序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子

梅禮華， 陳滋利

(1. 蘭州財經大學 信息工程學院, 甘肅 蘭州 730020; 2. 西南交通大學 數學學院, 四川 成都 611756)

首先根據文獻[2]介紹2種重要的集合：

本文中的E′表示Banach格E的拓撲共軛空間，(F′)+表示Banach格F的拓撲共軛空間的正部，即(F′)+：={f∈F′:f≥0}.AL空間是指Banach格E的正部中的向量x和y，x∧y=0滿足‖x+y‖=‖x‖+‖y‖，AM空間指Banach格E的正部中的向量x、y，x∧y=0滿足‖x∨y‖=max{‖x‖,‖y‖}.L(E,F)表示全體從Banach格E到Banach格F的線性算子，本文所涉及其他的未經解釋的Banach格以及正算子理論中的一些概念、符號及術語詳見本文文獻[3-4].

1 主要結論

定義1.1一個算子T:E→F稱為序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，如果T′把F′中的序有界集A映成E′中的幾乎(L)集，即T′(A)是幾乎(L)集.

根據文獻[1]中定理1.5可得如下定理.

定理1.2設E和F是2個Banach格，則下列條件等價：

1)T是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子.

定理1.3設E、F和G是3個Banach格，則:

1) 所有序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子的全體是L(E,F)的范數閉的向量子空間;

2)T:F→G是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，S:E→F保不交算子，那么T°S是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子;

3)T:F→G是序有界算子，S:E→F是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，那么T°S是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子.

|(S+T)(xn)|≤|S(xn)|+|T(xn)|,

f(|T(xn)|)≤

f(|(T-Tn)(xn)|+|Tn(xn)|)≤

f(|(T-Tn)(xn)|)+f(|Tn(xn)|)≤

‖f‖·‖T-Tn‖·‖xn‖+f(|Tn(xn)|).

而

‖Tn-T‖→0， f(|Tn(xn)|)→0，

所以f(|T(xn)|)→0，即T也是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子.

由于T是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，故有

3) 因為T是序有界算子，由文獻[5]中的定理1.73有T′是序有界的，?f∈(G′)+,有T′[-f,f]是序有界集，又因為S是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，則(T°S)′[-f,f]=S′T′[-f,f]是幾乎(L)集，所以T°S是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子.

定理1.4設E和F是2個Banach格，T:E→F是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，如果F有正的schur性質，那么T是幾乎Dunford-Pettis算子.

定理1.5設E和F是2個Banach格，如果下列條件之一成立，那么T:E→F是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子.

1)T是序有界的.

2)T是保不交的.

定理1.6設E和F是2個Banach格，如果E是有單位元的AM空間且T:E→F，則下列條件等價：

1)T是序弱緊算子;

2)T是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子.

因為T是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，那么

故得‖T(xn)‖→0.

一個算子T:E→X稱為AM緊算子，如果對任意的x∈E+,有T[-x,x]是X中的相對緊集，根據定理1.6和文獻[6]中的性質2.7得到下面推論.

推論1.7設E和F是2個Banach格，T:E→F是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，如果Banach格E′是離散的，那么T是AM緊算子.

由于(L)集是幾乎(L)集，但是幾乎(L)集不一定是(L)集，例如L1[0,1]的閉單位球BL1[0,1]是幾乎(L)集，但不是(L)集，所以序(L)-Dunford-Pettis算子是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，但是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子不一定是序(L)-Dunford-Pettis算子，就有下面的定理.

定理1.8設E和F是2個Banach格，T:E→F是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，如果Banach格E的格運算是弱序列連續的，那么T是序(L)-Dunford-Pettis算子.

證明設A是F′中的序有界集，因為T是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，那么T′(A)是幾乎(L)集，考慮算子

S:E→l1,S(x)=fn(x),

|fn(xn)|=|S(xn)|≤‖S(xn)‖→0.

根據文獻[2]中的定理1.1可得T′(A)是(L)集，所以T是序(L)-Dunford-Pettis算子.

定理1.9設E和F是2個Banach格，0≤S≤T,T:E→F是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子，那么S是序幾乎(L)-Dunford-Pettis算子.