，而邊界支持剛度對整個加筋板結構的振動幅值影響較小（圖7（a）），即邊界支持剛度增加時，聲輻射效率的增加引起結構輻射聲功率增加。所以在結構噪聲控制時，應盡量控制邊界支持剛度，“軟”邊界可以減小結構輻射效率。

2.3.2 邊界旋轉剛度的影響

當彈性基礎剛度Kf=0N/m3、邊界支持剛度Kt=1×1015Pa時，不同邊界旋轉剛度時加筋板表面振動速度均方值曲線和聲輻射曲線見圖8，在圖中有個明顯的特征：隨著邊界旋轉剛度的增加，加筋板振動均方速度曲線與結構輻射聲功率曲線有相同的變化趨勢（圖8（a）和圖8（c）），這主要是因為邊界旋轉剛度對加筋板聲輻射效率影響較小（圖8（b）），此時對加筋板輻射聲功率起主要作用的是結構表面的均方速度。隨著邊界旋轉剛度的增加，加筋板固有頻率會略增加，加筋板振動均方速度曲線略向高頻移動（圖8（a）），在恒定頻帶內（300 Hz）加筋板的聲輻射功率見圖8（d），從圖中可以看出，邊界旋轉剛度對輻射總聲功率影響不大。

2.3.3 彈性基礎剛度的影響

不同彈性基礎剛度、彈性剛度作用范圍、彈性基礎位置時四周剛性固定加筋板表面振動速度均方值曲線和聲輻射曲線見圖9－圖11。

圖7 不同邊界支持剛度加筋板振動均方速度與聲輻射

從圖中可以看出不同彈性基礎（剛度，范圍或位置）時加筋板的輻射效率變化較小，即四周固定約束（或簡支約束）的加筋板，如再施加額外的約束（如增加彈性基礎剛度等），加筋板的輻射效率變化較小。加筋板結構表面振動速度均方值曲線與加筋板聲功率曲線變化趨勢基本相同，此時對加筋板輻射聲功率起主要作用的是結構表面的振動速度均方值。

隨著彈性基礎剛度的增加，加筋板結構表面振動速度均方值曲線向高頻移動（圖9（a））。這是因為彈性基礎的增加相當于增加了結構剛度，使結構的共振頻率增加，特別是第1階頻率增加明顯，在低頻時加筋板表面均方速度被抑制，而中高頻時加筋板表面均方速度基本不變，故低頻時加筋板輻射聲功率明顯降低（圖9（d）），如與彈性基礎剛度Kf=0 N/m3時加筋板輻射聲功率曲線相比，當Kf=2.5×105N/m3時，在 0～300 Hz、300 Hz～600 Hz頻率段內輻射聲功率分別下降了38.4%、44.5%，600 Hz～1 200 Hz頻率段內輻射聲功率基本相同，而在1 200 Hz以后頻率段輻射聲功率變化不大與彈性基礎（Kf=5×109N/m3）范圍等于加筋板面積時相比，當彈性基礎范圍減小一半時，此時加筋板共振頻率明顯減小且振動峰值增多（圖10（a）），在低頻時加筋板表面速度均方速度顯著增加，這是由于加筋板的相當剛度減小，并且不對稱的彈性基礎約束激發出較多的共振模態，因此低頻時加筋板輻射聲功率明顯增加（圖10（c）），如在0～400 Hz、400 Hz～800 Hz頻率段內輻射聲功率分別增加了27.5%、46.9%。800 Hz以后頻率段輻射聲功率幾乎沒有變化（圖10（d））。

圖8 不同邊界旋轉剛度加筋板振動均方速度與聲輻射

圖9 不同彈性基礎剛度加筋板振動均方速度與聲輻射

彈性基礎（Kf=5×109N/m3）分別位于y=b/4和y=b/2時（注：此時彈性基礎范圍僅為一條直線），在位置y=b/4時由于彈性基礎約束的不對稱，在低頻時加筋板被激發出較多的共振模態（圖11（a）），此時低頻處加筋板振動峰值增多，加筋板被激發出較多的輻射聲功率峰值，與局部彈性基礎在y=b/2相比，在位置y=b/4時0～300 Hz，300 Hz～600 Hz、600 Hz～900 Hz頻率段內加筋板輻射聲功率分別增大了13.8%，4%，16%。900 Hz以后頻率段輻射聲功率幾乎沒有變化（圖11（d））。

圖10 不同彈性剛度作用范圍加筋板加筋板振動均方速度與聲輻射

3 結語

本文建立了彈性邊界條件下彈性基礎加筋板輻射聲功率模型，研究了邊界條件和彈性基礎對加筋板振動特性和輻射聲功率特性的影響，主要結論如下：

（1）從自由邊界—簡支邊界—剛性固定邊界過渡過程中，存在兩個固有頻率急劇增加的階段，在實際結構振動計算時要特別注意，以免引起大的誤差。另外邊界支持剛度會引起振動模態的改變，而邊界旋轉剛度對振動模態的影響較小。

（2）邊界支持剛度是影響結構輻射效率的重要參數，“軟”邊界有助于降低結構輻射效率。

（3）當支持邊界足夠大時，增加結構的邊界旋轉剛度，結構輻射聲功率變化不大。

（4）當支持邊界足夠大時，增加彈性基礎剛度時，加筋板的輻射效率變化較小，此時可以增加彈性基礎的剛度以減小低頻結構表面節點速度均方值，降低結構低頻輻射噪聲，同時彈性范圍、彈性位置等可能影響輻射聲功率減小的幅度。

圖11 不同彈性基礎位置加筋板振動均方速度與聲輻射