基于影響矩陣法及序列二次規劃法的斜拉橋自動調索

鄭 暉

（大連廣播電視大學，遼寧 大連 116021）

0 引言

成橋合理狀態是斜拉橋設計過程中需要確定的一個非常重要的結構受力問題，也是判斷斜拉橋設計好壞的一個重要標準。現代斜拉橋結構類型多為高次超靜定結構，索力的大小及其變化對成橋狀態下的主梁、主塔等結構的受力影響很大。斜拉橋的拉索索力在恒載作用下可以調節，在斜拉橋結構布置已經確定的情況下，通過調整索力便可以找到一組索力使結構反映受力性能的指標達到最優。因而，斜拉橋的索力優化便成為合理成橋狀態確定過程中的關鍵問題。

國內外學者對斜拉橋索力優化理論做了大量卓有成效的研究[1-7]，提出了許多的方法。于玲[1]等采用了基于復合約束的最小能量法，運用顯示梯度的數學表達式進行求解。黃慶祥[2]采用大型通用有限元程序Midas/Civil，利用零位移法對某斜拉橋進行合理成橋狀態分析。陳從春[3]等提出了基于拉索和預應力鋼筋費用最小的索力優化方法，用大型有限元軟件ANSYS和APDL語言實現了這一功能并進行了實橋驗算。姜濤等[4]提出采用基于應力可行域法的斜拉橋合理成橋狀態確定方法，以主梁恒載的應力可行域來控制斜拉橋成橋狀態下主梁的受力狀態，可以簡單直觀地判斷出主梁的受力是否滿足要求。陰文蔚[5]以全橋主梁所配預應力筋總量最少為目標函數，以恒活載共同作用下的塔梁索的應力作為約束條件，并采用約束變尺度法進行求解的應力優化法。

上述研究所提出的方法均未能全面考慮主梁橋塔和斜拉索在恒載作用下的變形及受力狀態，且按單一的計算方法進行計算，計算過程比較繁瑣，且都有局限性。鑒于此本文以影響矩陣理論為基礎通過有限元軟件對橋梁結構進行靜力分析得到符合線性疊加理論的影響矩陣建立斜拉橋調索分析的優化數學模型，然后利用序列二次規劃算法探索一種高效自動地索力優化的方案。最后將此方法運用于某斜拉橋有限元分析中經計算驗證了該調索方法的有效性。

1 影響矩陣法的基本原理

斜拉橋結構的索力優化需要能考慮各種因素的影響，又能兼顧多種目標函數，基于此想法，同濟大學肖汝誠[8]將廣義影響矩陣的概念引入斜拉橋的索力優化中，提出了影響矩陣法。一般在有限元分析的基礎上，基于建立好的有限元模型，以單位荷載的施調向量作用于模型上，獲得結構狀態（受調向量{A})和在索力(施調向量{X}）作用下的影響矩陣{B}，并以結構狀態（結構線性、內力及支座反力等）表達式構建目標函數和約束條件的表達式，進行優化求解。

2 斜拉橋成橋索力優化模型的建立

斜拉橋索力優化的目的是使斜拉橋成橋狀態合理，包括受力狀態合理和線性狀態合理。前者是指主梁、橋塔、斜拉索及橋墩等的受力狀態下斜拉橋的力學性能能滿足承載能力極限和正常使用極限的要求，且各項指標分布均勻；后者是要求保證主梁的成橋線型合理。此外，考慮經濟原因的要求，還需在上述兩者成立的情況下總造價接近最小。

一般不等式約束優化問題可表示為：

式中：f（x）為目標函數；x為設計變量；I為下標合集；gj（x）為約束函數；j為對約束函數的編號。

（1）目標函數選取：由于合理成橋狀態量中，受力狀態起關鍵作用，故目標函數選為主梁應變能和橋塔應變能之和。這項指標達到最小不僅可以考慮主梁和橋塔的彎矩，還可以全面表結構的位移和內力狀態，使優化后得到的整個結構內力分布均勻并且達到最小值。通過有限元離散模型來建立目標函數如下：

式中：n為結構單元總數；X為擬調向量，本文選取索力為擬調向量；CL、CR分別表示索力對左右端彎矩的影響矩陣；Li、Ei、Ii分別表示i號單元的桿件長度、彈模、截面慣性矩；MLi、MRi分別表示調索后單元的左右端彎矩；ML0、MR0分別表示調索前單元的左右端彎矩。

（2）約束條件的選取：首先考慮斜拉橋中最重要的斜拉索其強度和疲勞的問題，對索力最大最小限值進行規定，且考慮實際工程意義，拉索的初始張拉力及正常使用過程中的索力都應為正值。其次，斜拉橋各結構構件的計算變形情況能較直接地反應斜拉橋的設計的合理性，因此對橋塔的塔頂進行橫向位移約束，橋塔可以向岸側留有一定的預偏值，主梁與斜拉索相交的位置應進行豎向位移約束。

式中：gj（x）為約束函數；j為對約束函數的編號。

3 基于序列二次規劃算法的自動調索和技術路線

求解約束優化問題的算法中序列二次規劃法是最有效的算法中的一種，自從Wilson首次提出此方法以來，國內外學者對其進行了廣泛和深入的研究。本文擬采用基于可行方向法結合序列二次規劃法的強次可行SQP法[9]進行優化求解，該算法保證有限次迭代計算后，迭代點進入可行域。通過構造了一個Armijio曲線搜索和兩個由含相同逆矩陣構造的新的顯示修正方向，減少了算法的迭代計算量，其算法原理如下：

對于第k個迭代點xk?Rn，作如下記號和定義。

（1）可以通過求解公式（13）的二次規劃子問題，來求解不等式約束優化問題（5），最終得到主搜索方向。

式中：Bk?Rnxn是問題（5）的拉格朗日函數在xk處的Hessen陣的近似。

（2）由于問題（13）總有可行解d=0,是其最優化解，但其不一定是一個可行方向，本算法中利用廣義投影技術求得新的改進顯示修正方向dk,并給出新的高階顯示修正方向d~k，具體計算公式詳見文獻[9]。

（3）設計變量的迭代公式為

式中:步長λk通過構建的一個新型Armijio曲線搜索得到。

（4）當（，φk）=（0,0）時，xk是問題（5）的最優解。

如上所述，斜拉橋設計中斜拉橋的索力優化是其關鍵問題，也是進行全橋內力分析的必要前期工作。利用強次可行SQP法建立數學規劃模型來進行斜拉橋索力自動優化求解，可大幅度減少手算的工作量和盲目性，實現高效的全局最優求解。且通過MIDAS的建模功能與EXCEL的交互處理，可方便的實現算法的自動優化求解[10]，技術路線及具體的流程見圖1。

圖1 計算流程圖

4 工程算例

4.1 工程概況

以某雙塔單索面三跨混凝土斜拉橋為研究對象，橋梁全長265 m，橋跨布置為70 m+125 m+70 m。斜拉索采用扇形布置，共24根索。采用板式邊主梁的主梁截面形式，主梁截面寬度35 m，端部高度1 m，橋塔采用變截面空心箱形截面，材料均選用混凝土，具體特性見表1。

表1 構件材料特性、幾何特性表

4.2 計算模型

選用MIDAS/CIVIL建立斜拉橋有限元模型，全橋采用魚骨模型。共有69個節點，66個梁單元，24個桁架單元。邊界條件采用固定邊界，斜拉橋布置見圖2，拉索從左到右依次編號為T6～T1，T7～T12，T12～T7，T1～T6。建模過程將主梁單元長度劃分為一致，可以減少后續工作的計算量。

圖2 斜拉橋立面布置

優化目標函數選取成橋主梁和橋塔的彎曲應變能之和，約束條件為索力范圍采取規范要求的材料上下極限，主梁與斜拉索交點的豎向允許位移為10 mm，橋塔塔頂變位合理,設定順橋向允許位移為10 mm。

4.3 結果分析

由于結構對稱，僅取一半結構進行分析，經過優化計算得到主梁與橋塔的最小彎曲應變能之和最小時的成橋索力，優化前后索力對比見圖3。

圖3 優化前后索力對比

由圖3可以看出強次可行SQP法與最小彎曲能法計算出的索力與設計索力分布較為吻合，零位移法計算得到的索力，整體分布不均勻，且同設計索力相差較大。其中強次可行SQP法計算得到的索力最為合理，從短索至長索索力逐步增大，最大索力為邊跨第5號索，值為7 926 kN，最小值發生于中跨第7號索，索力5 225 kN，所得索力與設計索力一致且偏差較小，基本差值在5%以內。

最優成橋狀態主梁彎矩見圖4。由圖4可以看出三種算法整體主梁彎矩分布都較均勻，零位移法由于僅考慮拉索和主梁交點處位移為零，故在靠近主塔部位主梁彎矩有較大突變。最小彎曲能量法是無約束的優化方法，僅考慮全橋彎曲能量最小，相較于強次可行SQP法計算得到的彎矩，整體偏大，后者主梁所受彎矩整體分布均勻且較小，拉索范圍內主梁彎矩值均在5 000 kN·m內，此種受力狀態可以充分的保證主梁的承載能力和跨越能力。最大彎矩處于拉索范圍外，未經過拉索調節，工程中一般通過在主梁端部添加輔助墩來減小彎矩突變。

圖4 優化后主梁彎矩

橋梁的主塔作為受壓構件，索力優化后，其受力接近于軸壓狀態，減少其因局部彎矩過大而造成的破壞，橋塔彎矩如圖5所示。最小彎曲能量法和零位移法由于僅考慮主梁的目標優化，故計算得到的主塔塔根彎矩偏大，受力不均勻，最大塔根彎矩分別達1 500 kN·m和3 600 kN·m。強次可行SQP法計算得到主塔彎矩較小，主塔受力狀態接近軸壓狀態，最大塔根彎矩為-479.56 kN·m，相較前兩種算法大大減小。

最終成橋狀態主梁豎向位移見圖6。由圖6可知，由于零位移法其優化目標便是主梁節點位移為零，故其豎向位移分布接近于零軸。強次可行SQP法和最小彎曲能量法計算得到的主梁位移圖對比，兩者主梁均有向下的撓度，前者最大撓度為5.5 mm，后者最大值為9.6 mm，均小于約束條件中設定的10 mm限值。但是整體變形情況，前者比后者小且均勻。

圖5 橋塔軸力圖

圖6 主梁豎向位移

5 結語

本文以精確性、高效性為原則，便于工程實用性為目的，基于響應矩陣原理結合序列二次規劃法求解斜拉橋的索力優化問題，結果表明優化過程穩定、高效、無需人工干預便可獲得合理的拉索拉力，索力分布均勻，基本隨著長度增長。彎曲應變能作為目標函數并考慮多種不同的約束工況，更全面的考慮了整體結構對拉索索力的影響，優化結果主梁線性平順，主梁內力均勻且符合規范要求，主塔充分發揮受壓能力。本文方法簡單、有效，可較容易實現程序化，可以為同類型的斜拉橋索力優化提供一種新的求解方案。