化工類線性代數(shù)本質(zhì)與幾何直覺培養(yǎng)教學例證研究

左路

【摘要】本文針對化工類專業(yè)特點，利用矩陣在線性代數(shù)知識體系中的貫穿作用，提出依賴矩陣的幾何意義建立直覺模型，構(gòu)建教學框架并直指線性代數(shù)本質(zhì)，讓學生在幾何直觀的形象思維中逐步培養(yǎng)抽象思維，為專業(yè)發(fā)展與應(yīng)用建立堅實的數(shù)學基礎(chǔ).

【關(guān)鍵詞】化工類;教學研究;線性代數(shù)課程;幾何直觀模型

作為以實驗為核心的科學，化學從兩方面需要數(shù)學的參與.其一，現(xiàn)代化學的微觀發(fā)展，即探討物質(zhì)的組成、構(gòu)造及反應(yīng)，所采用的語言越來越數(shù)學化.其二，化學的實際應(yīng)用要求更嚴格的定量計算工具，其中分析化學及化工問題都需要更精確的計算工作，自然涉及更多的應(yīng)用數(shù)學.簡言之，化學學科需要數(shù)學從符號層面和技術(shù)層面的支持，需要從本科學習階段開始掌握靈活運用數(shù)學工具的能力.線性代數(shù)課程作為化工類專業(yè)的學科大類數(shù)學基礎(chǔ)課程之一，定位于以線性空間、線性變換為核心，旨在培養(yǎng)學生的抽象思維能力，以及讓學生具備運用線性代數(shù)知識進行數(shù)值計算的能力.但是如何準確建立數(shù)學模型，選擇計算方案，解釋計算結(jié)果，并產(chǎn)生方法的創(chuàng)新，需要研究者對線性代數(shù)有更多的本質(zhì)認識，僅依賴抽象思維的培養(yǎng)不能完全勝任.那么何為抽象思維？抽象思維為何如此重要？如何才能培養(yǎng)抽象思維？從認知神經(jīng)學的角度而言，抽象思維活動于左腦，對外界事物建立概念、判斷和推理，并通過分析、比較、概括等基本過程以期達到認識事物的本質(zhì)特征的目的[1]，這也正是科學工作者應(yīng)具備的素養(yǎng).然而，線性代數(shù)的概念采用公理化結(jié)構(gòu)的表達方式造就了該學科知識的高度抽象性，這個特點恰好就成為學習的第一步障礙，學生并不易直觀感受并認識線性代數(shù)的本質(zhì)，在未來的工作研究過程中不能熟練自如地利用矩陣工具為研究服務(wù).

抽象思維的培養(yǎng)無法做到一蹴而就.盡管人的認知過程中抽象思維擺脫了對感性材料的依賴，并非意味著基于感性的形象思維可以欠缺.如同藝術(shù)家，科學研究者的科學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造需要形象思維，形象與抽象相輔相成參與著知識的獲取、累積、創(chuàng)新的過程.正如統(tǒng)計學家Ronald A.Fisher，因為具備這種非凡的形象思維，幾何直觀常常使他能夠在極短的時間內(nèi)解決他人需耗費很長時間能解決的問題[2].不僅如此，興趣作為學習的第一推動力，幾何直覺的存在還可以促進興趣的驅(qū)動力.當經(jīng)過初等代數(shù)訓練的學生一步跨入抽象的高等代數(shù)領(lǐng)域，如何才能激發(fā)學生的興趣，這個跨度需要教師的輔助.教師的輔助需要教師對知識的累積規(guī)律過程、學科的本質(zhì)特征有深入的了解，并建立適宜的教學方式.如，歐拉在《無窮分析引論》中將直觀性顯著的指數(shù)函數(shù)先于對數(shù)函數(shù)介紹[3]，盡管后者略早于前者產(chǎn)生，但這一順序符合人類的認知習慣，因而沿用至今.早期的數(shù)學家們均相信直覺，笛卡爾認為直覺是將知性上升為知識的途徑之一，布勞維將數(shù)學思維視為智力構(gòu)造的過程，它建立于基本的數(shù)學直覺之上[4].于是，我們嘗試在線性代數(shù)課程的教學過程中實施循序漸進的方式培養(yǎng)學生的抽象思維，從建立矩陣的幾何直覺模型開始，串起線性代數(shù)的知識框架體系，采取幾何直觀模型解釋矩陣的各種表達與運算，貫穿起線性空間和線性變換兩大核心，線性代數(shù)的本質(zhì)不過如此.如果用金字塔式結(jié)構(gòu)構(gòu)建出線性代數(shù)學習過程，則幾何直觀構(gòu)成底層的堅實基礎(chǔ)，中間層是數(shù)值計算能力的培養(yǎng)，最頂層是應(yīng)用能力的獲得.本文以二維向量空間為例，采用層層遞進的順序，從三個層面在教學中以矩陣串聯(lián)起整個課程框架.

四、結(jié)?語

從以上三個方面將矩陣與空間、映射貫穿起來，實現(xiàn)向量空間過渡至線性空間，達到知樹識森林，從具體到抽象.學生未來需要成為知識的探索者和發(fā)明者，僅僅作為知識的接受者是無法承載這一重任的.教師需不懈努力，探索更加符合學習規(guī)律的教學模式，以矩陣及其運算為主，以線性空間和線性變換為根，以幾何直觀為輔，從而使學生知曉線性代數(shù)知識體系的構(gòu)建方式，獲取自學能力，為未來研究、工作夯實計算基礎(chǔ).

【參考文獻】

[1]王志良.腦與認知科學概論[M].北京：北京郵電大學出版社，2011.

[2]Salsburg D.女士品茶——20世紀統(tǒng)計怎樣變革了科學[M].邱東，譯.北京：中國統(tǒng)計出版社，2004.

[3]Euler L.無窮分析引論[M].張延倫，譯.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2013.

[4]Klein M.數(shù)學：確定性的喪失[M].李宏魁，譯.長沙：湖南科學技術(shù)出版社，2001.

[5]吳贛昌.線性代數(shù)：第5版[M].北京：中國人民大學出版社，2017.