初中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想

■甘肅省天水市麥積區(qū)石佛中學(xué) 陶天德

數(shù)學(xué)是一門(mén)主要研究“數(shù)”與“形”的自然學(xué)科，對(duì)于學(xué)生的邏輯思維有較高的要求，將數(shù)形結(jié)合思想灌輸給學(xué)生，能夠提升學(xué)生的邏輯思維，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)于提升初中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量有非常重要的意義。本文主要通過(guò)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的分析，結(jié)合我自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)對(duì)一些典型例題的分析，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)方法進(jìn)行深入探討，從而為提高我國(guó)初中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量提供一些具有建設(shè)性的意見(jiàn)。

數(shù)學(xué)幾乎貫穿了一個(gè)學(xué)生的整個(gè)學(xué)習(xí)生涯，是一門(mén)非常重要的自然學(xué)科。隨著新課標(biāo)改革的不斷推進(jìn)，對(duì)于初中數(shù)學(xué)的教學(xué)要求已經(jīng)不僅僅局限于學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)以及基本技能的掌握，也要求培養(yǎng)學(xué)生的一些基本數(shù)學(xué)思想。基本數(shù)學(xué)思想是指對(duì)于學(xué)生基本思維品質(zhì)的培養(yǎng)，主要包括對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想以及邏輯思維的培養(yǎng)。數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)思想，主要是通過(guò)將“數(shù)”與“形”二者之間的關(guān)系相互結(jié)合，把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的問(wèn)題具體化，以此提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的效率和正確率。

在當(dāng)前我國(guó)的初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，很多教師并沒(méi)有把數(shù)學(xué)思想的灌輸作為教學(xué)的主要任務(wù)，只是機(jī)械地教授學(xué)生課本上的基礎(chǔ)知識(shí)，這樣培養(yǎng)出來(lái)的學(xué)生只掌握了一些數(shù)學(xué)的系統(tǒng)知識(shí)，缺乏創(chuàng)造能力，對(duì)于解決創(chuàng)新性較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力不強(qiáng)。因此，當(dāng)下我國(guó)初中數(shù)學(xué)教育亟待大力進(jìn)行變革，重視對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)，提升學(xué)生的邏輯思維能力，從而為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及個(gè)體發(fā)展打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。

一、數(shù)形結(jié)合思想的綜述

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)對(duì)“數(shù)”與“形”兩者相互關(guān)系的研究，其中“數(shù)”指的是一些數(shù)值、數(shù)學(xué)表達(dá)式、數(shù)學(xué)概念以及數(shù)學(xué)定理等基本內(nèi)容，“形”指的是一些與數(shù)學(xué)有關(guān)的圖形以及圖像。數(shù)學(xué)結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要方法和依據(jù)，需要充分應(yīng)用好代數(shù)和幾何兩大重要的數(shù)學(xué)工具，通過(guò)圖像來(lái)具體表達(dá)出無(wú)法通過(guò)數(shù)字表達(dá)出來(lái)的抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題，還可以通過(guò)數(shù)來(lái)表達(dá)圖形無(wú)法精確描述的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，更深層地去解讀數(shù)學(xué)問(wèn)題，準(zhǔn)確剖析問(wèn)題的實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，尋找總結(jié)出解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的通用方法。初中數(shù)學(xué)教材中數(shù)形結(jié)合主要包含“以數(shù)助形”以及“以形助數(shù)”兩種形式，所涉及的應(yīng)用范圍非常廣泛，包括絕對(duì)值、函數(shù)、數(shù)軸以及解方程組等多方面的內(nèi)容。

例如，通過(guò)圖形描述來(lái)幫助學(xué)生掌握理解一次函數(shù)的基本特征是典型的“以形助數(shù)”的思想，能夠通過(guò)圖形的方式讓學(xué)生更加容易理解一次函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題。“以數(shù)助形”則在一些幾何問(wèn)題有著廣泛運(yùn)用，比如勾股定理及應(yīng)用以及圓與圓的位置關(guān)系等幾何問(wèn)題，能夠更加方便地幫助學(xué)生確定幾何圖形之間的位置關(guān)系。數(shù)學(xué)結(jié)合能夠幫助學(xué)生理解一些非常難以直接理解的數(shù)學(xué)概念，以此提高學(xué)生的解題能力，并且能夠開(kāi)發(fā)學(xué)生的圖形思維，拓寬學(xué)生的解題思路，同時(shí)數(shù)形結(jié)合能夠改變數(shù)學(xué)中只有枯燥的數(shù)值的現(xiàn)象，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

二、鞏固概念，加強(qiáng)理論講解

數(shù)學(xué)基本概念是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)必須熟練掌握的重要內(nèi)容，是數(shù)學(xué)教學(xué)的框架內(nèi)容，數(shù)學(xué)概念的鞏固對(duì)于學(xué)生日后學(xué)習(xí)更深層次的數(shù)學(xué)內(nèi)容有極大的幫助，初中階段的數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，猶如數(shù)高樓中的地基，因此學(xué)生在初中階段必須打好牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，才能構(gòu)建起數(shù)學(xué)大廈。初中數(shù)學(xué)的許多概念均能夠通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)幫助學(xué)生的理解，特別是對(duì)于一些比較抽象、難以理解的數(shù)學(xué)概念，數(shù)形結(jié)合能夠便于學(xué)生的理解鞏固。

以我自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)為例，在講解“絕對(duì)值”這個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，許多學(xué)生只機(jī)械地記憶“絕對(duì)值大于等于0”的推論，對(duì)于絕對(duì)值的概念理解還非常模糊，這時(shí)教師可以引入數(shù)軸幫助學(xué)生根據(jù)深入地理解絕對(duì)值的含義。教師可以通過(guò)構(gòu)建一個(gè)距離問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，如“小明家住在一條東西走向的道路上，小明家往東走50 米是小剛家，往西走150 米是小紅家。”對(duì)于這種問(wèn)題，首先需要學(xué)生去根據(jù)題目描述畫(huà)出簡(jiǎn)圖，然后引入數(shù)軸的概念，這樣學(xué)生就能更加清楚地知道絕對(duì)值是指數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。在對(duì)初中數(shù)學(xué)的“二次函數(shù)”章節(jié)進(jìn)行教學(xué)時(shí)，由于這一章節(jié)中含有大量難以理解記憶的概念以及性質(zhì)，這一章是初中數(shù)學(xué)中最難的章節(jié)之一，是初中生的薄弱環(huán)節(jié)，教師必須引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法去加深對(duì)概念的記憶，通過(guò)列表、描點(diǎn)、連線繪制不同的二次函數(shù)表達(dá)式的圖形，并且觀察不同二次函數(shù)間的差異，讓學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的一些基本概念有一個(gè)更加深入的認(rèn)識(shí)。

三、以形解數(shù)，直觀呈現(xiàn)問(wèn)題

初中數(shù)學(xué)中含有許多枯燥乏味的代數(shù)問(wèn)題，對(duì)于一些復(fù)雜的代數(shù)計(jì)算問(wèn)題，如果只采用代數(shù)工具去求解的話會(huì)非常麻煩，導(dǎo)致學(xué)生的解題思路不清晰出現(xiàn)錯(cuò)誤，而采用數(shù)形結(jié)合的方法則能夠?qū)⒊橄蟮拇鷶?shù)問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)潔明了，為學(xué)生捋清解題思路。初中數(shù)學(xué)中許多題目均涉及數(shù)形結(jié)合這一方面的內(nèi)容，因此，教師需要通過(guò)對(duì)學(xué)生大量的習(xí)題訓(xùn)練以及講解，將數(shù)形結(jié)合這一重要解題思想深入剖析，成為學(xué)生解題的重要手段。

例如，已知一次函數(shù)y=x+1和反比例函數(shù)y=6/x，求它們的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并且分別位于第幾象限？這類(lèi)題型能夠采用代數(shù)運(yùn)算解題，通過(guò)解一個(gè)二元一次方程的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的解，再分別將橫坐標(biāo)代入已知的任一函數(shù)中求得對(duì)應(yīng)縱坐標(biāo)的解，最后求出結(jié)果，采用純代數(shù)方法涉及二元一次方程求解問(wèn)題，提高了問(wèn)題復(fù)雜程度，而采用數(shù)形結(jié)合的方法只需要分別將兩個(gè)函數(shù)圖像在坐標(biāo)系中描繪出來(lái)，在圖中便可直接觀察得出結(jié)果。顯然，采用數(shù)形結(jié)合中以形解數(shù)的解題思路能夠大大提高做題的正確率，為學(xué)生節(jié)約很多時(shí)間。

四、以數(shù)解形，剖析問(wèn)題實(shí)質(zhì)

以數(shù)解形是數(shù)形結(jié)合中的又一大重要思想，對(duì)于學(xué)生理解一些幾何概念以及求解幾何問(wèn)題有著非常顯著的效果。在初中幾何中，有許多復(fù)雜的幾何概念以及定理是學(xué)生非常難以理解掌握的，其實(shí)大部分幾何定理的實(shí)質(zhì)就是一些代數(shù)關(guān)系，因此，在幾何課程學(xué)習(xí)的過(guò)程中輔以數(shù)形結(jié)合的思想，能夠加深學(xué)生對(duì)幾何定理的理解，讓學(xué)生的思路更加開(kāi)闊，在經(jīng)過(guò)一定量的題目訓(xùn)練之后，學(xué)生的解題能力會(huì)有質(zhì)的提升。

以下題為例，“已知等腰三角形△MON，周長(zhǎng)為12 厘米，過(guò)O 點(diǎn)作OD 為邊MN 上的高，且∠MOD=30°，求ON的長(zhǎng)度？”當(dāng)教師講解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，首先需要引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件做圖并且仔細(xì)觀察圖形，然后深入剖析題目給的每一個(gè)已知條件并且挖掘出其中隱藏的代數(shù)關(guān)系。

如從“已知等腰三角形△MON”這句中可以得出“OM=ON”這一隱藏的代數(shù)關(guān)系，“周長(zhǎng)為12厘米”就是告訴學(xué)生“OM+ON+MN=12cm”這一等量關(guān)系，再根據(jù)“OD 為邊MN 上的高，且∠MOD=30°”能夠得知“ON=OM=2MD=2ND”，通過(guò)這些隱含的代數(shù)關(guān)系式，將一個(gè)幾何問(wèn)題便化解成一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題，這道題的解題思路將數(shù)形結(jié)合中的以數(shù)解形思想體現(xiàn)得淋漓盡致，教師在講解時(shí)務(wù)必要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)幾何圖形去尋找其中隱含的代數(shù)關(guān)系，為解題鋪設(shè)條件。

五、結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中是非常重要的一種數(shù)學(xué)思想，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著深遠(yuǎn)的意義。數(shù)形結(jié)合的作用不單單是針對(duì)某一道題目，而是一套完整的數(shù)學(xué)思想體系，能夠解決大部分的初中數(shù)學(xué)題目。在當(dāng)今國(guó)家對(duì)于實(shí)踐應(yīng)用型人才的迫切需求之下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)改變學(xué)生機(jī)械的記憶式學(xué)習(xí)思維，著力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的基本思想教育，為學(xué)生拓展解題思路，從而全面提升學(xué)生的解題能力。