max-T合成模糊雙線性關系方程的解集

王玉利, 熊清泉

(四川師范大學 數學與軟件科學學院, 成都 四川 610066)

模糊關系在模糊系統的討論中有著重要的地位,模糊關系方程則是模糊關系研究的主要內容之一.模糊關系方程的求解問題在實際中的應用非常廣泛,所以有不少學者對模糊關系方程求解問題進行了深入研究,也得到了豐富的結論.基于對模糊關系方程的研究成果,部分學者也對雙線性方程的求解及性質做了研究[1-7].從有限到無限、從單位區間[0,1]到完備格都給出了一些結論.1987年,湯服成[1]首先對max-min合成模糊雙線性方程作了詳細論述,并且獲得了方程在[0,1]上的最大解及解的一些性質.之后研究者開始研究max-min以及max-·合成模糊雙線性關系方程.基于湯服成[1]提出的最大解的求法,Li[2]和余布雷等[3]也相繼提出了最大解和最大結果的簡單算法.1991年,李文議[4]討論了一類格上的雙線性方程,分別討論當背景格為有限時,求出了方程的全部解;當背景格為無限時,確定了模糊雙線性方程的最大解.2005年,余布雷等[5]在[0,1]上討論了無限雙線性方程的性質及其解集.之后，何春花等[6]和張琳[8]對解的一些性質作了拓展.在實際中,模糊關系方程可應用到多個領域.因此確定模糊關系方程的解集不僅在理論上,而且在實際應用中同樣重要[9].但一般的max-T合成模糊雙線性方程現有文獻未作研究.本文圍繞[0,1]上max-T合成模糊雙線性方程進行討論,其中T是偽t-模.討論在有限情況下雙線性方程的最大解、極小解的通用形式以及極小解個數和方程的最大解與最大結果的求法.

1 預備知識

為了討論方便,下面給出一些定義和基本結論.假設L=[0,1],I={1,2,,m},J={1,2,,n}.

定義1.1[10]如果L×L→L上的映射T滿足:?a,b,c∈L,

1) 交換律:T(a,b)=T(b,a);

2) 結合律:T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c);

3) 單調性:b≤c?T(a,b)≤T(a,c);

4) 有界性:T(a,1)=a，

則稱T為L上的t-模.

定義1.2[11](i) 如果L上的一個二元算子T滿足?a,b,c∈L和

(T1) T(1,a)=a,T(0,a)=0;

(T2)b≤c?T(a,b)≤T(a,c)，

則稱T為L上的偽t-模.

另外,如果T還滿足下述條件,則稱T分別為無限∨-分配偽t-模和無限∧-分配偽t-模:

(ii) 如果L上的一個二元算子I滿足?a,b,c∈L和

(I1) I(1,b)=b,I(0,b)=1;

(I2)b≤c→I(a,b)≤I(a,c)，

則稱I為L上的一個蘊涵.

另外,如果I還滿足下述條件,則稱I分別為無限∨-分配蘊涵算子和無限∧-分配蘊涵算子:

記T(L)(I(L))為L上所有無限分配的偽t-模T(蘊涵I)構成的集合.如果偽t-模T(蘊涵I)既是無限∨-分配的又是無限∧-分配的,則稱偽t-模T(蘊涵I)是無限分配的.

定義1.3[12]設φ:L×L→L,定義Iφ、Lφ如下：

?a,b∈L, Iφ(a,b)=sup{x∈L:φ(a,x)≤b},

Lφ(a,b)=inf{x∈L:φ(a,x)≥b}.

假定空集的最小上界為0,最大下界為1.

定義1.4[12]設T為有界偏序集(L,≤)上的一個偽t-模,則稱部分映射T(a,·)為極大滿的當且僅當?a∈L,{T(a,x):x∈L}=[0,a].

定義1.5[7]設A=(aij)I×J,B=(bij)I×J,X=(xj)J×1,其中aij,bij,xj∈L,稱

A°X=B°X

(1)

為L上的模糊雙線性方程,其中“°”是max-T合成,T是偽t-模,即

?i∈I.

注1.11) 記X={X:A°X=B°X},稱X為A°X=B°X的解集.顯然X≠?恒成立.事實上,X=0就是方程(1)的一個解.以下討論X≠{0}的情況.

2) 令R={r:A°X=B°X=r,?X∈X}.設X∈X,記A°X=B°X=r,稱r是與X相關的結果.設r∈R,Xr={X:A°X=B°X=r}.

顯然,設r∈R,方程(1)等價于

(2)

下面假定T∈T(L),?a∈L,T(a,·)為極大滿的且T(1,a)=T(a,1)=a,T(0,a)=T(a,0)=0.

引理1.1[13]設a,b∈L,如果a≤b,則

IT(a,b)=1.

引理1.2[13]設a,b∈L,則

{x∈L:T(a,x)≤b}=[0,IT(a,b)].

引理1.3[13]如果a,b∈L且a≥b,則

{x∈L:T(a,x)≥b}=[LT(a,b),1].

引理1.4[13]如果a,b∈L且a≥b,則

sup{T(a,x):T(a,x)≤b,x∈L}=

inf{T(a,x):T(a,x)≥b,x∈L}=b.

引理1.5[13]?a,b∈L,

{x∈L:T(a,x)=b}≠?

當且僅當a≥b.進一步,

{x∈L:T(a,x)=b}=?

或{x∈L:T(a,x)=b}=[LT(a,b),IT(a,b)].

定理1.1設a,b,c∈L,則以下3個條件等價：

1)b≤c?T(a,b)≤T(a,c)；

2) T(a,b∨c)=T(a,b)∨T(a,c)；

3) T(a,b∧c)=T(a,b)∧T(a,c).

證明1)?2) 設a,b,c∈[0,1],因為

b≤c?T(a,b)≤T(a,c),

所以T(a,b)∨T(a,c)=T(a,c)=T(a,b∨c).

2)?1) 由于T(a,b)≤T(a,b)∨T(a,c)=T(a,b∨c),又因為b≤c,所以T(a,b∨c)=T(a,c),則有T(a,b)≤T(a,c).故1)與2)等價.同理可證1)與3)等價.

以下假設A=(aj)j∈J,B=(bj)j∈J.給定r∈R,令IT(A,r)=(IT(aj,r))j∈J,

IT(B,r)=(IT(bj,r))j∈J

和

IT(A,r)∧IT(B,r)=[IT(aj,r)∧IT(bj,r)]j∈J.

證明假設X=(xj)j∈J為(2)式的解,即

證明由于

證明設Xr=(xj)j∈J∈Xr,那么

推論1.2設r∈R,則方程

xj∈[LT(aj,r),IT(aj,r)].

xj∈[LT(aj,r)∨LT(bj,r),IT(aj,r)∧IT(bj,r)],

2 雙線性方程A°X=B°X=r的極小解

下面討論雙線性方程極小解的形式以及極小解的個數.

定義2.1設S為一偏序集P的非空子集,a∈S.若不存在x∈S使x

注2.1由定義2.1,X*∈X是X的極小元當且僅當?X∈X,X≤X*蘊含X=X*.

注2.2顯然r=0時,Xr的極小元為零.下面討論Xr中的非零極小元.

設r∈R{0},Xr=(xj)j∈J∈Xr,記Nr(Xr)={j∈J|T(aj,xj)=r}和

Mr(Xr)={j∈J|T(bj,xj)=r},

把Nr(Xr)和Mr(Xr)簡記為Nr(X)和Mr(X),把Nr(Xr*)和Mr(Xr*)簡記為Nr(X*)和Mr(X*).

定理2.1如果r∈R{0},則Xr都有極小元.

1) 若Nr(X)∩Mr(X)=?,取s∈Nr(X),t∈Mr(X),定義X*(s,t)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

(3)

由引理1.5知T(as,LT(as,r))=r.再由t∈Mr(X)知T(bt,xt)=r,故xt∈[LT(bt,r),IT(bt,r)].又因為Nr(X)∩Mr(X)=?,則t?Nr(X),所以T(at,xt)

r∨[T(at,LT(bt,r))]=r.

由Nr(X)∩Mr(X)=?且t∈Mr(X),所以T(at,xt*)

r=T(as,xs)=T(as,xs*)=r,

即xs∈{x∈L:T(as,x)≥r}.同理有r=T(bt,xt)=T(bt,xt*)=r,即xt∈{x∈L:T(bt,x)≥r}.由于xs*=LT(as,r)=inf{x∈L:T(as,x)≥r}≤xs且xt*=LT(bt,r)=inf{x∈L:T(bt,x)≥r}≤xt,于是Xr≥X*(s,t).因此Xr=X*(s,t),即X*(s,t)是Xr中的極小元.

2) 若Nr(X)∩Mr(X)≠?,取k∈Nr(X)∩Mr(X),定義X*(k)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

(4)

由引理1.5知T(ak,LT(ak,r))=r,又因為k∈Nr(X)∩Mr(X),則T(ak,xk)=T(bk,xk)=r.由引理1.5有xk∈[LT(ak,r),IT(ak,r)]且

xk∈[LT(bk,r),IT(bk,r)],

所以T(bk,LT(ak,r))=r.進一步有

T(ak,LT(ak,r))∨0=r，

=T(bk,LT(ak,r))∨0=r，

即X*(k)∈Xr.設Xr=(xj)j∈J∈Xr且Xr≤X*(k),當j≠k有xj=0.因此僅需證明當j=k時,xk=xk*=LT(ak,r).事實上,

因此r=T(ak,xk)=T(ak,xk*)=r,即xk∈{x∈L:T(ak,x)≥r}.由于

xk*=LT(ak,r)=inf{x∈L:T(ak,x)≥r}≤xk,

于是Xr≥X*(k).因此Xr=X*(k),即X*(k)是Xr中的極小元.

定理2.2如果r∈R{0},則Xr中所有的極小元都有(3)或(4)式的形式.

1) 若Nr(X)∩Mr(X)=?,取s∈Nr(X),t∈Mr(X),定義X*(s,t)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

顯然X*(s,t)∈Xr且X*(s,t)≤Xr.因此由Xr的極小性有X*(s,t)=Xr.

2) 若Nr(X)∩Mr(X)≠?,取k∈Nr(X)∩Mr(X),定義X*(k)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

顯然X*(k)∈Xr且X*(k)≤Xr.因此由Xr的極小性有X*(k)=Xr.

定理2.3如果r∈R{0},則對任意Xr∈Xr,存在極小元X*∈Xr使得X*≤Xr.

證明設Xr=(xj)j∈J∈Xr,則

1) 若Nr(X)∩Mr(X)=?,取s∈Nr(X),t∈Mr(X),定義X*(s,t)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

顯然X*(s,t)∈Xr,由定理2.2知X*(s,t)是Xr中的極小元.下面僅需證明X*(s,t)≤Xr.當j≠s,t有xj*=0,因此僅需證明當j=s時,

xs≥xs*=LT(as,r);

當j=t時,xt≥xt*=LT(bt,r).如果j=s,由T(as,xs)=r,即xs∈{x∈L:T(aj,xj)≥r}.因此xs*=LT(as,r)=inf{x∈L:T(aj,xj)≥r}≤xs.同理如果j=t時,xt*≤xt,即證得X*(s,t)≤Xr.

2) 若Nr(X)∩Mr(X)≠?,取k∈Nr(X)∩Mr(X),定義X*(k)=(xj*)j∈J,其中xj*滿足

顯然X*(k)∈Xr,由定理2.2知X*(k)是Xr中的極小元.下面僅需證明X*(k)≤Xr.當j≠k有xj*=0,因此僅需證明當j=k時,xk≥xk*=LT(ak,r).如果j=k,由T(ak,xk)=r,即xk∈{x∈L:T(aj,xj)≥r}.因此xk*=LT(ak,r)=inf{x∈L:T(aj,xj)≥r}≤xk,即證得X*(k)≤Xr.

定理2.41) 若Nr(X*)∩Mr(X*)=?,則(2)式的極小解個數為|Nr(X*)||Mr(X*)|.

根據排列組合共有|Nr(X*)||Mr(X*)|種情況,所以極小解的個數為|Nr(X*)||Mr(X*)|.

2) 不妨假設

Nr(X*)∩Mr(X*)={j1,,jk},

即有{j1,,jk}?J使T(aji,xji)=T(bji,xji)=r,那么極小解X*=(xj*)j∈J在xji處取LT(aji,r),ji∈{j1,,jk},因此有k種取法.在J{j1,,jk}中,與1)同理.所以當Nr(X*)∩Nr(X*)≠?時,方程A°X=B°X=r的極小解個數為

例2.2設A=(1,0.8,0.5,0.3),B=(0.4,0.8,0.3,0.5),r=0.5,求方程A°X=B°X=r的極小解與解集,其中“°”表示“max-Lukasiewicz”合成,即TL(x,y)=0∨(x+y-1).

例2.3設A=(0.6,0.2,0.7),B=(0.9,0.7,0.6),r=0.6,求方程A°X=B°X=r的極小解與解集,其中“°”表示“max-min”合成.

所以方程A°X=B°X=r的極小解個數為2,全部極小解為v1=(0.6,0,0)T,v2=(0,0,0.6)T.從而由推論1.3知方程的解集Xr={(0.6,[0,0.6],[0,0.6])T,([0,0.6],[0,0.6],0.6)T}.

3 雙線性方程A°X=B°X的最大結果與其對應的最大解

由推論1.2知,若方程(2)有解,則一定有最大解.記r*是R中的最大元,X*是Xr中的最大元.

定理3.1A°X*=B°X*=r*.

證明因為r*∈R,所以存在X∈X使得A°X=B°X=r*.由定理1.4知X≤X*,則有A°X*≥A°X=r*,B°X*≥B°X=r*,即A°X*=B°X*≥r*.又由r*的最大性可知A°X*=B°X*=r*.

證明必要性

則

則

由推論1.2知X(1)=X(a)∧X(b)是方程的最大解.

(5)

(6)

下面給出方程(1)最大結果與其對應的最大解的算法步驟.

例3.1求例2.1中A°X=B°X的最大結果與其對應的最大解.

例3.2求例2.2中A°X=B°X的最大結果與其對應的最大解.

例3.3設A=(0.7,0.2,0.1,0.3),B=(0.9,0.6,0.3,0.2).求方程A°X=B°X的最大結果與其對應的最大解,其中“°”表示“max-product”合成.

X(3)=(IT(0.7,0.3)∧IT(0.9,0.3),

(IT(0.2,0.3)∧IT(0.6,0.3),1,1)T=

(1/3,1/2,1,1)T.