張量廣義特征值的新包含域

何 軍, 劉衍民

(遵義師范學院 數學學院， 貴州 遵義 563006)

1 預備知識

張量特征值問題在優化、圖像處理和高階馬爾科夫鏈等許多科學領域中都具有重要應用[1-12].張量廣義特征值[13]是矩陣廣義特征值的推廣.

令A=(ai1i2im)，ai1i2im∈C(復數集).下面給出與本文相關的幾個定義.

定義1[1]設A∈C[m,n](m階n維)，若存在非零向量x∈Cn和數λ∈C使得

Axm-1=λx[m-1]，

其中，n維向量Axm-1和x[m-1]定義如下：

則稱λ為張量A的一個特征值，x為張量A的屬于λ的特征向量.如果向量x是實向量，則稱特征值λ為張量A的H-特征值，x為屬于λ的H-特征向量.

一個m階n維張量A的行列式det(A)可以看成齊次非線性方程組Axm-1=0的解[1].設A∈C[m,n]，B∈C[m,n]，α∈C，β∈C，如果

det(αA-βB)≠0，

則稱{A,B}為一個正則張量對；如果

det(αA-βB)=0，

則稱{A,B}為奇異的張量對.

定義2[13]設A∈C[m,n]，B∈C[m,n]，若存在非零向量x∈Cn和數α∈C，β∈C使得

βAxm-1=αBx[m-1]，

則稱(α,β)為正則張量對{A,B}的一個特征值，x為其對應的特征向量.

利用張量的無窮大范數，Ding等[13]給出了張量廣義特征值的蓋爾圓盤定理.

引理1[13]設{A,B}是一個正則張量對，(aii,bii)≠(0,0)，i=1,2,,n，則

(1)

其中，λ(A,B)表示正則張量對{A,B}的譜，

Di(A,B):={(α,β):|βaii-αbii|≤

本文利用張量廣義特征值的性質，給出了張量廣義特征值的新包含域.同時把本文得到的新包含域通過理論推導以及數值例子與文獻[13]中的結果(1)作比較，說明本文結果優于文獻[13]中的結果(1).

2 主要結果

令

|βaijj-αbijj|，

可得張量廣義特征值的新包含域(定理1).

定理1設{A,B}是一個正則張量對，(aii,bii)≠(0,0)，i=1,2,,n,則

(2)

其中

Δi,j(A,B):={(α,β):(|βaii-αbii|-

|βaijj-αbijj|Rj(A,B)}.

證明設非零向量x∈Cn是正則張量對{A,B}的特征值(α,β)對應的特征向量，即

βAxm-1=αBx[m-1].

(3)

令|xp|≥|xq|≥max{|xi|:i∈N,i≠p,q}，N={1,2,,n}，由(3)式可得

在(4)式兩邊同時取絕對值有

|βapp-αbpp||xp|m-1≤

|xi2||xim|，

即

|βapp-αbpp||xp|m-1≤

|βapqq-αbpqq||xq|m-1.

(5)

情形1當xq=0時，由(5)式可得

此時顯然有

(α,β)∈Δ(A,B).

情形2當xq≠0時，有

|βaqq-αbqq||xq|m-1≤

由(5)和(6)式可得

|βapqq-αbpqq|Rq(A,B).

證畢.

令N={1,2,,n}，S是N的一個非空真子集，則可得張量廣義特征值的另外一個新包含域.

定理2設{A,B}是一個正則張量對，(aii,bii)≠(0,0)，i=1,2,,n,則

λ(A,B)∈ΔS(A,B)=

證明設非零向量x∈Cn是正則張量對{A,B}的特征值(α,β)對應的特征向量，即

βAxm-1=αBx[m-1]，

(7)

令

下面分3種情形進行討論.

情形1如果xpxq≠0，不失一般性，設

|xp|≥|xq|，

則有

|βapp-αbpp||xp|m-1≤

|βapqq-αbpqq||xq|m-1，

(8)

且有

|βaqq-αbqq||xq|m-1≤

由(8)和(9)式可得

|βapqq-αbpqq|Rq(A,B),

即有

(α,β)∈ΔS(A,B).

情形2如果xpxq=0，不失一般性，設

|xp|≥|xq|=0,

由(8)式可得

即有

(α,β)∈ΔS(A,B).

證畢.

定理3設{A,B}是一個正則張量對，(aii,bii)≠(0,0)，i=1,2,,n，n≥2,則

ΔS(A,B)?Δ(A,B)?D(A,B).

證明顯然可得

ΔS(A,B)?Δ(A,B).

下面證明

Δ(A,B)?D(A,B).

由定理1有，存在i≠j，使得

(α,β)∈Δi,j(A,B),

即

|βaijj-αbijj|Rj(A,B).

情形1若

|βaijj-αbijj|Rj(A,B)=0，

則有

βajj-αbjj=0，

或者

即有

(α,β)∈D(A,B).

情形2若

|βaijj-αbijj|Rj(A,B)≠0，

則有

即

或者

也即

(α,β)∈Di(A,B),

或者

(α,β)∈Dj(A,B),

即有

(α,β)∈D(A,B).

證畢.

3 數值例子

下面用數值例子來說明結果的有效性.

設A∈R[3,2]，B∈R[3,2]且

a111=1,a121=2,a211=3,

a221=4,a112=5,a122=6,

a212=7,a222=0,

b111=1,b222=2,

那么張量B是非奇異的，即正則張量對{A,B}的特征值(α,β)中的β≠0，令λ=α/β，由Matlab的工具箱TenEig[14]可得正則張量對{A,B}的譜

λ(A,B)={-3.660 6+2.032 9i,

-0.488 4+0.000 0i,9.809 6+0.000 0i,

9.809 6-0.000 0i}.

由圖1可以看出，定理1的結果比引理1[13]的結果好.

圖 1 D(A,B)(實線)對比Δ(A,B)(虛線)(λ=α/β)