應用圖示表征方法 提高解決問題能力

張業(yè)鴻

【摘要】《數學課程標準（2011年版）》中提出“四能”，最終以“解決問題”為教學目標.本文通過調查，獲得當下影響學生解決問題能力有哪些因素.在此基礎上提出應用圖示表征方法的教學策略實踐，總結出圖示表征的三種方法，即幾何圖表征、符號表征及算子表征等直觀教學策略，對培養(yǎng)學生解決問題能力有重要實踐意義.

【關鍵詞】影響解決問題因素;幾何圖表征;符號表征;算子表征

【基金項目】本文為福建省教育科學“十二五”立項課題《以培養(yǎng)學生解決問題能力為導向的小學數學有效教學研究》結題成果之一.

“問題”是數學教學的起點與終點.哈默斯說：“問題是數學的心臟.”美國著名的數學教育家玻利亞說：“問題意味著要去尋找適當的行動，以達到一個可見而不是可及的目標.”他在《數學的發(fā)現》一書中認為，所謂問題就是有意識地尋求某一適當的行動，以便達到一個被清楚地意識到但又不能立即達到的目的.《數學課程標準（2011年版）》中提出“四能”，即：發(fā)現問題能力、提出問題能力、分析問題能力和解決問題能力.學生在發(fā)現問題、提出問題、分析問題的基礎上，最終以解決問題為教學目標，培養(yǎng)學生解決問題能力具有重要的實踐意義.

什么是解決問題能力？它是指學生應用數學知識成功完成某項活動所必需的數學思維個性心理特征，是學生的數學綜合素質在某項活動中表現出來的實際本領大小.

影響學生的解決問題能力有哪些因素呢？為調查學生對數學問題解決能力的影響因素，本人對所在的公辦小學五年級學生200名進行問卷調查和測試，在分析原因的基礎上，實施圖示表征教學對策研究，獲以下結論.

一、影響解決問題能力的因素及其分析

（一）問卷調查

問卷調查內容主要有兩個方面：一理解題意困難時是否會采用圖式表示，二是對抽象數學問題喜歡老師采取什么方式幫助他們.

1.在理解題意困難時，你經常會畫一個示意圖幫助對問題的理解嗎？

A.經常會B.偶爾會C.不會

從調查結果來看，大部分學生在理解題意困難時，自己會選擇畫示意圖來幫助對題意的理解，把抽象的數學問題以直觀的圖示來幫助理解，為問題解決奠定了基礎.

2.你對比較抽象的數學問題不理解時，你喜歡老師采取哪種方式幫助你？

A.單純講解問題解決

B.借助多媒體視頻演示問題解決

C.實物演示問題解決

從調查結果來看，大部分學生對比較抽象的數學問題不理解時，最喜歡老師采用實物演示來幫助解決.

（二）對比測試

為了調查學生有無“圖示表征”和“視圖表征”對問題解決能力的影響情況.本人設計了數學本質內容相同，各打印100張.把它分成有無“圖示表征”和“視圖表征”，共測試了五年級的四個班級.

1.有無圖示表征對解決問題的影響：

題1：沒有圖示表征的數學問題解決情況（試卷1）：

在一個長方體容器中，從里面量長為12 cm，寬為2 dm，高為2 dm，向容器中倒入7.5 L水，再把一個蘋果放入水中（完全浸沒），這時測得容器內水面的高度是13.4 cm.這個蘋果的體積是多少？

題2：有圖示表征的數學問題解決情況（試卷2）：

下面是貝貝比較土豆和紅薯的體積時做的實驗.（單位：cm）

放入土豆接著放入紅薯

（1）計算土豆和紅薯的體積.

從表中可以看出，學生對有圖示表征的數學問題解決情況比沒有圖示表征的數學問題好一些.

2.有無視覺表征對解決問題能力的影響：

（1）沒有視覺表征的數學問題解決情況（試卷1）：

一個長方體，高減少5厘米正好成為一個正方體，表面積減少了120平方厘米，求原長方體的體積.

（2）有視覺表征的數學問題解決情況（實物演示）（試卷2）：

一個長方體，高減少5厘米正好成為一個正方體，表面積減少了120平方厘米，求原長方體的體積.

分兩個時間段測試，半班先完成試卷1，另外半班后面完成，老師演示題意（視覺表征）.學生解答情況如下：

從表中可以看出，學生對有視覺表征的數學問題解決情況比沒有視覺表征的數學問題解決情況要好些.

二、應用圖示表征法提高解決問題能力

基于以上調查及其原因分析，采用圖示表征方法培養(yǎng)學生解決問題能力是個較好的教學策略.朱智賢在《兒童心理學》一書中指出：小學生思維發(fā)展的基本特點是從以具體形象思維為主要形式逐步過渡到以抽象邏輯思維為主要形式;但這種抽象邏輯思維在很大程度上仍然是直接與感性經驗相聯系的，仍然具有很大成分的具體形象性.所以，圖示表征教學符合小學生年齡特征的思維模式.

著名數學教育家斯托利亞爾指出：“數學教學是數學活動（思維活動）的教學，而不僅是數學活動的結果——數學知識的教學.”而思維活動往往蘊含在問題的解決過程，讓學生在圖示表征基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等基本方法去推理和判斷，進而達到數學問題解題能力的提升.利用圖示表征可以直觀形象展示數學抽象性.

（一）圖示表征，直觀教學

1.幾何圖表征

線段圖是個簡介的圖示表征，它較好地用形象圖形構架抽象思維數學思維，把題目信息、數量關系都較好地體現其中，使抽象的文字變?yōu)楹啙嵉臄祵W問題，促進學生解決問題能力提高.還可以利用圖示表征，理解幾何圖形公式的推導.

2.符號表征

數學的一個顯著特征就是符號化，無論是從心理的角度還是從實踐操作的角度來看，符號表征是最好的記載形式.正如數學家懷海特所說，數學的符號化是最經濟的方法.既是操作上最經濟的，也是記憶上最經濟的.因此，符號化表征在學生頭腦中儲存最具獨特性與普遍性.符號表征有兩種形式，一種是完全符合表征，如圓周率π;另一種是不完全符合表征，如代數式a+b，….

3.算子表征——算理過程

算子是數學中的一個重要概念，它表示的是一種形式化運算，數學中許多運算定律、法則等儲存于學生頭腦中均是以算子表征.算子表征能夠較好地反映表征對象、表征形式與表征內容達到一種很好的匹配.

總之，在數學問題解決教學中，教師要善于利用各種表征手段進行直觀教學，符合小學生形象思維特點，充分展示學生思維過程，在解決問題的困惑中找到“通路”，從而提升解決問題的能力.

（二）實施圖示表征策略注意事項

1.養(yǎng)成習慣.在運用圖示表征策略解決問題的過程中，讓學生體會到圖示表征具有簡化題意、理清數量關系的功能，從而激發(fā)學生嘗試畫圖的動機與興趣，養(yǎng)成利用圖示表征解決問題的意識與習慣.

2.鼓勵創(chuàng)新.在對學生進行圖示表征策略指導的過程中，鼓勵他們個性化圖示表征，對于學生創(chuàng)造性思維表征予以表揚，展示不同學生對問題解決圖示表征方法，形成圖示表征方法的多樣化.

3.優(yōu)化方法.通過比較學生不同的圖示表征方法，讓學生懂得用更加簡潔圖示表征復雜抽象的問題解決過程，從而優(yōu)化圖示表征方法.

心理學研究表明，整塊的系統(tǒng)知識是圖式表征的.圖式中不僅包含知識的命題表征，而且包含了事物的表象，是信息在空間上的連續(xù)性在人腦中的表征.

在培養(yǎng)學生解決問題能力的教學中，用圖式（線段圖、幾何圖、結構圖等）可以簡化結構，分析數量關系，尋找問題解決的路徑.這種方法人們習慣上稱為數形結合法或畫圖法，它是個人運用圖式表征解決問題的外在表現.研究表明，個人擁有圖式數量的多少與品質的優(yōu)劣，將決定其解決問題能力的強弱.因此，可以通過豐富學生圖式數量，完善學生圖式品質，來提高學生問題解決的能力.