數感的界定、誤區與培養對策

王強國

（寶應縣實驗小學，江蘇 揚州 225800）

在數學的語言體系中，“數感”是一個非常優美的詞匯，自提出以來，就受到廣大教師的熱捧，成為評課、說課等教研活動中的常見語。但一線的教師對于“數感”有種“朦朧”的感覺，稍加追問，明顯底氣不足。心理層面的認可與認知層面的不足，帶來教學實踐的偏頗，影響課程目標的落實，因此有必要對“數感”這一核心概念進行更為深入的探討。

一、明晰：數感的內涵界定

1.源自“課標”的描述

教育部《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》關于“數感”的詮釋是：“數感主要表現在：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋?！盵1]

這段話未對數感內涵做解釋，而是采用外延揭示的方式，從學習行為改變的視角，描述數感的表現，即理解數的意義，主要表現為五個“能”。這樣的表述采用“本體論”“價值論”與“方法論”相結合的方式呈現。如“能在具體的情境中把握數的相對大小關系”，既是“數感”的表現，又是“數感”的價值，同時也可以理解為培養“數感”的途徑之一。相比于廣義理解的，將“數感”等同于“頭腦風暴”“數學地思考”等解讀，內斂許多。

教育部《義務教育數學課程標準（2011年版）》關于“數感”的表述是：“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系?！盵2]

這一表述由兩句話構成。第一句話是數感的界定，“數感主要是……的感悟”；第二句話是數感的功能，“建立數感有助于……”這種表述更簡潔、更通俗、更符合一線教師的認知傾向。在功能描述中，兩個方面，緊扣“現實生活”與“具體情境”，凸顯“數學來源于生活，又應用于生活”的學科理念。從某一角度也揭示出，“數感”的培養不能空洞地說教。無論是“實驗稿”還是“2011年版”的數學課程標準，對“數感”都采用描述性的定義方式，這有利于一線教師的理解與踐行。

2.傾向“學術”的刻畫

2011年版的數學課程標準中，對“數感”界定的核心詞之一是“感悟”，“感悟”的本意是“有所觸而領悟”，因此，有教者將“數感”理解為“數的感悟”，不無道理。國內也有一些學者，力圖用更學術化的方式來刻畫“數感”。

有學者認為：“數感是人對數與運算的一般理解，這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數學判斷和為解決復雜的問題作出有用的策略?！薄皵蹈惺且环N主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度與意識。數感是人的一種基本的數學素養。它是建立明確的數概念和有效地進行計算等數學活動的基礎，是將數學與現實問題建立聯系的橋梁?！盵3]

有學者認為“數感”一詞的用法與“語感”“方向感”“美感”“質感”等詞的用法類似，這些詞語都代表了一種相關的能力，但與能力相比，又都含有一種“直感”的含義，特別是指對于某種特定的事物或現象或屬性或方面的敏感性，及相關的鑒別（鑒賞）能力，而后者通常又并非是一種自覺的過程，仿佛已經成了主體的一種本能，一種直接的“感知”，從而在很多情況下甚至是說不清、道不明的。[4]

有學者認為，數感是以“數概念”在人腦中的擴展而產生的一種對數學問題的敏感。首先，數感是一種對數字（量）的直覺，并且是一種敏捷的感知，它可以在較短的時間里通過對數學的“第一印象”反應為數學問題，用數去表示量，幫助主體從感知的層面轉到數學思維。其次，數感是一種具有培養性的直覺，它通過人對“數概念”的擴張和延伸而反映為對數學感知不斷提升的靈敏性。最后，數感作為直感，它具有非邏輯性，非演繹性，反應時間短，穩定性差等特性。[5]

曹培英老師認為：“數感是數的抽象意義與數的具體意義的統一，是一種自覺地基于數學的或現實的問題情境，解釋數和應用數的意識與能力?！盵6]

以上觀點，表述不盡相同，共性之處在于：一方面，認同“數感”是一種“意識”，“自覺”是這種“意識”的顯著特征；另一方面，“數感”既有感知的成分，又有思維的成分。課標中通俗的解釋與學者們趨向“學術”的刻畫，兩者結合，使我們對“數感”有更為全面、深刻的認知。

二、審視：數感的培養誤區

一線教師歷來注重數的感悟，實踐中也常見一些精彩的做法。雖沒有“數感”一詞，但對其背后的本質，是有所把握的。自引進這個概念后，在尋找新的表現形式與新的教學對策時，有時會被新包裝迷惑，盲目“摸著石頭過河”，帶來實踐的偏頗。

1.先“估”再數的泛濫

在教學實踐中，先“估”再數一度成為引入數概念教學的“標配”。誠然，估算在日常生活中有著廣泛的運用，也是展現和提升學生“數感”的途徑之一。但在以“數感”培養為指向的教學中，“估”的時機需要慎重選擇。因為“估”需要學生具備一定的能力、經驗等基礎，也需要一定的訓練，否則只能是憑空“亂猜”。因此，不考慮學生的實際，一味地先估一估，再數一數，值得反思。如蘇教版數學教材（二年級下冊）“1000以內數的認識”教學。引入時，教者出示一疊厚厚的A4紙，“同學們，大家來估計一下，這疊紙有多少張？看看誰估計得最準？”學生很興奮，紛紛說出自己的“猜想”，有100張，有150張，有300張，最多者估計有500張。教者揭示答案“1000張”，引得學生一片驚呼聲。為什么學生“不靠譜”？因為學生沒有這個能力，事實上，即使一個成人，經常接觸紙張（書籍等），但面對教者出示的這疊紙，也未必能估計出結果。因此，在教學數概念前，上述活動更實在的價值應該在于制造“懸念”，激發學生探究興趣，至于“數感”培養則有些虛幻。

2.為“量”所困的沉溺

數是量的共同屬性的抽象與表征，高等數學領域中“數感就是數量意識”，數和量可以混為一談，比如，變數與變量是同義詞。但在小學數學教學中，數和量卻是兩個既有聯系又有區別，并且常常不能不加以區分的概念。正如在中學數學中，分數可以看作小數，而在小學數學中，它們是兩個不同的概念。上海大世界吉尼斯紀錄活秤王何成法，經營魚生意，讓顧客稱奇的是，每次指著一條魚問他有多少重，他用手摸上一把，掂一掂，誤差只在3錢到5錢之間。這里，何師傅展示出的，確切說不是“數感”極佳，而是“量感”超人。兩者混淆，是“數感”培養中常見的誤區。當然，現實世界中，沒有抽象的數，有的都是數與量的結合體，“數感”培養難免涉及量，并且生活中，“數感”又通常表現為觀察事物時的數量意識，或者反映為自覺地聯系量，將數與具體事物聯系起來。[7]這個案例在提醒我們，“數感”的培養，不能過渡地依賴量。換個角度思考，無論整數、分數還是小數都可以帶單位表示數量，也可以不帶單位表示兩個數量間的關系，即有量綱與無量綱并存。因此，“數感”的培養并非只有“聯系量”一條途徑。

3.學“用”背離的教條

在具體情境培養學生的“數感”，是一條有效的路徑。一方面，有利于學生充分運用已有的知識經驗，自主建構與理解；另一方面，也有利于學生感知數學與生活的密切聯系。在情境設置中，需要我們適當地改造，以利于學生的“數學化”。一線教師在“數感”的培養中，常常截取生活中的素材，改造時會忽略情境本身的真實性，步入學用背離的誤區。如蘇教版數學教材（四年級下冊）“認識整萬數”教學。練習階段，教者安排一個估人民幣的活動，情境如下：張叔叔購買一輛價值100萬的跑車，他手中捧著的這堆錢夠嗎？在出示張叔叔手捧整捆百元人民幣（遮蓋著）的圖片基礎上，依次出示100元單張、10 000元一疊，供學生參考，效果不佳，又出示100 000元一捆的圖片，此時，多數學生估計到張叔叔手中的錢不到100萬，教者揭示謎底，只有80萬，然后添上兩捆，正好100萬。整個教學設計沒有問題，但不禁要問：信息化的今天，支付的方式有多種，使用巨額現金支付的少之又少，這樣的“數感”有人需要嗎？

三、建構：數感的培養對策

小學生“數感”發展可劃分為三個階段，即數覺階段、符號階段、模型階段（史寧中語），與之對應的課程內容分為三個學段，第一學段（一、二年級），第二學段（三、四、五年級），第三學段（六年級）。[8]教學實踐中，不妨著眼于以下三個方面：

（一）在認數的過程中形成“數感”

1.數出“數感”

數數是數概念教學中常見的環節，也是培養學生“數感”的基本策略。這里的數數區別于課堂中的“念數”，需要借助學生熟知的直觀具體的實物，從視覺上感受被數物體與數的一一對應。看似簡單的過程，蘊含豐富的教學內涵。首先，在數數的過程中，要重視引領學生感知數的兩種形式。即基數和序數形式，基數形式的確立有助于學生明白已數物體的總個數，正著數和倒著數兩種數法并進，有利于學生理解數數與加減法之間的聯系，比如桌面上有5個蘋果，從1數到5，接著5再數一個是6個，相當于5個加上1個；反過來從5倒數一個數是4，相等于5個減去1個。序數形式即數字在計數順序中的位置，它有利于學生理解數與數之間的聯系，教學中可以結合學生的排隊等情境加以理解。比如從前往后數，某個小朋友排在第六個，那么他前面一共有5個小朋友，前面一個排在第五，后面一個排在第七。其次，要注重“載體”的選擇。數實物離不開“量”，培養學生的“數感”，不宜選擇特殊的量，比如，小小的豆、薄薄的紙等，有的不常見，有的難以感知。精心的選擇，可以排除“量”的干擾。如蘇教版數學教材（一年級上冊）“認識10以內的數”教學。教者將3個△、3個○、3顆☆放在一起比較，讓學生發現雖然表示的物體不同，但數量都是“3”，在此基礎上，進一步追問“3”還可以表示哪些物體？這里選取的“△”“○”“☆”的量感，學生是有一定基礎的，無須格外的關注。

2.讀出“數感”

數的讀法有其通用的法則，比如從高位讀起，以及中間、末尾有0的區別對待等。一線教師在教學中，關注的重點往往是法則的遵從與否，即學生讀得對不對，而忽略了讀數的“數感”功能。在數概念的教學中，教者匠心的處置，讀數也可以讀出“數感”。如蘇教版數學教材（二年級下冊）“認識萬以內的數”教學。練習環節，教者出示題組：（1）“2356”讀作（）千（）百（）十（）；（2）“2356”由（）個千，（）個百，（）個十和（ ）個一組成；（3）“2356”=（ ）×1000+（ ）×100+（）×10+（）。三道習題本質是一回事，掌握讀法的情況下，可以解答。但稍加比較會發現三道題的難度系數在逐題增加，一題比一題更抽象、更形式化。事實上，只要基于學生的理解，當學生知道讀的是什么，就可以讀出“數感”，而且是脫離“量”的抽象的“數感”！讀數需要提煉通則、通法，但有時還可以適當地“通融”。再如“1/3”讀作“三分之一”，讀出了分數的意義，有教者跟進一步：“同學們，也可以理解為三分之一?！薄皵蹈小备鼜娏?。語言是思維的外殼，當思維充斥著讀數法則，讀后又不思考讀了什么，那么讀數的語言就只是法則的外殼了。

3.看出“數感”

作為對數的一種感悟——數感，雖有一定的思維成分，但更應該是一種“第一”或者類似“直覺”的反應。因而，“數感”也是可以看出來的。教學中，需要借助直觀教具的實物圖，并且這些實物圖是學生熟知的、有相對固定的模式的。如蘇教版數學教材（二年級下冊）“認識千以內的數”教學。教材中安排的“立方體模型”和“珠像”以及“小棒”，都有這樣的功能。

實踐證明，“萬以內數的認識”，聯系生活實際（現實情境中的量）與借助幾何直觀發展學生的“數感”都是有效的策略。而對于更大的數如“億”的認識，則主要依靠對已有數概念的認知以及十進制的理解，借助推理形成概念，發展“數感”。

（二）在運算的過程中建立“數感”

1.估出“數感”

“數感”與“估算”都具有一種“模糊性”，兩者關系密切。一方面“數感”的培養需要學生具有一定的“估算能力”；另一方面，有效的“估算”又需要學生的“數感”來支撐。這也從一個角度解釋了實踐中教者對“估算”的情有獨鐘。因而，在適當的時機，巧妙的引導，“估算”也是培養學生“數感”的方式之一。如蘇教版數學教材（五年級下冊）“異分母分數的大小比較”教學。練習中，教者出示這樣的情境：甲、乙兩車同時從A地出發前往B地，3小時后，甲車行了全程的2/3，乙車行了全程的3/7，哪輛車的速度快？在同樣的時間內，行駛路程長則速度快，因此，情境中考查的是這兩個分數的大小比較，學生紛紛進行通分，并比較得出結論，教者引導：“如果不通分，你能估計出哪輛車的速度快嗎？”短暫的沉默，學生回答：“2/3大于1/2，也就是甲車超過了中點，而3/7不到1/2，乙車還沒有到達中點，所以甲車快?！苯陶哌M一步追問：“你們怎么知道2/3大于1/2，3/7不到1/2的……”1/2即一半，這個“數感”學生是有的，有了這個標準進行比較就能做出正確的判斷。這個案例也提醒我們估算需要一定的標準作為參照物，只有與一定的標準做比較，估出的結果才能落在合理的區間。

2.算出“數感”

運算教學是培養、發展學生數感的主要途徑?！皵档倪\算”的過程往往就是學生鞏固、發展“數感”的過程。需要教者幫助學生在計算與計算之間、計算與出現的特殊數字之間建立聯系。[9]如蘇教版數學教材（一年級下冊）“100以內的加法（一）”教學。出示：25+26、39+17、12+35，根據相關的計算結果和數字聯系，每道題都可以應用不同的計算策略，第一題根據已有事實“25+25=50”得出25+26=51；第二題可以轉化為40+16；第三題可以拆分為“10+30+2+5”的數字組合。在乘除法的計算中，這樣的教學案例也時常出現。如“45×101”，學生會自然想到101個45就是100個45加上1個45，即：45×101=45×100+45，聯系乘法的意義以及乘法分配律，能思考得出簡潔的算法。此外，運算中，對于一些數字的轉化，也成為培養學生“數感”的有力支撐。如0.25=1/4=25%，有了這樣的認知，學生在遇到諸如15÷25%時，就會自動地轉化為15÷1/4=15×4=60。相比標準化的計算程序，這種依據“數感”選擇的計算方法更有效。

3.推出“數感”

這里的“推”是指基于計算的“推理”。教學中，對于小數量的物體，學生容易留下深刻印象，并建立概念。當數目越來越大時就難以把握了，一方面我們無法為學生提供那么多的實物，學生得不到視覺上的感知；另一方面，培養學生的推理能力也是數學學科的基本思想方法之一。多向的推算想象是建立大數數感的有效方法。如蘇教版數學教材（四年級下冊）“一億有多大”教學?；顒影才牛簲狄粌|本練習本大約需要多長時間？教者先讓學生數出100本練習本大約用了90秒，然后計算出數1萬本練習本大約需要90×100=9000（秒），數一億本大約需要9000×10000=90000000（秒），最后通過計算器將“秒”換算成“年”：90000000÷60÷60÷24≈8.56（年）。接著教者讓學生通過計算得出一億枚硬幣摞在一起大約有150000米，一億粒米大約重2500千克等，博得學生一陣陣的驚呼聲，但稍加思考，便會發現，這些都無法幫助學生建立一億的“數感”，猶如語文中的比喻誤區，用另一種抽象的事物比喻當前的抽象事物。真正能留在學生記憶中的關鍵性支撐是“一萬個萬是一億”。這也揭示出直觀作用的階段性，以及適時抽象、推理的必要性。

（三）在問題的解決中發展“數感”

1.聯系實際，用出“數感”

小學數學中的實際問題都會涉及數，因此，在學生綜合運用已有知識經驗解決實際問題的過程中，“數感”常常自然地表現。如蘇教版數學教材（三年級下冊）“兩位數乘兩位數”復習。教材中有這樣一道習題，如圖1：

圖1

張華從學校出發，走了15分鐘，每分鐘走70米。

（1）如果向東走，現在在少年宮的東面還是西面？

（2）如果向北走，大概走到了哪個位置？在圖中用“?””表示出來。

學生計算得出張華15分鐘一共走了70×15=1050（米），而要正確地標注，需要進行這樣的判斷：1050比1000多一點；1050比2000的一半多一點。在這樣的思考過程中，不用考慮1050米、2000米到底有多長，作為單位的米，如果換作其他單位，仍然基于上述的判斷，這是“數感”“自動化”的反應。習題設置巧妙地擺脫了“量”的干擾，呈現出單純的“數感”。

2.專項訓練，練出“數感”

教學中，一些關于數量關系的專項練習，也有練出“數感”的功能。如蘇教版數學教材（六年級下冊）“稍復雜的應用題”復習。教者出示：王大爺家有白兔36只，____，灰兔有多少只？（你有不同方法嗎？）要求學生根據這些信息，補充一個條件，求出灰兔有24只。這道開放題為學生提供了廣闊的思維空間，不同學生的答案也顯示出“數感”的不同層次。生1：“灰兔比白兔少12只”，類似答案“白兔比灰兔多12只”；生2：“灰兔比白兔的一半多6只”，類似答案“白兔比灰兔的兩倍少12只”；生3：“灰兔的只數是白兔的，類似答案“白兔只數是灰兔的生4：“白兔只數比灰兔多，類似答案“灰兔只數比白兔少生5：“白兔只數與灰兔只數的比是3:2”，類似答案“灰兔只數與白兔只數的比是2:3”……這里同樣擺脫“量”的束縛，既培養了學生的“數感”，也練習了不同類型的實際問題的解題方法，一舉多得。事實上，即便是解決脫離現實背景的數學問題，也常常會用到“數感”，如，求兩個數的最大公因數、最小公倍數等，激活“數感”的過程也反作用于“數感”的提升！▲