基于改進復雜追蹤算法的結構模態參數識別

2019-03-05 09:33:06尤傳雨邵永亮

噪聲與振動控制 2019年1期

常軍，劉昊，尤傳雨,2，邵永亮,3

(1.蘇州科技大學土木工程學院，江蘇蘇州 215011；2.江蘇建科工程咨詢有限公司，南京 210019；3.江蘇乾程工程技術有限公司，江蘇無錫 214028)

模態參數識別是結構健康監測的核心內容之一，如何快速準確地從結構響應中識別結構模態參數已成為當前的研究熱點。近年來，盲源分離(BSS)逐步發展為現代信號處理的有效工具，在通信工程、語音處理、圖像處理等領域具有重要的理論意義和實際應用價值[1]。盲源分離是指在信號的理論模型和源信號無法精確獲知的情況下，如何從觀測信號中分離出各源信號的過程[2]。對于具有時序結構的信號，傳統的盲源分離往往只利用信號的統計特性，而忽略了信號的時序特性，因而不能充分利用信號自身特性，對信號不能較好地處理[3]。結構振動響應是典型的時間信號，當前盲源分離算法對響應信號處理存在一定的限制，如獨立分量分析(ICA)算法無法有效識別高阻尼結構[4-5]；2階盲辨別(SOBI)無法識別聚集模態等[6]。

復雜追蹤(CP)是近期發展起來的一種盲源分離技術，該方法結合了信號的統計特性和時序結構，通過尋找合適的投影方向，使該方向投影信號的復雜度最小，從而實現對混合信號的分離[7]。基于固定梯度的復雜追蹤算法進行目標函數尋優時，具有收斂速度慢，易陷入局部極值，且針對不同的模型要人為選擇合適的學習步長等不足，限制了該算法的實際應用性。Shi等人將固定點算法應用于目標函數的優化問題，簡單易行，不需要用戶選擇學習率，但也存在對初始值敏感等問題[3]。為了使算法廣泛應用于實際工程結構，論文對原梯度算法作出改進，將最優步長思想引入復雜追蹤算法中，并對算法的迭代過程進行優化，使其收斂精度和應用性能都有一定的提高，并將改進算法應用于模態參數識別領域。

1 復雜追蹤基本理論

1.1 復雜追蹤問題描述

線性瞬時盲源分離模型表示為[8]

式中：t為時刻，y(t)為n個未知源信號混合而成的n維觀測信號，；A為未知的n×n維混合矩陣；x(t)為n個源信號組合而成，；

復雜追蹤的目的就是在混合矩陣A和源信號x(t)未知的情況下，尋找一個解混向量wi，使得分離成分擁有最小復雜度，即逼近最簡單的源信號

1.2 目標函數

簡單起見，假設信號是零均值和單位方差的。信號y在t時刻的值由t時刻以前的值預測

其冗余項為

根據信息論基本原理，對冗余項的編碼比對信號原始值的編碼更容易，冗余的編碼長度由它的熵的和來漸進逼近。編碼復雜度可用下面的式子來近似

采用線性自回歸模型對信號進行預測，即

式中：τ表示時滯個數，α為回歸參數。則式(5)進一步簡化為可以用一個以w為自變量的目標函數作為Kolmogoroff復雜度的近似

G是可微分的函數，用以估計信號的概率密度函數。已被證實是非常有用的

1.3 梯度優化算法

為了最優化，公式(7)中復雜度目標函數的逼近，A.Hyv?rinen發展了一個梯度下降方法，從時間序列中分離感興趣的成分。具體算法如下

式中：μ為每次迭代的步長，g(?)為非線性函數G(?)的導函數。

然而因為其迭代系數是固定的，步長選擇過小，會很大程度限制算法的收斂速度；步長選擇過大，可能會導致算法不收斂的問題[9]。針對不同的問題，都需要人為選擇合適的學習步長，這就限制了算法的有效應用。

1.4 固定點優化算法

對于復雜度目標函數（7）的優化問題，可以用固定點算法求解，進而使用牛頓算法進行迭代優化。記在約束條件∥w∥2=1的情況下，根據Kuhn-Tucker條件，(wTx(t))=E{G(wT(z(t))}滿足

其中：β為常數。下面采用牛頓法來求解此方程，得牛頓迭代算法如下

即優化目標函數（7）的不動點算法為

固定點算法簡單易行，不需要用戶選擇學習率，并且算法具有快速收斂的性質，然而該算法也繼承了牛頓算法的不足，比如對初始值敏感等問題，當分離矩陣的初始值離極值點較遠時，算法可能出現不收斂的情況。

2 改進的復雜追蹤算法

2.1 步長的自適應調整

調整步長對于算法能否較快地收斂起著重要作用，也是使算法能夠更好地應用于實際的關鍵問題。一個有效的解決方法是采用變步長算法，步長的選擇根據輸入信號和混合矩陣的變化而自適應調整。利用隨時間變化的學習速率建立步長的函數，利用該函數進行步長的調整，這樣既可以加快收斂，又能保證性能的穩定。

復雜追蹤的最終目的是找到一個最優向量wopt,使其符合下式

對于式(9)，為了確定wopt，應使得

令上式左邊等于dw，定義自適應誤差函數為

隨著分離過程的進行，ε(t)逐漸減小，其值越小，代表信號被分離的程度越高。為了加快收斂速度，第1階段用大步長；在第2階段，為了提高跟蹤性能并且減小穩態誤差，用ε(t)作為指數函數的指數部分來控制步長的自適應變換。整個過程的步長公式為

式中：β為介于0和1之間的常數

2.2 非線性函數的自適應選取

為了使算法的分離效果更好，非線性函數的選取要盡可能地和源信號的概率密度函數近似。

對于振動信號而言，不同的阻尼參數使得信號的衰減程度不同，其統計分布特性也會有所不同，可能為亞高斯分布，也可能為超高斯分布。因此，如果選用固定的非線性函數，復雜追蹤算法的分離效果可能不理想。

論文在源信號分布特性未知的情況下，采用一種根據信號的峭度值來自動選擇不同的非線性函數的方法。如下

其中：g(?)為非線性函數G(?)的導函數，K表示信號的峭度值。當K所顯示時滯個數為正值，表示信號為超高斯分布信號；K為負值，表示信號為亞高斯分布信號。

3 CP識別結構模態參數

由動力學知識可知，線性振動系統的自由響應為式中：qi(t)=ai(t) sin(ωdit+θi)為正則坐標，ωdi為有阻尼頻率，θi為相位角，對于自由響應：ai(t)為指數衰減函數 exp(-ξiwnit)，ξi、wni分別為阻尼比與固有頻率；?i為固有振型向量；n為系統的模態數。模態參數識別的任務就是從響應信號x(t)中識別出振型矩陣Φ、各階頻率wi和阻尼比ξi。

對比式(1)和式(19)可得，A=Φ，s(t)=q(t)，即可以把模態響應q(t)看作源信號，振型矩陣Φ看作源信號的混合矩陣，則結構自振響應信號x(t)是模態響應q(t)經過振型矩陣線性加權所得的混合信號（即觀測信號）[10-11]。CP識別結構模態參數流程如下：

(1)通過復雜追蹤理論，得到分離矩陣W，繼而求得振型Φ=W-1；

(2)通過y(t)=Wx(t)，從結構響應中分離出y(t)，即模態響應。若結構響應為隨機響應，則采用相關函數法提取結構的近似自由振動響應信號。

(3)通過Hilbert變換便可以從模態響應中識別出各階固有頻率和阻尼比。

4 實例分析

4.1 自由響應下簡支梁的結構模態參數識別

建立如圖1所示的10單元的簡支梁模型，梁全長為10 m，模擬簡支梁的自由振動響應，提取各節點處加速度響應，響應信號時間長度50 s，采樣頻率1 000 Hz，設置Rayleigh阻尼，1階、6階阻尼為2%，阻尼系數為α=0.5763，β=0.00007。提取結構模型的前4階模態振型和固有頻率。

圖1 簡支梁模型

分別采用基于固定梯度的復雜追蹤算法（梯度CP）、基于固定點的復雜追蹤算法（FastCP）和本文改進的算法（改進CP）對結構的自由響應信號進行分析，分離圖形如圖2所示，模態參數識別結果如表1、表2、表3所示。

對比圖2中的(b)、(c)、(d)可發現，梯度算法分離的信號波形圖較差，固定點算法和改進后的復雜追蹤算法分離的信號波形較好。

圖2 結構自振響應信號分析

表3中MAC為模態置信準則，其表達式為[12]

表1 簡支梁模型固有頻率識別結果

表2 簡支梁阻尼比識別結果

表3 簡支梁振型MAC值識別結果

由表1、表2、表3可看出，改進的復雜追蹤算法識別的頻率、阻尼和振型MAC值均優于梯度CP和FastCP的識別結果。

簡支梁自由振動振型圖如圖3所示。

4.2 環境激勵下簡支梁的結構模態參數識別

實際土木工程結構的工作條件是隨機的環境激勵。因此，為了驗證改進算法應用于實際工作結構模態參數識別的可能性，對模擬的結構系統施加高斯白噪聲(GWN)。設置Rayleigh阻尼，1階、6階阻尼為2%。提取結構模型的前四階模態振型和固有頻率。

分別采用梯度CP、FastCP、改進CP對結構的自由響應信號進行分析，分離圖形如圖7所示，模態參數識別結果如表4、表5、表6所示。

由圖4可看出，基于梯度的復雜追蹤算法和基于固定點的復雜追蹤算法分離的信號波形較差，第1階信號受到第2階次的干擾較大。

而由圖4(d)可看出，改進的復雜追蹤算法分離的信號較為獨立，峰值較為明顯，沒有過多毛刺，表明改進的復雜追蹤算法識別環境激勵下簡支梁結構的模態參數是可行的，且效果要好于基于梯度和固定點的復雜追蹤算法。

圖3 三種復雜追蹤算法識別簡支梁前4階振型對比圖

由表4、表5、表6可看出，改進的復雜追蹤算法識別的頻率、阻尼和振型MAC值均優于梯度CP和FastCP的識別結果。

復雜追蹤技術識別環境激勵下簡支梁前4階振型如圖5所示。

4.3 三層框架試驗模型分析

建立如圖6所示的三層鋼框架結構（第一層加入阻尼器），各層布置加速度傳感器，用以測量框架各層橫向加速度響應時程，傳感器采樣頻率為5 128 Hz。

將該框架結構放置在小型振動臺上進行脈沖試驗，脈沖試驗開始前傳感器開始采集數據記為0 s時刻，第5.85 s時開始激勵，第20 s結束振動，收集提取全部試驗數據。利用ABAQUS對框架進行有限元模擬，將模態分析得到的頻率及振型作為理論值。由于峰值法(PP)是一種比較成熟的算法，因此數據處理前，先采用PP法識別該試驗框架的模態參數，并與各種CP算法的參數識別結果進行對比。分別采用梯度CP、FastCP、改進CP對結構的自由響應信號進行分析，分離圖形如圖7所示。