基于非對稱阿基米德Copula模型的投資組合風(fēng)險度量

王 沁, 呂王勇

(1. 西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031;2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川成都 610066)

自20世紀(jì)90年代以來,隨著金融全球化、一體化的進(jìn)程,國際金融領(lǐng)域已發(fā)生了多次的金融危機,如歐洲匯率體系危機、東南亞貨幣危機、美國次貸危機、俄羅斯盧布危機等,這迫使人們不得不更加重視對金融風(fēng)險的管理.由于風(fēng)險價值(VaR)能夠在一定置信水平下,把金融資產(chǎn)組合在一定時期內(nèi)最大可能損失定量化,是一種既能處理非線性問題又能概括證券組合市場風(fēng)險的工具,成為度量金融風(fēng)險的一種普遍使用的工具.

作為多元統(tǒng)計分析以及相關(guān)性分析的工具,Copula理論很自然地被引入金融風(fēng)險管理的研究中.利用Copula-GARCH模型來計算投資組合的風(fēng)險價值,不僅可以描述資產(chǎn)收益率尖峰、厚尾的分布特征和異方差波動的特點,還可以捕捉資產(chǎn)之間的非線性相關(guān)關(guān)系.較先將Copula引入金融風(fēng)險管理的是Embrechts等[1-3]引入了動態(tài)Copula來計算VaR,隨后許多學(xué)者對這一領(lǐng)域進(jìn)行了更加深入的研究[4-8].針對國內(nèi)金融市場,國內(nèi)學(xué)者也對Copula理論在金融風(fēng)險投資組合的研究方面做了一些嘗試.吳振翔等[9]基于阿基米德Copula對組合風(fēng)險進(jìn)行了測度與研究;張金清等[10]從擬合優(yōu)度出發(fā),基于Copula模型研究資產(chǎn)組合的集成風(fēng)險;周孝華等[11]結(jié)合SV模型與GPD分布,利用Copula模型分析了投資組合風(fēng)險；李明等[12]基于Clayton Copula度量了金融風(fēng)險；杜子平等[13]從混合藤Copula模型,對資產(chǎn)組合VaR計算精度方面進(jìn)行了比較.總之,Copula模型簡單易操作,相比于傳統(tǒng)的金融風(fēng)險管理模型,有利于測量風(fēng)險、將風(fēng)險定量化,更具有實用性和參考價值.

在計算二維投資組合的VaR值時,一般都選擇Clayton-Copula、Gumbel-Copula和Frank-Copula等3類阿基米德Copula來反映投資組合變量之間的相關(guān)特征.由于Clayton-Copula用于描述變量在下尾處具有較強的正相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象,Gumbel-Copula只能用于描述變量間上尾高下尾低的非負(fù)相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象,Frank-Copula用于描述變量間的負(fù)相關(guān)和正相關(guān)關(guān)系,但只能捕捉變量間的對稱的上下尾部相關(guān)性；所以,這3類阿基米德Copula存在缺陷,而且所有的二元阿基米德Copula都具有結(jié)合性和對稱性的特點.基于此,本文對阿基米德Copula進(jìn)行改進(jìn),引入幾何平均和加權(quán)平均的結(jié)合,構(gòu)造非對稱的加權(quán)混合阿基米德Copula模型來描述投資組合變量之間的相關(guān)特征,并以此為基礎(chǔ)結(jié)合蒙特卡洛模擬方法計算二維投資組合的VaR值,與已有的VaR計算方法進(jìn)行比較，驗證其精確性.

1 各類Copula函數(shù)的基本知識

二元正態(tài)Copula模型為

其中ρ為線性相關(guān)系數(shù),|ρ|<1.二元正態(tài)Copula模型的上尾相依指標(biāo)、下尾相依指標(biāo)[2]分別為

二維T-Copula函數(shù)為

其中ρ為線性相關(guān)系數(shù),|ρ|<1.二維T-Copula模型的上尾相依指標(biāo)、下尾相依指標(biāo)[2]分別為：

二維Clayton-Copula函數(shù)為

Cc(u,v,α)=φ[-1](φ(u)+φ(v))=

其中α∈[-1,){0}.二維Clayton-Copula模型是阿基米德Copula模型[2],其生成元上尾相依指標(biāo)、下尾相依指標(biāo)分別為：

二維Frank-Copula函數(shù)為

其中α≠0.二維Frank-Copula模型是阿基米德Copula模型,其生成元上尾相依指標(biāo)、下尾相依指標(biāo)[2]分別為

2個Copula函數(shù)的加權(quán)平均仍是Copula函數(shù)[2],即如果C1(u,v,θ1)和C2(u,v,θ2)是2個不同的Copula,那么

C(u,v)=αC1(u,v,θ1)+(1-α)C2(u,v,θ2)

也是Copula函數(shù).如果C1(u,v,θ1)是正態(tài)Copula函數(shù),C2(u,v,θ2)是阿基米德Copula函數(shù),那么它們的加權(quán)平均Copula函數(shù)具有對稱性的特點,而且上尾相依和下尾相依指標(biāo)僅僅由阿基米德Copula函數(shù)決定.如果C1(u,v,θ1)是T-Copula函數(shù),C2(u,v,θ2)是阿基米德Copula函數(shù),那么它們的加權(quán)平均Copula函數(shù)也具有對稱性的特點.如果C1(u,v,θ1)和C2(u,v,θ2)是阿基米德Copula函數(shù),那么它們的加權(quán)平均Copula函數(shù)具有結(jié)合性和對稱性的特點.結(jié)合性和對稱性的特點并不符合金融市場變量的相依關(guān)系.

2 非對稱的加權(quán)混合阿基米德Copula模型

為了克服這類加權(quán)平均Copula函數(shù)結(jié)合性和對稱性的特點,引入幾何平均和加權(quán)平均的結(jié)合,構(gòu)造非對稱的加權(quán)混合阿基米德Copula模型(簡記為AWH阿基米德Copula模型),該模型為

CAWH(u,v)=αCA1(u,v,β1)+

(1-α)u1-λ1v1-λ2CA2(uλ1,vλ2,β2),

(1)

其中α∈(0,1]是加權(quán)平均的系數(shù),體現(xiàn)了2類Copula模型相互混合的特點.

λ1∈[0,1],λ2∈[0,1]

是幾何平均的權(quán)重,體現(xiàn)了非對稱的特點.

由于AWH阿基米德Copula模型是加權(quán)平均,具有凸結(jié)合的特點,CA1(u,v,β1)可以選擇阿基米德Copula,也可以選擇橢圓類Copula等各種類型的Copula.為了分別反映投資組合變量在上尾和下尾具有不同的相關(guān)關(guān)系,將BB1-Copula(又稱廣義Clayton-Copula[14])作為CA1(u,v,β1),其表達(dá)式為

(2)

其中,參數(shù)

β1={(θ,δ)|θ>0,δ>1}.

BB1-Copula模型實際是一類雙參數(shù)的阿基米德Copula模型,其生成元為

φδ(t)=[(t-θ-1)]δ, δ>1,θ>0.

(3)

下尾相關(guān)關(guān)系

上尾相關(guān)關(guān)系

定理1[15]當(dāng)λ1∈[0,1],λ2∈[0,1]時,CA2(u,v,β2)是阿基米德Copula模型,那么

CAS(u,v)=u1-λ1v1-λ2CA2(uλ1,vλ2,β2)

是一類Copula模型.證明參見文獻(xiàn)[15].

當(dāng)λ1≠λ2時，

CAS(u,v)≠CAS(v,u).

(4)

因此,當(dāng)CA2(u,v,β2)是阿基米德Copula模型,λ1∈[0,1],λ2∈[0,1],CAS(u,v)是一類由阿基米德Copula衍生出來的非對稱的Copula.當(dāng)λ1=λ2=1,CAS(u,v)為一類阿基米德Copula;當(dāng)λ1=λ2=0,CAS(u,v)為相互獨立的乘積Copula.當(dāng)λ2+λ1≤1時,

即當(dāng)λ2+λ1≤1時,CAS(u,v)不能用于描述在下尾處具有較強相關(guān)關(guān)系的現(xiàn)象.

AWH阿基米德Copula模型由CA1(u,v,β1)與CAS(u,v)的凸結(jié)合構(gòu)成,其中CA1(u,v,β1)描述了二維變量之間上下尾部相關(guān)性,CAS(u,v)描述了二維變量之間不對稱的特點,所以,通過幾何平均和加權(quán)平均的結(jié)合,AWH阿基米德Copula模型非常符合金融變量之間的相依特征.

3 基于非對稱阿基米德Copula模型仿真計算VaR

風(fēng)險測量方法VaR在監(jiān)管等領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用,成為金融市場風(fēng)險測量指標(biāo)的主流.確切地說,VaR可表示為

Prob(ΔP≤VaR)=α，

其中Prob表示資產(chǎn)的損失小于可能損失上限VaR的概率；ΔP表示證券組合在持有期Δt內(nèi)的損失；α表示風(fēng)險測量的置信水平.假設(shè)金融資產(chǎn)組合有2種資產(chǎn)X、Y,其收益為x、y.組合中它們所占的比例為ω、1-ω,2種金融資產(chǎn)收益的Copula函數(shù)為C(u,v),則VaR可以利用下式來計算

P(ΔP≤VaR)=P(ω·x+(1-ω)·y≤VaR)=

(5)

r(t)=μ+ε(t),

ε(t)=h(t)1/2e(t),

(6)

其中,w>0,αi≥0,i=1,L,q,βi≥0,i=1,L,p,ε(t)為獨立同分布的殘差序列,Eε(t)=0,Dε(t)=1.當(dāng)q=p=1,e(t)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,稱為GARCH(1,1)-Normal模型.當(dāng)q=p=1,e(t)服從標(biāo)準(zhǔn)T分布,稱為GARCH(1,1)-t模型.當(dāng)q=p=1,e(t)服從廣義誤差分布,稱為GARCH(1,1)-GED模型.

根據(jù)Copula函數(shù)計算組合VaR表達(dá)式(5)的解析表達(dá)不易求出.因此,實際研究中,通常結(jié)合Mente Carlo與Copula函數(shù)法計算VaR,具體計算步驟如下：

Step 1:邊緣分布建模.建立描述資產(chǎn)X和Y收益率序列的邊緣分布的GARCH(p,q)模型,通過GARCH(p,q)模型計算邊緣分布函數(shù)FX(·)和GY(·),并將邊緣分布轉(zhuǎn)化為均勻分布.

Step 2:AWH阿基米德Copula模型參數(shù)的估計.基于利用均勻分布的歷史數(shù)據(jù),利用極大似然估計Copula模型的參數(shù).AWH阿基米德Copula模型的對數(shù)似然函數(shù)可表示為

lng(ynt|θ)+lnc(F(x|θ),G(y|θ)),

(7)

其中

根據(jù)極大似然估計的性質(zhì),參數(shù)向量θ=(β1,β2,α,λ1,λ2)滿足

由上面的約束條件得到AWH阿基米德Copula模型的權(quán)重(α,λ1,λ2)和Copula參數(shù)(β1,β2)的極大似然估計.

Step 3:模型選擇：AWH阿基米德Copula模型中的CA2(u,v,β2)可以選擇不同的阿基米德Copula模型,所以,需要進(jìn)行模型的選擇,確定CA2(u,v,β2)是哪一個阿基米德Copula模型.本文采用AIC值最小原理進(jìn)行模型的選擇.AIC值的計算公式為

AIC=-2ln(模型的極大似然度)+

2(模型的獨立參數(shù)個數(shù)).

Step 4：隨機模擬產(chǎn)生服從AWH阿基米德Copula模型的隨機數(shù).AWH阿基米德Copula模型的Monte Carlo仿真通過條件采樣來實現(xiàn)的[2].

1) 產(chǎn)生2個相互獨立的服從[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機變量(u1,w)；

2) 分別計算

和

的偽逆函數(shù),并將隨機變量w代入得

實現(xiàn)條件采樣.那么,(u1,v1)和(u1,v2)為服從CA1(u,v,β1)和CA2(u,v,β2)的二維隨機變量的隨機數(shù).

3) 產(chǎn)生2個相互獨立的服從[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機變量(u3,v3),然后計算

那么,(u4,v4)為服從

CAS(u,v)=u1-λ1v1-λ2CA2(uλ1,vλ2,β2)

的隨機數(shù).

4) 計算

(u,v)=α×(u1,v1)+(1-α)×(u4,v4)

得ASH阿基米德Copula模型的Monte Carlo仿真數(shù)據(jù).

Step 5：計算投資組合的收益率L的值.根據(jù)各資產(chǎn)收益的GARCH(p,q)模型,計算與u、v對應(yīng)的資產(chǎn)收益率x、y的值

給定資產(chǎn)x在投資組合的權(quán)重ω,計算投資組合的收益率L的值；L=ωx+(1-ω)y.由此得到投資組合未來收益的一個可能情形.

Step 6：計算VaR值.重復(fù)Step4和Step5m次,得到已定投資組合未來收益的m個可能情形,由此可以得到其經(jīng)驗分布,對于給定的置信水平α,由α水平分位數(shù)即可得到投資組合的VaR值,即Prob(ΔP≤VaR)=α.

LLR=-2ln[(1-p*)T-Np*N]+

2ln[(1-N/T)T-N(N/T)N].

(8)

在原假設(shè)p=p*的條件下,統(tǒng)計量LLR服從自由度為1的χ2分布.若LLR≤χ2(1),接受原假設(shè),即可以認(rèn)為被檢驗?zāi)Ｐ涂梢院芎玫臄M合樣本數(shù)據(jù)；相反地,若LLR>χ2(1),拒絕原假設(shè),則說明被檢驗?zāi)Ｐ筒⒉荒芎芎玫臄M合樣本數(shù)據(jù).

4 實證分析

選擇大連圣亞、三特索道2只旅游行業(yè)的股票,考察旅游業(yè)作為金融投資組合的風(fēng)險價值.時間跨度為2013年01月04日至2014年12月31日,構(gòu)造樣本數(shù)據(jù)對(xi,yi)：

1) 基本統(tǒng)計特征.大連圣亞和三特索道各自收益率的線圖及描述性統(tǒng)計結(jié)果如圖1和表1.

圖 1 大連圣亞和三特索道各自收益率的線圖

樣本均值樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本偏度樣本峰度JB統(tǒng)計量服從正態(tài)分布大連圣亞(DL)0.000 8240.024 1200.483 9857.914 781497.658 8不服從三特索道(ST)0.001 0250.020 5400.251 3496.034 389187.627 7不服從

從圖1和表1中可以看出大連圣亞和三特索道的平均收益率差異不大,它們的偏度都大于零,峰度都大于3.2個收益率序列表現(xiàn)出顯著的尖峰、厚尾,不服從正態(tài)分布的統(tǒng)計特征,而且存在時變方差特征.因此,引入GARCH類模型來描述其波動特征.

2) 邊緣建模.分別利用GARCH(1,1)-Normal、GARCH(1,1)-t和GARCH(1,1)-GED模型對大連圣亞收益率、三特索道的收益率進(jìn)行擬合,相應(yīng)的參數(shù)和AIC值如表2.

表 2 大連圣亞和三特索道收益率的各類GARCH模型

通過AIC值比較以及參數(shù)的顯著性檢驗可知,GARCH(1,1)-t模型可以較好地描述各個收益率序列的波動.利用所得模型的結(jié)果分別對原序列進(jìn)行概率積分變換,將隨機變量(X,Y)的邊緣分布轉(zhuǎn)化為服從(0,1)均勻分布,變換后的變量記為(U,V).圖2和表3是運用Q-Q檢驗和K-S檢驗方法檢驗的結(jié)果.

圖 2 GARCH轉(zhuǎn)化后的Q-Q檢驗圖

大連圣亞收益率變換后序列X1三特索道收益率變換后序列Y1K-S統(tǒng)計量概率值K-S統(tǒng)計量概率值0.026 20.891 40.033 20.727 9

表3的K-S統(tǒng)計量與概率值表明,對原序列進(jìn)行概率積分變換后的序列都服從(0,1)均勻分布,這進(jìn)一步說明GARCH(1,1)-t模型可以較好地描述各個收益率序列的波動.

3) 參數(shù)估計及Copula函數(shù)的選取.利用組合序列(ut,vt)結(jié)合 Matlab軟件對凸結(jié)合構(gòu)成的混合Copula模型

C(u1,u2)=α1Ck1(u1,u2,θk1)+

(1-α1)Ck2(u1,u2,θk2)

進(jìn)行參數(shù)進(jìn)行估計,結(jié)果如表4.

從表4可以看出,Clayton-Copula與Frank-Copula所構(gòu)成的混合Copula模型的AIC值最小,所以,選用Clayton-Copula與BB1-Copula的幾何平均與加權(quán)平均結(jié)合AWH阿基米德Copula模型,以及Frank-Copula與BB1-Copula的幾何平均與加權(quán)平均結(jié)合AWH阿基米德Copula模型進(jìn)行分析與研究.

表 4 混合Copula模型參數(shù)估計及AIC值

4) AWH阿基米德Copula模型的參數(shù)估計.利用組合序列(ut,vt)結(jié)合Matlab軟件對AWH阿基米德Copula模型

CAWH(u,v)=αCA1(u,v,β1)+

(1-α)u1-λ1v1-λ2CA2(uλ1,vλ2,β2)

進(jìn)行參數(shù)進(jìn)行估計,結(jié)果如表5.

表 5 ASH阿基米德Copula模型的參數(shù)估計及AIC值

從表5可以看出,Clayton-Copula與BB1的幾何平均與加權(quán)平均結(jié)合ASH阿基米德Copula模型的AIC值比較小,而且權(quán)重λ1≠λ2,所以,該模型捕捉了數(shù)據(jù)的非對稱特點,以及上尾與下尾的相依機制.

5) 根據(jù)得到的ASH阿基米德Copula模型,運用Copula模型與Monte Carlo仿真.首先產(chǎn)生476個服從參數(shù)為0.416 15和1.273 62的BB1-Copula模型的隨機數(shù)列(u1,v1),產(chǎn)生476個服從參數(shù)為0.642 42的Clayton-Copula模型的隨機數(shù)列(u1,v2),產(chǎn)生476個服從參數(shù)為獨立同標(biāo)準(zhǔn)均勻分布的隨機數(shù)列(u3,v3),計算

則(u4,v4)為服從

CAS(u,v)=u1-λ1v1-λ2CA2(uλ1,vλ2,β2)

的隨機數(shù).令

(u,v)=α(u1,v1)+(1-α)(u4,v4),

得AWH阿基米德Copula模型的Monte Carlo仿真數(shù)據(jù).

6) 利用Monte Carlo仿真數(shù)據(jù)(u,v),結(jié)合邊緣Garch-t(1,1)模型GARCH求得其原函數(shù)序列(x′,y′),即(x′,y′)為由Monte Carlo模擬得到的收益率序列.為了簡化計算,本文取2支股票的持有權(quán)重各為0.5,則可以得出投資組合在其持有期(t-1,t]內(nèi)的組合損失率為

表 6 實際序列與仿真序列的統(tǒng)計量

由表6中實際序列與仿真序列統(tǒng)計量對比可以看出,原始數(shù)據(jù)的指標(biāo)與模擬數(shù)據(jù)基本保持一致.因此,Clayton-Copula與BB1-Copula的AWH阿基米德Copula模型可以很好的刻畫實際收益率序列,可以運用此模型計算單個資產(chǎn)以及投資組合VaR的值.

7) 選定置信度為1-α=95%,利用仿真序列預(yù)測下一時刻2支股票及其投資組合的VaR結(jié)果如表7.

表 7 單支股票及其投資組合VaR

可以看出,AWH阿基米德Copula仿真序列的VaR為0.025 18,Clayton-Copula與Frank-Copula的混合Copula仿真序列的VaR為0.027 35,也就是說由于對稱性的特點,Clayton-Copula與Frank-Copula的混合Copula存在低估VaR的特征.

2ln[(1-N/T)T-N(N/T)N].

經(jīng)計算,

相對于Clayton-Copula與Frank-Copula的混合Copula,其失敗次數(shù)N=24,相應(yīng)的

此結(jié)果充分說明計算出的VaR具有較好的準(zhǔn)確性及有效性,進(jìn)而說明根據(jù)原始收益率估計得到的Copula模型可以很好地刻畫實際收益率序列.

5 結(jié)論與展望

1) 本文從加權(quán)平均和幾何平均的角度,構(gòu)造了非對稱的加權(quán)混合阿基米德Copula模型,體現(xiàn)了2類阿基米德Copula模型相互混合的特點,較為準(zhǔn)確地描述變量之間非對稱和尾部相關(guān)性.

2) 通過比較非對稱的加權(quán)混合阿基米德Copula模型,與凸結(jié)合的混合Copula模型所得的AIC值,可以看出,非對稱的加權(quán)混合阿基米德Copula模型能更細(xì)致描述不同金融資產(chǎn)之間的非線性的、非正態(tài)的、尾部風(fēng)險不對稱的相依關(guān)系,為市場參與者,尤其是監(jiān)管機構(gòu)、投資機構(gòu)等市場主體提供了防范和抵御極端金融風(fēng)險的理論方法.

3) 本文利用非對稱的加權(quán)混合阿基米德Copula模型對金融投資組合的風(fēng)險價值進(jìn)行了分析,實證結(jié)果顯示Clayton-Copula與Frank-Copula的混合Copula模型的風(fēng)險價值過低,而基于非對稱的加權(quán)混合阿基米德Copula模型保證了隨機變量之間非對稱特性,具有較好的準(zhǔn)確性及有效性.