基于KICA-GDA和LSSVM的齒輪箱軸承故障診斷

楊偉新，王 平，,李舜酩

(1.中國航發湖南動力機械研究所，湖南 株洲 412002； 2.南京航空航天大學，南京 21000)

齒輪箱滾動軸承故障信號的譜峭度、信息熵[1-2]等故障特征是機械系統狀態的重要特征信息，該特征信息對系統狀態變化規律反應敏感，可通過將這些特征量作為最小二乘支持向量機[3](Least Squares Support Vector Machine，LSSVM)分類器的輸入來實現齒輪箱滾動軸承故障的識別。然而當齒輪箱滾動軸承發生故障時，因受到剛度非線性、間隙和外部載荷等因素的影響，振動信號常表現為非平穩、非線性的特征，另外，軸承故障信號往往被齒輪箱內部結構其他部件和環境激發的振動噪聲信號所污染，會導致軸承故障特征向量間存在嚴重的相關性，這些問題都會影響LSSVM分類的準確性，使得識別軸承故障的難度加大。LSSVM分類器需要獲得更高的分類性能就必須先消除輸入向量間的相關性，核獨立分量分析(Kernel Independent Component Analysis，KICA)是非線性特征抽取工具，其分離過程不受信噪比的影響，其關鍵是利用非線性核函數將原始特征空間映射到核特征空間[4]，通過去掉不同故障特征間的冗余，從而消除特征向量間的相關性。廣義辨別分析（Generalized Discriminant Analysis，GDA）方法，可有效地將各故障特征進行了非線性融合[5]，融合后的特征向量將包含有更多的故障類別信息。本文通過齒輪箱滾動軸承故障診斷實例，說明了KICA-GDA和LSSVM的故障診斷方法的有效性。

1 KICA-GDA

1.1 核獨立分量分析(KICA)算法

核獨立分量分析（KICA）是一種非線性特征抽取方法[6]，是通過利用非線性核函數將原始特征空間映射到再生核希爾伯特空間(Reproducing Kernel Hilbert Space，RKHS)中，并在RKHS空間利用典型相關分析(Kernel Canonical Correlation Analysis，KCCA)算法得到原始特征向量的最大相關系數。

文獻[6]中指出，假設輸入空間的樣本xk∈RN,k=1,2,…,l被某各非線性映射Φ到某一特征空間H，得到Φ(x1),Φ(x2),…,Φ(xl)，那么輸入空間的點積形式在特征空間就可以用Mercer核表示為K(xi,xj)=(Φ(xi)·Φ(xj))，一般常見的Mercer核函數包括：

1）多項式核

2）高斯核

設有輸入特征向量集X={x1,x2,…,xn}且x∈Rn，定義x1和x2為特征向量集中兩隨機變量。首先通過非線性核函數K(·,x)映射到RKHS空間形成的映射向量Φ={φ(x1),φ(x2),…,φ(xn))，且 有Φ(x)=K(·,x)，設F為映射的核函數空間，其中核函數采用多項式核函數，然后利用KCCA方法計算隨機變量f1(x1)和f2(x2)之間的最大相關系數ρF，相關系數可表示為

利用再生核希爾伯特空間的重構特性來計算ρF,可得

則有

設隨機變量x1和x2的N個觀測值組成的向量分別為xk1和xk2，兩都在空間F的映射向量為Φ(xk1)和Φ(),k=1,2,…N，若映射到空間的數據已進行過中心化，則Bach在文獻[6]中提出

因此，求解上式可等價于求解下式的特征值。

式中：K1和K2是基于觀察數據x1和x2的Gram矩陣。式(5)可以推廣到多個變量的情況

1.2 廣義辨別分析法(GDA)算法

廣義辨別分析GDA[7]的核心是通過一種非線性核映射函數，將低維輸入空間中的線性不可分特征映射到一個高維的特征空間H，然后運用線性Fisher判別準則求解出此高維空間最優映射方向α。設有特征樣本X={x1,x2,…xn}且x∈Rn，樣本類別數量為C。第i類樣本子集為Xi，樣本數量為ni，第i類樣本的均值。經非線性映射函數Φ映射后的樣本向量Φ(x)∈H（即高維空間），在H空間樣本的類內離散矩陣SΦW、類間離散矩陣SΦB為

高維空間H中的Fisher判別準則為

式中：ω∈H為特征核映射后的特征向量；ωopt是通過求解的特征值并按從大到小排序獲得的前r個主要特征向量，從而實現降維，并且ω滿足=0，j=1,…,r，也一定位于H空間中所有訓練樣本Φ(x)張成的空間內；J(ωopt)表示ωopt所對應的適應度值。根據再生核理論，解得

式中：α為H空間中ω的最佳核判別方向。將式（9）與式（10）聯合可得

式中：Kb、KW是依據核距離μi計算出來的數值，無量綱。μi定義為

H空間中的正交約束條件式等價于

因而可以推導得

式中：K(xi,x)為核函數。由式（14）可知樣本特征向量x映射到H空間的非線性映射過程的全部運算，實際上是由核函數來代替完成的，本文GDA采用核函數為多項式核函數，多項式核函數代數式見式（2）。

2 最小二乘支持向量機(LSSVM)算法

支持向量機(Square Support Vector Machine，SVM)能夠解決小樣本、非線性和高維數等實際問題，并成功應用于旋轉機械的故障分類[8-9]。最小二乘支持向量機LSSVM算法[3]對SVM算法進行了一些優化，LSSVM利用等式約束條件代替SVM的不等式約束條件，優化了Lagrange乘子αi求解；另外，LSSVM算法將求解二次規劃問題轉化為求解線性方程組，降低了計算的復雜度并提高了程序的運算速度。

對于樣本數據(xi,yj),(i=1,…,n)，其中xi為輸入，yj為輸出。LSSVM可描述為求解如下優化問題

式中：J為目標函數；w為權向量；b為偏置；ξ為松弛變量；f為平衡分類誤差和算法復雜度的懲罰因子，非線性變換函數φ(x)可將樣本x從原空間的非線性問題變換為高維特征空間的線性問題。

該優化問題對應的Lagrange方程為

根據優化條件

消去w和ξ可化為解以下線性方程組

式中：l=[1,1,…,1]T1×n，I為單位矩陣。通過解方程組（18）可得到LSSVM分類決策函數

3 KICA-GDA與LSSVM的故障診斷方法

基于KICA-GDA與LSSVM的齒輪箱滾動軸承故障診斷方法流程如圖1所示。

圖1 KICA-GDA與LSSVM故障診斷方法流程圖

診斷步驟如下：

1）分別測取傳動齒輪箱滾動軸承在不同運行狀態下（外圈故障、內圈故障及保持架故障）的振動信號；

2）選擇合適的時間間隔，分別將3種故障狀態下的振動數據分成若干段，對每段數據先進行歸一化處理，然后并計算每段數據的譜峭度K={K1,K2,…,Kk}、信息熵H={H1,H2,…,Hk}、功率譜密度指數FC={FC1,FC2,…,FCk}等10種特征值（特征值選取見表1）作為原始特征向量，其中，將表1中的第一行特征值作為第一特征，第二行特征值作為第二特征；對原始特征向量間的相關性進行分析，并將其直接作為LSSVM分類器的輸入，得到故障分類準確率；

3）利用KICA-GDA方法對原始特征向量進行處理，并對處理后特征向量間的相關性進行分析；

4）將經KICA-GDA方法處理后的特征向量作為LSSVM分類器的輸入，得到故障分類準確率；

4 實例應用

測取傳動齒輪箱的振動信號，實驗裝置由三相電機，齒輪箱，及其連接機構組成，核心設備是齒輪箱，內部結構示意圖如圖1所示。采樣頻率恒定為8 000 Hz，旋轉速度從150 r/min到1 800 r/min，故障包括外圈故障，內圈故障及保持架故障。三類故障各選取13段數據，每段數據有1 024個點，每段數據計算10種特征值（故障特征值表見圖1），因此每一類故障130個特征，以其中110個作為訓練集，其余20個作為測試集。

圖2 變速箱內部示意圖

計算三類故障特征相關性矩陣，如圖3所示。

圖3 原始特征值相關矩陣圖

由相關矩陣圖可知各特征值之間存在較強相關性；3種故障特征值在特征空間的分布如圖4所示。

可以看出有重疊部分，其聚類效果較差，這是由于齒輪箱結構故障，部件產生的振動之間耦合性強，造成了各個故障之間振動信號表征比較相似，從而使其特征不能準確地聚類到每一故障類別中。

將原始故障特征向量輸入LSSVM進行分類，其分類正確率為63.72%，預測計算結果示意如圖5所示。

采用KICA-GDA方法對上述故障特征進行處理，通過該方法去掉了不同故障特征間冗余，并對故障特性進行非線性融合，處理后的特征間相關矩陣如圖6所示。

表1 軸承故障特征值表

圖4 特征值空間分布

圖5 不經處理的特征進行預測示意圖

圖6 處理后的特征相關矩陣

與圖3相比，其不同特征間相關性降低；經處理后的3種故障特征空間分布如圖7所示，與圖4相比，類間距離增大，無重疊部分，分類效果得到明顯的提升。

盒型圖[10]可以說明每個特征的特征值所處的位置及其誤差，因此將經KICA-GDA處理后的特征之間的關系用盒型圖表示出來，如圖8所示。

其中紅色十字點表示異常點，黑色線表示上下誤差，藍色框表示絕大數點都在這個范圍內，另外，每個特征值都進行了歸一化處理。因此，從圖8中可以得知，不同故障類型在每個故障特征下都能較明顯地分開。將處理后的故障特征向量輸入LSSVM分類器進行分類，其分類正確率為99.54%，與直接將故障信號的原始特征向量作為LSSVM分類器輸入進行分類的效果比較，其分類精確度大大提高，預測示意圖如圖9所示。

圖7 處理后的特征分布

圖8 不同故障間的盒型圖

圖9 KICA-GDA處理后預測結果示意圖

5 結語

影響齒輪箱滾動軸承振動信號因素較多，尤其在故障運行時，振動信號往往表現為非線性非平穩性特性，使得直接采用LSSVM分類器對故障進行分類得不到理想的效果。本文將KICA與GDA相結合，提供了一種非線性非平穩性信號的處理方法，采用該方法對故障信號進行預處理，去除了故障特征間的冗余，提取了不同部分的特征，在一定程度上減弱了故障造成各部件固有振動影響，從而提高了分類性能。試驗結果表明，將KICA-GDA與LSSVM相結合對齒輪箱滾動軸承實測故障信號進行分類，與單獨使用支持向量機分類器（LSSVM）的故障分類準確率（63.72%）相比，提高了齒輪箱滾動軸承故障分類準確率（99.54%），驗證了本文方法的有效性。