部分觀測下結構質量及非線性恢復力免模型識別

李 靖，許 斌,2

（1.華僑大學 土木工程學院，福建 廈門 361021；2.華僑大學 福建省結構工程與防災重點實驗室，福建 廈門 361021）

對工程結構在強動力荷載作用下的損傷位置與程度進行識別，進而對其安全性、剩余承載力和剩余壽命進行預測，是結構健康監測及災后狀態評估的主要內容[1]。依靠從結構動力響應中抽取結構特征值和特征向量，識別結構剛度變化來描述結構損傷，是傳統結構損傷識別的基本思路。嚴格來講這種思路僅僅適用于線性結構。事實上，非線性廣泛存在于工程結構中，如裂縫的開展、構件中鋼筋與混凝土的粘結滑移以及鋼結構連接節點的松動等都導致土木工程非線性[2]。結構恢復力是結構非線性行為發生發展過程的最直接表征，不同時刻結構的損傷分布有助于幫助理解結構破壞模式的轉變過程，并可定量描述結構在振動過程中的耗能[3-4]。但由于土木工程材料和結構形式的多樣性，實際工程結構的恢復力模型的參數化形式及其參數難以事先準確獲得。因此，開展不依賴于結構恢復力的參數化模型的結構非線性行為識別的一般化方法研究具有重要意義。

相對于線性系統，由于非線性行為復雜且多樣，非線性系統的識別難度較大。Masri和Caughey[5]最早提出了恢復力曲面法，并將其運用到非線性多自由度動力系統識別[6]。Xu等[7-8]利用激勵和結構完整動力響應信息，分別基于等效線性理論和冪級數多項式模型識別結構非線性恢復力，并通過裝有磁流變阻尼器的四層剪切型框架結構的動力響應測量數據，驗證了該方法的有效性。此外，許斌等[9-10]利用切比雪夫多項式表征非線性恢復力，通過含磁流變阻尼器(Magnetorheological，MR)和形狀記憶合金阻尼器(Shape Memory Alloy，SMA)的非線性多自由度系統驗證了該方法的有效性。

針對激勵以及測量信息不完整的情況，Xu等[11]提出了一種自適應加權迭代算法，在部分輸入未知情況下識別線性構件的參數和荷載，并將其與冪級數多項式結合，實現了部分激勵未知的非線性系統識別[12]。王云等[13]考慮識別結構質量的必要性，提出利用擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)和切比雪夫多項式的迭代算法，通過迭代識別了結構質量和非線性恢復力。何明煜[14]將冪級數多項式引入無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)，提出一種部分響應未知的非線性恢復力識別方法。

本文提出一種不依賴于結構非線性恢復力的參數化模型，僅利用結構部分加速度響應，對結構非線性恢復力和質量進行同時識別的迭代方法。在一個多自由度集中質量結構的數值模型中，引入兩種不同模型的磁流變阻尼器，考慮不同的初始質量以及一處和多處存在非線性元件情況，通過數值模擬識別結構恢復力和質量。識別結果與理論值的比較驗證了所提出方法的有效性和魯棒性。

1 非線性恢復力及質量識別迭代算法

1.1 等效線性化

對于一多自由度的非線性動力系統，在外激勵作用下的平衡方程可寫成

其中：M為結構質量矩陣，(t)為加速度響應，Rnon(t)為非線性恢復力，F(t)為外激勵。式(1)的等效線性系統的動力方程為

其中：ME、CE、KE分別表示系統的等效線性質量、等效線性阻尼和等效線性剛度，x?(t)和x(t)分別為速度位移響應。一般認為，在非線性發生、發展過程中，結構質量不存在非線性以及變化，因此，式(2)中ME可認為是體系M的識別值。系統非線性恢復力可表示為

1.2 引入等效線性的無跡卡爾曼濾波質量迭代識別

相較于EKF對非線性函數的1階線性化處理，UKF使用無跡變換來處理均值和協方差的非線性傳遞，計算精度較高，不需要計算EKF中繁瑣的Jacobian矩陣，且能適用于強非線性系統。

本文構建UKF的方法不同于文獻[13－14]，將等效線性參數引入UKF狀態向量中，避免狀態向量中非線性模型參數或冪級數多項式模型系數數量過多。特別是結構出現多處非線性時，有效減少狀態矩陣維數，避免參數過多而導致的收斂困難。在結構損傷定位后有效識別結構非線性恢復力。

對于一般質量位置的n自由度動力系統，本文將質量引入狀態向量中，其定義如下

其中：xn，x?n分別代表結構的第n個自由度的位移和速度，kEn，cEn，mn分別代表第n個自由度的等效線性剛度、等效線性阻尼和質量。狀態向量的均值為，協方差為P，狀態轉移方程和觀測方程滿足以下非線性方程

其中：g和h分別為狀態方程和觀測方程函數，vk表示協方差為Rk的觀測噪聲矩陣。

狀態向量中結構速度、位移和質量的識別過程如下。

(1)第k-1時刻2L+1個樣本點的確定

(2)樣本點的權值的確定

其中：Xi,k-1表示第k-1時刻第i個樣本點，分別對應第i個樣本點均值和協方差的權值，δ和η分別對應均值和協方差。L為狀態向量維數；γ=α2(L+κ)-L為縮放比例參數，α決定樣本點與均值點的距離，通常取10-4≤α≤1；κ為另一個比例參數，通常設為0；β結合了狀態χ的分布先驗知識，對高斯分布，一般取β=2；()i表示矩陣平方根第i列。

(3)時間更新

(4)量測更新

至此，通過一次循環可得到狀態向量中結構速度、位移、等效線性參數及質量的更新值。若質量識別結果收斂，則終止循環，否則將質量迭代更新值代入式(4)中，繼續循環迭代。

1.3 基于等效線性和UKF的結構恢復力及質量識別迭代算法

本文提出的基于等效線性和UKF的結構非線性恢復力及質量識別迭代算法的步驟如圖1所示。

(1)假設質量初始值m；

(2)引入等效線性的理論，利用UKF得到結構質量識別值，同時得到結構速度與位移響應；

(3)收斂判斷：根據式(23)計算誤差ε，若滿足收斂標準，則停止迭代；否則令m=，重復以上步驟，本文質量收斂判斷準則為前后兩次迭代誤差小于1%

(4)利用等效線性理論識別非線性恢復力。

圖1 結構非線性恢復力與質量識別流程圖

2 數值算例

為了研究初始誤差較大時算法的適用性，本文取質量初始值誤差為±20%，并向已知加速度中混入4%的白噪聲，以檢驗算法的抗噪性。采用的隨機激勵時程如圖2所示。荷載作用時間和步長分別為2秒和0.001秒。結構響應采用Newmark-β法計算。

圖2 結構隨機外激勵荷載時程

在本文中，結構層間總恢復力包含有線彈性恢復力、黏性阻尼力以及非線性構件MR阻尼器提供的非線性阻尼力。在識別的總恢復力中扣除結構的線彈性恢復力和粘性阻尼力得到阻尼器的阻尼力，并與其理論值進行比較。體系中非線性構件MR阻尼器提供的恢復力可以根據下式確定

式中：Fnon為非線性構件MR的阻尼力。

2.1 算例一

在一個4自由度的集中質量結構的第二層引入一個磁流變阻尼器MR的模擬結構非線性行為。不失一般性，考慮結構僅在第4個自由度受外激勵作用，如圖3所示。

圖3 計算模型

線性結構各層質量為400kg，剛度為3.0×105N/m，阻尼為220 N?s/m。MR阻尼器采用Bingham模型[15]，其表達式為

3.2.1.完善單位內部控制環境，進行全面的風險評估。完善單位內部控制環境，首先明確董事會職責及成員的產生方式，通過民主的方式產生董事會成員，建立科學的激勵與約束機制，以組織文化為基調規范人員行為[6]。同時，需要專業的風險評估人員建立專業的風險評估機制。單位應懂得適時規避財務、信息、策略等方面的風險，并及時運用風險評估方法，判斷出風險的大小與性質。

式中：FnBohn為MR阻尼器的恢復力，fc，C0及f0為模型系數，取值為fc=20N，C0=600N?s/m，f0=0。

假設4個自由度質量的初始誤差為真實值的±20%，并假設第三層加速度響應為未知。質量迭代識別結果如圖4所示。

經過幾次迭代，質量在較大的初始誤差下實現快速收斂，結果如表1所示。結構質量識別誤差在0.5%以內。

圖5給出了識別的結構第二、第三層速度、位移與真實值對比圖。可見采用UKF能準確地識別結構的速度和位移響應。

表2給出了識別的等效線性參數結果。由結果可見，結構等效剛度值與真實值相差不大，說明MR阻尼器對結構剛度影響很小。

而第二層等效線性阻尼值與線性結構的阻尼值差別較大，這與MR阻尼器位于結構第二層相吻合。根據識別的結構等效線性參數，利用式(24)可以識別阻尼器提供的非線性恢復力。

圖4 質量迭代識別圖

表1 質量識別結果/kg

表2 等效線性參數識別結果

MR阻尼器的識別值與理論值的比較如圖6所示。

結果表明，恢復力識別值與真實值吻合良好。在兩種不同的質量初始值下，真實值與識別值之間的均方根誤差分別為12.6 N和13.2 N，說明算法在較大初始質量誤差下系統恢復力識別值均具有較好精度。

為了將本文方法與EKF進行比較，將等效線性和質量矩陣引入EKF中進行質量迭代識別，收斂準則不變。

從圖7可看出，相較于UKF識別方法，EKF算法質量識別迭代過程收斂較慢，即使經過多次迭代，誤差依然較大。通過兩種方法對比，說明本文提出的方法在較大的初始質量誤差下質量識別的收斂性能較好。

圖5 結構第二、三層位移、速度響應識別結果

圖6 MR阻尼器恢復力識別結果

圖7 EKF質量迭代過程

2.2 算例二

工程結構在強荷載作用下往往會出現多處損傷，為驗證本文所提出的算法在結構出現多處損傷時的適用性，在一個6個自由度集中質量結構的第四、第六層均引入的MR阻尼器。

不同于以上算例，本算例中阻尼器恢復力采用Dahl模型[16]，其表達式為

其中：K0,C0,Fd,f0,σ為模型參數，Z為無量綱滯回量。各參數取值為，K0=20N/m，C0=500N?s/m，Fd=35 N，σ=200s/mf0=0。結構各層質量、剛度和阻尼值與算例一相同。不失一般性，外激勵作用于結構的第五層。令第二、四層加速度未知，其中第四層為非線性所在層。并同樣向已知加速度響應中加入4%的白噪聲。假設質量初始值為真實值的80%。質量迭代識別過程如圖8所示，質量和等效線性參數識別結果如表3所示。

從表3可以看出當結構存在多處非線性時，本文算法依然可精確識別結構質量，最大誤差僅為0.85%。將UKF識別的等效線性參數與線性值對比，可判斷非線性特性存在于結構第四、第六層，與真實情況相符。

圖8 質量迭代識別收斂結果

表3 質量和等效線性參數識別結果

圖9 MR阻尼器恢復力識別結果

同時，利用UKF識別的結構等效線性參數及速度位移響應可識別結構非線性層的恢復力。MR阻尼器提供的非線性恢復力識別結果與真實值得對比如圖9所示，二者吻合較好。

兩個MR阻尼器阻尼力的識別結果的誤差均方值分別為6.7 N和4.6 N，說明結構在多處存在非線性時，該方法能有效地識別系統的質量和非線性恢復力。結合算例一，可見該方法對不同的非線性模型具有較好的適用性。

3 結語

本文提出了一種僅利用結構部分加速度響應測量和外激勵的結構非線性恢復力及質量的免參數化模型的識別方法。該方法最為明顯的優勢是不需要已知結構質量及非線性行為的參數化模型，并且減少了算法對完整動力響應的依賴。將等效線性參數以及結構質量加入UKF的狀態向量中，通過循環迭代實現結構的非線性行為和質量的識別。避免擴展向量和矩陣維度過大，對結構出現多處非線性的情況特別有意義。

在兩個多自由度鏈式結構的數值模型中引入不同恢復力模型的MR阻尼器，構成非線性系統。通過數值模擬表明，在較大質量初始誤差、量測噪音影響以及結構出現多處非線性行為的一般情況下，基于結構部分自由度上的加速度響應測量，可實現系統質量和非線性恢復力的有效識別，該算法具有較強一般性和抗噪性。

本文提出的多自由度系統非線性行為的時域算法能對系統的非線性特性進行定位和定量評估，對工程結構的損傷識別，特別是必須考慮結構非線性行為的災后評估提供了有效方法。