機械制冷機微振動固支測力修正

馬 軍，聶云松，閆秀榮，童衛明

(北京空間機電研究所，北京 100094)

隨著遙感衛星空間分辨率的提高，在軌微振動環境成為可能影響衛星成像質量的因素之一[1-2]。機械制冷機工作過程中其內部活動部件的運動會產生微振動，因此，對于采用了機械制冷機的高分辨率遙感衛星，有必要進行制冷機微振動測試并基于測試結果開展微振動對衛星成像質量影響的分析。

固支測力法在機械制冷機微振動測試中得到了廣泛應用[3-5]，但其測試結果的工程應用仍存在兩方面問題：一是測試耦合了制冷機支撐結構剛度和重量的影響，所測得的力相對制冷機實際輸出的微振動力有誤差；二是所測得力的等效作用點為測力平臺上產品安裝面幾何中心處的一個虛點，使用測試結果進行微振動響應分析時，載荷加載位置不明確。

對于固支測力結果工程應用存在的問題及其處理方法，文獻[5]提到了制冷機支撐工裝的剛度和質量對測試精度存在影響，但未提出解決問題的辦法；文獻[6]提出擾振響應分析時將擾振力加載在擾振源安裝界面處，實現擾振源與主結構的解耦，以得到主結構的準確響應，但未給出準確加載位置的確定方法，同時，該處理方法也不能獲得制冷機組件在彈性邊界條件下的響應。國外有關制冷機微振動的文獻較多，但大多是對振動特性及振動影響進行研究[7-8]，未檢索到對固支測力結果存在的問題及其處理方法有關描述的內容。

文章基于動力學分析提出一種機械制冷機微振動固支測力修正方法，解決了固支測力結果工程應用中存在的載荷值有誤差以及加載位置不明確的問題，并結合工程實例對修正方法進行了說明。

1 微振動源

機械制冷機的微振動來源于其動子系統的簡諧運動，可用其動子處離散力諧波的合成表示[4，9]，如式(1)所示

式中：Ff(t)為總的微振動力，n是諧波總數，Afi為第i個諧波對應的諧波幅值，ωfi是第i個諧波的圓頻率，其值為ωfi=2πfi=2πif1，f1為制冷機工作頻率；φfi是隨機相位角，在[0,2π]之間均勻分布。

2 固支測力法

制冷機微振動固支測力原理如圖1所示，測試時制冷機通過支撐結構固定在測力臺安裝界面上，其微振動力輸出等效成作用在測力臺上產品安裝界面幾何中心O點處的3個方向的微振動力Fx、Fy、Fz以及3個方向的微振動力矩Mx、My、Mz。

圖1 制冷機微振動固支測力原理圖

測力臺結構形式如圖2所示，文獻[10]對測力臺的工作原理進行了描述。

圖2 微振動測力平臺

工程應用中，中等以上口徑的空間遙感器的基頻一般不大于100 Hz，微振動響應分析考慮遙感器基頻3倍頻以內的微振動力諧波即可。因此，制冷機微振動固支測力結果常以300 Hz以內制冷機工作頻率整數倍頻處3個方向微振動力幅值和3個方向的微振動力矩幅值的形式給出。

3 修正原理

將圖1所示的制冷機及其支撐結構組成的制冷機組件離散化，其動力學方程如式(2)所示

式(2)中：M0、C0、K0、{f}、{x}分別為制冷機組件的質量陣、阻尼陣、剛度陣、載荷列陣以及節點位移列陣，阻尼矩陣C0為比例阻尼，即

式(3)中：α，β分別為比例系數。

將節點位移列陣{x}分為自由節點位移列陣{xr}、加載節點位移列陣{xf}以及約束節點位移列陣{xj}3部分，對應的載荷列陣{f}也分為自由節點載荷列陣{fr}、加載節點載荷列陣{ff}以及約束節點載荷列陣{fj}，即

考慮式(3)、式(4)、式(5)，式(2)寫為

約束節點載荷列陣{fj}寫為

式(7)中：M0為集中質量陣，則Mjr=0，Mjf=0；約束點固支，則；式(7)簡化為

引入變換

式(9)中：n為自由度數，為正則化的振型向量矩陣，為模態坐標列陣。

式(9)代入式(2)并在等式兩端左乘ФT，考慮到式(5)以及正則化振型矩陣Ф對質量陣、比例阻尼陣以及剛度陣的正交性，式(2)可寫為

{fr}為自由節點載荷列陣，故為固支狀態振型向量，則Фji={0 }，式(10)寫為

考慮擾振力為制冷機微振動輸出力的單個簡諧分量，參考式(1),{ff}寫為

式(12)代入式(11)，求解前p階模態坐標的穩態解，有

式(13)中Ap為幅值放大倍數矩陣，其值為

其中：

φqi為單階模態響應與微振動簡諧分量間的相位差

式(15)、式(16)中：i=1,2,…,p。

對微振動，模態阻尼比εi<0.005；微振動抑制要求通過結構設計保證微振動各簡諧分量與組件模態不出現共振耦合，即，可得<5.57°,因此，可認為

式(13)簡化為

根據振型疊加靜力修正法有

式(18)中

ФP=[Ф1Ф2…Фp]，KP=，[K0]-1為靜力柔度矩陣,[KP]-1為模態柔度矩陣。

將式(12)、式(17)代入式(18)，有

式(19)中：[Kf]-1為加載節點靜力柔度矩陣

對式(19)求導，有

將式(19)和式(21)代入式(8)，{fj}寫為簡諧形

式，有

式(22)中{Aj}為約束節點反力幅值列陣，φj為約束節點反力相位。考慮式(22)兩邊幅值相等，則

其中：

{Aj}向測力臺面幾何中心O點處等效的轉換矩陣為T0，固支測力法輸出的力幅值列陣{At}表示為

式(25)左右進行廣義逆矩陣計算，可得

式(26)建立了固支測力法測得的微振動力幅值列陣{At}與制冷機動子處輸出的微振動力幅值列陣{Af}間的聯系，可通過{At}求得{Af}，將測試所得的等效在測力臺面幾何中心O點處的頻率為ωf的微振動力幅值轉化為制冷機動子處的微振動力幅值，制冷機各倍頻處微振動力的修正結果進行合成即可得到其動子處包含多次諧波成分的微振動輸出力。

4 誤差分析

對測試結果進行修正的過程中，除計算舍入誤差外還可能引入的誤差項有：

(1)模態分析誤差；

(2)靜力柔度矩陣求解誤差；

(3)阻尼參數誤差；

(4)模態截斷誤差；

(5)模態坐標求解過程中忽略模態響應與微振動源間相位差所帶來的誤差。

第(1)、第(2)兩項誤差是有限元分析過程中必然存在的誤差，可通過對被測組件進行模態試驗，結合試驗結果修正有限元模型，減小誤差；第(3)項誤差為參數取值誤差，可通過試驗獲取結構實際阻尼參數，提高參數取值精度；節點位移對制冷機動子處微振動輸出力響應的求解采用振型疊加靜力修正法，該方法用模態截斷后剩余柔度的偽靜態響應替代被截斷的高階模態動響應，可通過提高截斷頻率增加二者近似度以減小第(4)項誤差，工程實踐中可將截斷頻率取至最大擾振頻率的3倍以上；第(5)項誤差為簡化計算所帶來的誤差，其大小取決于制冷機微振動諧波與被測試組件各階模態的共振耦合程度。

對于第(4)、第(5)兩項誤差，可在求得{Af}后將{Af}sinωft加載在原有限元模型上，使用通用有限元分析軟件反向求得等效在測力臺面幾何中心處的載荷振幅列陣，通過比對與{At}間的差值對誤差大小進行確認。

5 工程實例

某遙感衛星上使用的機械制冷機及其支撐結構如圖3所示。制冷機由膨脹機和壓縮機組成，微振動主要來自于未進行動量平衡的膨脹機動子處，膨脹機和壓縮機分別通過夾塊安裝在主支架上，微振動測試時將制冷機組件通過主支架上的安裝孔固定在測力臺上。

圖3 制冷機及其支撐結構

制冷機組件的有限元模型如圖4所示，選取與支架安裝孔位置對應的節點定義為約束節點，選取與膨脹機動子位置對應的節點定義為加載節點。

圖4 制冷機組件有限元模型

約束節點所有自由度位移都取零，對制冷機組件進行模態分析和加載點柔度矩陣求解。基于模態分析和加載點柔度矩陣求解結果，通過式(26)對固支測力結果進行修正，修正所得微振動力作用點為加載點，其位于膨脹機動子處，為制冷機微振動的實際產生位置。修正過程提取式(20)、式(24)中矩陣下標所標識的計算所需的部分質量矩陣、部分剛度矩陣，提取制冷機組件900 Hz內的各階模態，1階、2階模態阻尼比分別取0.002和0.003。轉換矩陣T0的求解可參照文獻[10]中有關測力臺標定力向測力臺面中心等效轉化的轉化矩陣求解方法。需要注意的是，實際計算過程中微振動力幅值列陣{Af}和約束力幅值列陣{Aj}的各分量需要區別符號的正負，其物理意義表示同一時刻各方向擾振力的振動方向與分析坐標系坐標軸是否一致。

制冷機的工作頻率為54 Hz，修正前后300 Hz以內各階微振動力幅值如表1所示。由表1可知，對3個方向的微振動力，制冷機工作頻率3、4、5倍頻處修正前后相對差超過都超過5%；對3個方向的微振動力矩，制冷機工作頻率各倍頻處修正前后有都力矩相對差都超過50%。由此可見，制冷機支撐結構的剛度和質量影響了其微振動固支測力結果的準確性，固支測力結果使用前有必要對其進行修正。

將修正所得的微振動力加載在制冷機組件有限元模型中的制冷機動子處，反算出制冷機組件約束反力在測試臺面幾何中心處的等效力幅值，與測得的微振動力幅值對比如表2所示。由表2可知，制冷機工作頻率各倍頻處微振動力振幅的反算值與測得值相對差都小于5%，第4節中所述的忽略相位差引入的誤差與模態截斷引入的誤差之和不超過5%，修正過程所引入的這兩項誤差可接受。

表1 修正前后微振動力幅值對比

表2 微振動力振幅反算值與測得值對比

6 結語

本文基于動力學分析提出一種機械制冷機微振動固支測力修正方法，將固支測力法測得的等效作用在測力臺上產品安裝面幾何中心處的微振動力幅值轉化為作用在制冷機動子處的微振動力幅值，形成的結論如下：

(1)修正所得的微振動力頻譜特性反映了制冷機實際輸出的微振動力頻譜特性，力的作用點為制冷機微振動實際產生位置，解決了固支測力結果工程應用中存在的載荷值有誤差以及加載位置不明確的問題。

(2)結合模態試驗修正制冷機組件有限元模型并確定阻尼參數，提高模態截斷頻率，修正計算前確認制冷機微振動諧波與制冷機組件模態的耦合程度，通過修正結果反算對部分誤差項大小進行確認，這幾項措施都可提高修正精度，將修正過程中新引入的誤差控制在可接受范圍內。

該修正方法的工程應用意義在于：

(1)結合誤差控制措施，制冷機采用不同形式的結構件固支都可通過該修正方法得到相對準確的微振動力，對制冷機微振動固支測力過程中支撐結構件的結構形式和支撐剛度要求降低；

(2)使用修正結果進行制冷機微振動特性評估，能更準確反映制冷機實際輸出的微振動力頻譜特性；

(3)將修正所得的微振動力加載在微振動響應分析有限元模型中的制冷機動子處，能模擬出制冷機在彈性邊界條件下與主結構的耦合作用，加載方式更準確。