期權定價模型與隨機波動

羅雅沁

摘 要：隨機波動率的主要思路是將標的資產價格的波動率描述為一個由價格水平、波動率均值回歸趨勢和波動率方差控制的隨機過程。它考慮到了期權定價中的不確定性因素，讓定價更具代表性，與實際市場價格相擬合。

一、引言

通過多個貼近市場模型的具體實現提供了一種新的期權定價解決思路，即使市場參與者沒有獲得期權市場價格的渠道，抑或在流動性不夠充裕的情況下，也可以按照標的實時價格通過本文提及的模型計算相對應的期權價格作為參與市場的參考。最主要的是，考慮到資產價格回報的諸多特點，隨機波動率類模型的引入克服了以往期權定價的諸多不足。

二、Black-Scholes模型

隨機波動率實質上就是跳出了傳統金融市場以一定時期內波動率作為恒定參數考慮市場的框架，而認為波動率本身是隨著價格變化而變化的，這一變化過程符合隨機過程。在當前的金融市場，因為該類模型考慮的因素更多、理論基礎更為嚴謹而受到不少投資者的關注。

雖然Black-Scholes模型通過隨機波動率對期權定價（某些寬松的假設實質上在交易過程中也是可以被接受的），也將影響期權權力的波動率及分布概率等問題引入到整個評估體系中，但當時還有諸多尚未解決的問題，其中一個重要的不足之處在于它對于基礎資產價格回報恒定波動率（以及其波動率不受價格變化影響）的假設。這種假設意味著使用期權的對沖者要不斷地對波動率假設進行調整來反映實際的市場價格數據，從而導致了對沖比例的不斷變化，也導致了傳統期權定價模型無法對隱含波動率的一些固有特性給予合理的解釋。在現實市場中，Black-Scholes模型給出的期權理論定價也比較難吻合觀察到的期權市場價格。

Black-Scholes模型根據當前標的價格和靜態波動率來得到當前的期權價格，存在著一些難以克服的缺陷，比如說假設股票價格的收益率是遵循一個固定的均值和方差的正態分布等。但是在實證中我們發現波動率事實上隨時間變化有一個集聚過程，這與Black-Scholes模型假設有極大的出入。另外金融界與學術界也意識到金融價格時間序列的分布形態明顯體現出尖峰厚尾的回報特點，也即是說市場的尾部風險較高，這實質上是期權定價中一個明顯的溢價因素，且不能被固定波動率的假設所捕捉。除此之外，金融價格時間序列中波動率偏離后均值復歸的特點也是Black-Scholes模型無法刻畫的難點。在期權市場的實際交易中隱含波動率往往呈現波動率微笑形態，隨著執行價格不同位置的變化，期權反推的隱含波動率并不一致。

三、Hull-White模型

Hull和White（1987）提出了一個期權定價模型，在該模型中有兩個不確定來源，即資產價格未來軌跡和波動率的未來軌跡。在上述參數化過程中，波動性風險價格設定為0，。這一假設意味著波動性風險不存在風險溢價。與此相反，Heston（1993）已經引入了一個具有非零波動性風險價格的閉式模型。

Hull-White模型考慮到了期權價格波動率的相關系數和波動率（波動率的波動率）的影響。波動率的波動率較高意味著收益的風險中性分布顯示出較高的峰度。對該模型來說，出現最大限度的盈利和虧損比資產價格遵循對數正態分布的Black-Scholes模型可能性更大。當收益沖擊和波動率沖擊之間的相關系數為0時，風險中性分布是對稱的、尾肥的。相關系數的符號決定了分布的對稱性。考慮到相關系數為負的實證相關案例，收益風險中性分布的左尾比右尾包含更多的機率質量。正如Abken和Nandi（1996）討論的一樣，負偏斜性對定價有影響： B-S定價模型對價外看漲期權定價過高。

為使參數估計的計算可行，像Hull和White（1988）模型中一樣，我們運用泰勒級數展開。假定時刻t的方差為其長期均值V=-a/b且未來軌跡由方程（6）說明。在Hull和White（1988）模型中，歐式看漲期權的價格可用和來決定。

其中是相應的B-S模型價格。Hull和White（1988）模型導出了因子且決定了B-S模型價格的誤差。對于該模型參數的估計，我們采用模擬退火法使SRPE（as outlined earlier）最小化.該過程表現出比標準算法更優的最佳收斂性。

四、總結

總的來說我們斷定模型的效能與所采用的功能函數密切相關。盡管BS模型的理論價格與實際價格的相符性較好，但是它對期權收益分布兩端的預測精度較低。我們討論了這些結果的分歧并認為對VaR預測而言，基本的條件正態假定是有問題的。

對于今后的研究，運用厚尾分布（例如學生氏t分布）來指定基本定價方法前景廣闊。那是期權定價模型就從應用條件正態分布的BS模型延伸到了采用條件t分布的模型。

最后，隨著業界對期權隱含波動率變化了解的加深，從形狀特點入手解決期權問題的思路也是大勢所趨。從波動率曲面來看，我們可以通過分析期限結構和波動率偏離來指導我們對市場方向性的判斷，關于波動率曲面的深入研究，不論是對期權本身特性的了解，還是對發現潛在套利機會以及制訂交易策略，都有著重要的意義。

參考文獻

[1] 《期貨日報》

[2] 百度百科——https：//baike.baidu.com/item/期權定價模型/6333213？fr=Aladdin