帶有記憶核的黏彈性方程解的能量衰減估計(jì)

李 娜, 蒲志林

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

本文考慮以下帶有記憶項(xiàng)的黏彈性方程的柯西問題

(1)

其中,u0和u1是給定的初始函數(shù),g是定義在Rn上正的非遞增函數(shù),g稱為記憶核.這類問題出現(xiàn)在黏彈性問題中,特別是帶有衰減記憶的熱力學(xué)材料中.Coleman等[1-2]早期工作中都有涉及到這類問題.

許多文獻(xiàn)研究了在有界區(qū)域上的此類問題的處理.大致上,這類問題可以概述為,當(dāng)記憶函數(shù)g是指數(shù)(多項(xiàng)式)衰減,則解呈指數(shù)(多項(xiàng)式)衰減.然而在之前所有的工作中,關(guān)于(非負(fù))記憶核都有如下的假設(shè)：

g(0)>0,g′(t)≤-γg(t), ?t≥0,

(2)

其中γ>0.上述假設(shè)條件太嚴(yán)格,已有許多文獻(xiàn)討論放寬這一假設(shè),例如文獻(xiàn)[3-5].特別地,當(dāng)g(0)>0,g′(t)+γg(t)≥0時(shí),其中t≥0,γ>0且在[g′(t)+γg(t)]eαt∈L1(0,∞),α>0條件下證明了當(dāng)時(shí)間無限大時(shí),方程的解呈指數(shù)衰減到零.在這個(gè)假設(shè)中,g′(t)可以取非負(fù)值,即g(t)是振蕩函數(shù).在Rn空間中,對(duì)g的一階二階導(dǎo)數(shù)的進(jìn)一步規(guī)定下,Noz等[6]已經(jīng)證明了解呈多項(xiàng)式衰減,且記憶函數(shù)g可以取負(fù)值.

本文的目的是研究方程(1)解的漸近性.基于文獻(xiàn)[4],將有界區(qū)域擴(kuò)展到Rn空間中,從而得到衰減結(jié)果.值得注意的是本文中,如Poincaré不等式、嵌入不等式等都不再是固定的.很自然會(huì)面臨一些困難,特別是文獻(xiàn)[4]中使用的泛函在此文中不能使用,需要使用另外的技巧.

在方程(1)中,g是方程的記憶核,通常它滿足以下假設(shè)[7]:

(H1)g:R+→R+是一個(gè)可微函數(shù),滿足

(H2) 存在α>0,有

g′(t)+αg(t)≥0,t≥0,

(t+1)α[g′(t)+2αg(t)]∈L1(R+).

α>1后文會(huì)具體給出.

注1.1存在滿足(H1)和(H2)的松弛函數(shù)g,只要選擇合適的a、b即可,例如

與文獻(xiàn)[6]相比,本文的假設(shè)與證明過程是不同的,而且衰減也是更慢的.

引理1.1[3]若假設(shè)(H1)和(H2)成立,且

u0∈H1(Rn), u1∈L2(Rn),

則方程(1)存在唯一解滿足

u∈C([0,∞),H1(Rn)),

ut∈C([0,∞),L2(Rn)).

引理1.2[3]當(dāng)1≤p

而且,存在一個(gè)常數(shù)C=C(n,p),使得

‖u‖p*≤C‖▽u‖p, ?u∈W1,P(Rn).

引理1.3若u是方程(1)的解,則

‖u(t)‖2≤C(L+t)‖▽u(t)‖2,t>0, (3)

其中L是正常數(shù).

證明由引理1.1,當(dāng)p=2時(shí),可得

由H?lder不等式可得

其中L>0,滿足

Supp{u0(x),u1(x)}?B(L)=

{x∈Rn/|x|

因此

‖u(t)‖2≤C(L+t)‖u(t)‖p*≤

C(L+t)‖▽u(t)‖2.

引理1.3得證.

不失一般性,下文令L=1.現(xiàn)在,定義能量泛函

其中

v(t)|2dxds, ?v∈L2(Rn).

引理1.4若u是方程(1)的解,則能量方程滿足

(4)

證明對(duì)方程(1)兩側(cè)同乘ut,然后在Rn上積分.通過分步積分和重復(fù)文獻(xiàn)[5,7]的工作,整理后就能得到結(jié)果.值得注意的是此時(shí)的E′(t)不確定正負(fù),并且在這一步也不能確定系統(tǒng)是否耗散.

在下文中作如下的標(biāo)記：

l(t)=g′(t)+αg(t),

Lα(t)=(t+1)α[g′(t)+2αg(t)].

2 能量衰減估計(jì)

下面先建立若干引理,然后得到方程(1)的解的能量衰減估計(jì).

引理2.1假設(shè)(H1)和(H2)成立,構(gòu)造輔助泛函

|u(t)-u(s)|2dsdx,

其中

則對(duì)于任意δ1>0和t≥0有

(5)

證明利用假設(shè)(H2)和分部積分法得到

下面對(duì)Φ1(t)求導(dǎo),并用Young不等式得到

α(1+t))-1Φ1(t)+

(1+t)-1[-((l+αg)°u)+

-(1+t)-1Φ1(t)-α(1+t))-1Φ1(t)+

(1+t)-1[-((l+αg)°u)+

引理2.2若u是系統(tǒng)(1)的解,定義輔助泛函

在假設(shè)(H1)和(H2)條件下,則對(duì)于任意的δ2>0,t≥0有

(6)

證明對(duì)Φ2(t)求導(dǎo)可得

(7)

由(1)式可得

▽u|2dx+

(8)

利用(3)式可得

C(1+t)‖▽u‖2‖ut‖2≤

(9)

同理可得

最后,結(jié)合(6)～(10)式得到

引理2.3若u是系統(tǒng)(1)的解,定義輔助泛函

(u(t)-u(s))dsdx,

則對(duì)于任意的δ2,δ3>0,t≥0滿足

(11)

證明直接對(duì)Φ3(t)求導(dǎo)可得

(u(t)-u(s))dsdx-

(12)

對(duì)于(12)式中的第二項(xiàng),由(1)式可得

(▽u(t)-▽u(s))ds)dx.

(13)

對(duì)于(13)式中的第一項(xiàng)有

(14)

對(duì)于(13)式中的第二項(xiàng)有下面的估計(jì)

(15)

與

▽u(t)-▽u(s))ds|2dx≤

(▽u(t)-▽u(s))ds)dx≤

|▽u(t)-▽u(s)|dsdx+

(17)

聯(lián)立(12)～(17)式,則(11)式成立.

引理2.4假設(shè)(H1)和(H2)成立,構(gòu)造輔助泛函

(18)

其中

當(dāng)取合適的2個(gè)正常數(shù)ξ1和ξ2,則滿足

ξ1E(t)≤F(t)≤ξ2[E(t)+Φ1(t)],

t≥t0,

(19)

其中t0是足夠大的值,使得γ2、γ3和γ4充分小.

證明由Cauchy-Schwarz不等式、Young不等式和(3)式可得

(20)

和

(21)

下面將(20)和(21)式帶入F(t),可得

ξ2[E(t)+Φ1(t)],ξ2>0.

(22)

又

|F(t)-E(t)|=

其中γ1、γ2、γ3和γ4充分小,則得到

F(t)≥ξ1E(t),t≥t0,ξ1>0.

(23)

聯(lián)立(22)和(23)式得到結(jié)論.

引理2.1假設(shè)(H1)和(H2)成立,且u0∈H1(Rn),u1∈L2(Rn),則存在2個(gè)正常數(shù)K和k,使得

E(t)≤K(1+t)-k, t≥0.

證明對(duì)(18)式求導(dǎo),利用(4)式可得

(g′°▽u).

(24)

因?yàn)間是連續(xù)且g(0)>0,所以對(duì)任意的t≥t0≥tm>0有

再將(5)、(6)和(11)式帶入(24)式

g′(t)=l(t)-αg(t)≤

l(t)-α(1+t)-1g(t),

可得

F′(t)≤-(1+t)-1[1+α-

(1+t)-1{γ2(m-δ2(C+1))-

(1+t)-1[γ3(g0-δ2(α+C+1))-

(25)

現(xiàn)在令γ4=1,可得

F′(t)≤-(1+t)-1[1+α-

(1+t)-1{γ2(m-δ2(C+1))-

(1+t)-1[γ3(g0-δ2(α+C+1))-

(26)

進(jìn)一步,選擇合適的δ2和δ3使得

若δ2和δ3固定了,選擇任意合適的γ2和γ3滿足下列條件

(27)

這樣使得

γ3(g0-δ2(α+C+1))-

γ2(m-δ2(C+1))-2γ3δ3=k2>0.

因此,若選擇的γ2和γ3足夠小使得(26)和(27)式成立,則進(jìn)一步得到

現(xiàn)在,選擇足夠大的γ1使得

再令δ1滿足下面的條件

則有下面的式子成立

k1-γ1δ1>0.

最后,當(dāng)c>0和t≥t0時(shí),就使得(26)式變?yōu)?/p>

F′(t)≤-c(1+t)-1[E(t)+Φ1(t)]≤

(28)

對(duì)(28)式在(t0,t)上積分后得到

最后由(19)式即證得結(jié)論.