非線性總體最小二乘反演道路圓曲線參數算法

胡 川， 鄧明鏡， 趙立都

(重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074)

0 引 言

直線、緩和曲線和圓曲線是道路平面線形的基本元素。線形參數的反演，在公路普查、建立現有道路路線圖形數據庫等方面具有非常重要的作用，特別是圓曲線參數，影響著緩和曲線參數、道路里程的計算結果[1]。重心坐標法[2-3]、附有參數的條件平差法[4]和最小二乘法[5]是3種較為常見的圓曲線參數估計方法。重心坐標法是根據不在同一條直線上的3點確定一個圓，將所有觀測坐標進行排列組合，計算各組合點的圓心坐標和半徑，取所有組合計算結果的平均值作為圓曲線參數的估計值。該方法的優點是計算簡單，缺點是平差理論不夠嚴密；附有參數的條件平差是將圓曲線參數估計的非線性最小二乘模型轉化為附有參數的條件平差模型，采用經典平差結果直接計算參數估計值。該方法的優點是平差理論相對嚴密，缺點是參數估計結果易受參數近似值(初值)的影響[6]。最小二乘法以觀測點到圓曲線距離的平方和為極小值條件，采用換元法將其轉化為普通最小二乘平差模型[7]。該方法的優點是避免計算非線性問題，缺點是其極小值條件不完全合理，且不具有明確的幾何意義。道路圓曲線參數反演既要計算參數[8-9]，還要估計誤差值，為剔除粗差影響提供基礎保障[10]。近年來，非線性總體最小二乘(nonlinear total least squares，NTLS)引起了測繪數據處理領域的研究興趣[11]，針對上述問題，筆者提出一種基于NTLS的道路圓曲線參數反演算法，直接用觀測誤差定義平差極小值條件(平差準則)，減小參數初值對估計結果的影響，以提高道路圓曲線參數反演精度和理論的嚴密性。

1 NTLS反演道路圓曲線參數模型

用離散觀測數據反算道路線形參數，首先需要識別哪些點屬于哪類線性，例如直線、圓曲線；其次是選用合理、可靠的數學方法估計其最佳參數值。筆者假設已識別出圓曲線上的觀測數據，重點討論估計圓曲線參數的NTLS方法。

假設現有GNSS接收機測量的m個圓曲線路面段離散坐標 (xi，yi)，i=1,2,…,m。設該圓曲線段的圓心坐標為(a，b)，半徑為r，則估計該段圓曲線參數的函數模型可以表示為

[(xi-exi)-a]2+[(yi-eyi)-b]2=r2

(1)

式中：exi和eyi為與各坐標觀測值相對應的隨機誤差。

NTLS的極小值條件是所有輸入非線性系統的觀測誤差平方和最小。采用數學語言描述可表達為

(2)

式中：ex和ey分別為與向量x和y相對應的誤差向量。用GNSS采集道路曲線坐標時，通常認為觀測條件相同，屬于等精度觀測，觀測誤差服從期望為0，方差為σ2的正態分布，它們對應的權矩陣都是單位矩陣。

2 3種極小值條件的比較

附有參數的條件平差法、最小二乘法和NTLS，都是在某一極小值條件下，估計道路圓曲線參數的最佳近似值。它們的極小值條件分別為式(3)、式(4)和式(2)：

(3)

(4)

(5)

通過觀察它們的幾何關系，可以發現，觀測誤差exi、eyi和半徑誤差eri，分別是直角三角形的垂直邊和斜邊，它們滿足勾股定理，即

(6)

(7)

比較式(7)和式(2)，不難發現它們具有一致性，這說明，同附有參數的條件平差法一樣，NTLS的極小值條件具有明確的幾何意義，比最小二乘法定義的極小值條件更合理。

3 NTLS反演道路圓曲線參數的解算

將式(1)變形，得到非線性總體最小二乘平差函數式(8)：

f(ex,ey,a,b,r)=[(x-ex)-a]2+[(y-ey)-b]2-r2

(8)

令a=a0+δa，b=b0+δb，r=r0+δr，對式(8)進行線性化，整理后可得

AE+Bξ-W=0

(9)

式中：

A=[A1,A2]

(10)

(11)

(12)

ξ=[δaδbδr]T

(13)

(14)

用上述符號，可將NTLS平差極小值條件式(2)重新表達為

ETPE=min

(15)

式中：P=I2m，I2m是大小為2m×2m的單位矩陣。

采用拉格朗日乘數法求解NTLS，首先需要構造目標函數，根據式(9)和式(15)，可將該目標函數描述為

F(E,ξ,λ)=ETPE+2λT(AE+Bξ-W)

(16)

式中：λ是拉格朗日乘子。

將式(16)分別對E，ξ和λ求偏導數，并令它們等于0，即

(17)

(18)

(19)

式中：帶波浪線和小帽的符號分別表示最佳預測值和最佳估計值。

對式(17)～式(19)進行整理，可以得到參數修正值和誤差預測值的計算公式，即

(20)

(21)

驗后單位權方差的計算公式為

(22)

4 NTLS反演圓曲線參數算法

Step1：計算參數初值。

Step2：計算參數估計值。

1)計算觀測量和半徑的估計值

3)計算參數修正值和誤差預測值

4)更新參數值

Step3：判斷是否終止迭代。

5 實驗分析

為驗證、測試筆者提出的算法，設計模擬數據(實驗1)和實測數據(實驗2)兩個實驗。

5.1 實驗1

為保證模擬數據盡可能地接近實測數據，按如下規則產生1 000組含有隨機誤差的觀測數據。首先，設置接近實際的圓心坐標和半徑，(a,b)=(436000,32400)，r=700 ，單位m；其次，從180°開始，在圓心角為5°所對應的圓弧上，用參數方程，等間距計算出20個不含有誤差的圓曲線點坐標；最后，給這些精確的坐標值，附加上期望為0，中誤差為0.05 m(方差： 0.002 5 m2)的隨機誤差，模擬1 000次，得到1 000組模擬觀測數據。

分別采用重心坐標法、最小二乘法、附有參數的條件平差法和NTLS對這1 000組數據進行擬合，估計出圓心坐標和半徑，將4種方法每次估計的參數與真值做差，結果如圖1。從圖1可以看出：①4種方法的估計結果存在明顯差異；②相對于其它兩種方法而言，附有參數的條件平差法和NTLS的估計結果更穩定，特別是后者；③NTLS的估計值與真值最為接近；④附有參數的條件平差法估計的圓半徑始終存在明顯偏差。

圖1 估計值與真值之差Fig. 1 Difference between estimated value and truth value

圖2描述了附有參數的條件平差法和NTLS估計的驗后單位權方差值，它們的平均值分別為24.379 7和0.002 7，顯然，后者更接近先驗值。

圖2 驗后單位權方差估計值Fig. 2 Estimated values of posteriori unit weight variance

5.2 實驗2

實測數據實驗，數據來源于文獻[3]，如表1。仍然采用上述4種方法反演道路圓曲線參數，反演結果如表2, 對應的圖形描述如圖3。

表1 GNSS實測道路圓曲線坐標Table 1 GNSS measured road circular curve coordinates m

表2 實驗2參數估計結果Table 2 Parameter estimation results in experiment 2 m

圖3 實測道路圓曲線反演結果Fig. 3 Inversion results of measured road circular curve

從表2可以發現，4種方法的反演結果存在明顯差異，其中附有參數的條件平差法反演的圓曲線半徑明顯小于其余方法，其驗后單位權方差遠大于NTLS，這與模擬計算結果一致?？紤]到道路圓曲線的半徑一般較大，在實驗2中采用重心坐標法和NTLS更為合理。但是，考慮到實驗1的結果，后者比前者不僅穩定性更好，而且更接近真值。因此，綜合考慮，在道路圓曲線參數反演中推薦使用NTLS。

6 結 論

道路圓曲線參數的反演是恢復道路線形參數的關鍵。當采樣點坐標x和y都含有誤差時，同時考慮它們的影響，并直接對它們進行處理，有助于提高參數估計精度，增加平差理論的嚴密性。根據前文的討論，在道路圓曲線參數反演中，可以得出如下結論：

1)NTLS的極小值條件等價于點到圓曲線距離平方和最小條件。

2)NTLS反演道路圓曲線參數，與其余3種方法相比較，不僅穩定性好，而且精度更高。

3)綜合考慮，就筆者討論的4種方法而言，推薦使用NTLS反演道路圓曲線參數。

事實上，不僅觀測數據本身含有粗差，而且一些被錯誤識別的點也屬于粗差，因此采用穩健總體最小二乘估計圓曲線參數其理論更嚴密，這將是我們進一步研究的方向。