課程再設計，讓兒童生命與數學和諧共振

■江蘇省海門市第一實驗小學 張海紅

一、理順邏輯結構

數學學科是一門邏輯性極強而又極其追求簡約的學科，因此每一個新的數學概念的誕生都有著不得不誕生的理由。作為數學教師，我們在教學新內容時，往往要追問自己，為什么要讓孩子學習這個內容？或者說這個知識點的價值何在？例如“比”，用分數、用除法都可以對兩個數量進行比較，為什么還要用到“比”？通過研究知道：比不僅可以對兩個數量進行比較，還可以同時對兩個以上的數量進行比較，如配制一種混凝土，水泥、石子、黃沙的比是4∶3∶2。想到這點，那么課堂教學設計自然就關注到了“比”概念產生的價值。因此，在教學之前不妨多問問這樣的問題，想明白了，也就理順了知識之間的邏輯結構，而這種邏輯結構往往又與兒童的認知心理相吻合。以此做出的教學設計，邏輯清晰，過程簡約，數學味濃，不失為一堂好課。再如，加法和乘法運算定律的教學，教材上都安排先學習交換律，再學習結合律，這自然是遵循認知規律，由易而難的，但是知識發生的順序究竟是怎樣的呢？學習運算律最重要的意義是解決簡便運算的問題，而簡便運算的重要思想方法是湊整，即把能夠湊成整十、整百、整千等的數結合在一起先計算，再加或乘另外一個數，會使計算簡便。但是在實際操作中，有時想湊整的兩個數不在相鄰的位置，為了使它們能先算，就需要其中的一個數和其他的數交換一下位置，于是交換律登場。據于這樣的理解，課程設計可以先安排學習結合律，并理解結合委的意義和價值，然后再制造認知沖突，如果想湊整的兩個數不在相鄰的位置怎么辦？引導學生根據已有的運算經驗，想到交換數的位置的辦法，點明這就是交換律。這樣的教學從教材既定的框架中跳出來，重構了另一條學習線路，即重新經歷知識發生發展的過程，更深刻地體悟學科發展的意義及價值，引導學生進行創造性思考。

二、力求知識延展

物體在外力作用下能延伸成細絲而不斷裂的性質叫延性；在外力（錘擊或滾軋）作用能碾成薄片而不破裂的性質叫展性。延展性好的物質更容易被塑形后創造出更多的新產品。安德烈·焦爾當在《學習的本質》一書中指出：“學習首先是一種變形。”知識變形的前提是該知識有較好的延展性。我們追求知識的延展，即是追求從一個核心知識衍生出更多的知識、能力、活動經驗，甚至數學思想。此時，這個知識是活的，隨時可以變形成新問題需要的結構。教學中，教師應當關注知識可延展的方向，并適當點撥，為知識即將可能的變形奠基。既然要變形，那么變形的基點在哪里？方向在哪里？這是教學中應當思考的。站在知識系統上方，整體審視教學內容，才能看清知識在結構中所處的位置及來龍去脈，才能知道教學應在哪里著力，哪里突破，哪里伏筆。例如《倒數的認識》。根據倒數的意義，兩數相乘的積是1，這兩個數就互為倒數?；榈箶档膬蓚€數的形式是多樣的，可以是分數、整數，也可以小數等，而教材呈現的例子和練習都是求分數（不含帶分數）和整數的倒數，實際教學是否要關注帶分數、小數的倒數呢？我認為在兒童學習力許可的情況下，可以適當延展，畢竟生活中數的表現形式確實是多種多樣的。因此在學生已經知道了倒數的意義和求分數的倒數的方法后，繼續組織引導 學生嘗試求出0.25、212的倒數。教師板演：

從而師生共同總結出同一個數的倒數可以有不同的表現形式，而這幾種表現形式的值是相等的。

《倒數的認識》一課，從知識層面來講，難度不高。主要是使學生理解倒數的意義，掌握求分數的倒數的方法，并能正確熟練地求出分數的倒數。通過對本節教材和后續教材的反復研讀，以及對兒童的深入研究，我認為，本課教學重點應放在思維的提高上，這就需要對教材進行適度超越，對知識適當延展，體現在兩個方面：1.讓學生掌握了求小數和帶分數的倒數；2.讓學生明白了“同一個數的倒數的表現形式可能不止一種”的觀點。而這兩點對后續學習，尤其是學生的思維發展是非常有效的。事實上，對這兩點，所有學生都能輕松地接納并完成。我深信，這些孩子在遇到計算形如“19×0.25＋81÷4”時，就不會只想到按著運算順序慢慢算，而會想到4 和0.25互為倒數，所以81÷4可以變形成為81×0.25，從而用乘法分配律簡便計算。當然追求知識的延展性一定要把握“度”的問題，而這個“度”基于對兒童學習心理及能力的深度把握，在兒童可接納的范圍內延展。過度，數學課程就會顯得艱澀而與兒童疏遠；適度，則會引發兒童生命與數學課程契合共鳴。

三、整合關聯領域

數學知識是一個龐大的知識系統，且在舊知識的基礎上不斷增長、不斷深入，但始終具有一定的結構系列，這就是知識點的內在關聯的根源和實質。所有的知識點具有互相支撐的關系。如下圖中的知識X與A、B具有歸屬關系，知識X，是知識A、B的上位知識，反之知識A、B 是知識X 的下位知識。從上位知識到下位知識，一般可以通過演繹得到。而從下位知識到上位知識，一般可以通過歸納得到。再如知識A、B 是并列關系，從知識A 到知識B，可以通過類比（正類比、反類比）得到。

實際教學中，教師要研究知識之間的支撐關系，對關聯領域適當整合，可以穩固知識結構。例如，加法運算是求兩個不相交集合的并集，加法運算的本質是同類量的合并。整、小數加法計算法則：相同數位對齊；從低位算起；滿十進一。相同數位對齊的意義就是使計數單位相同的數相加，如3 個一加5 個一，2 個0.1 加7 個0.1 等。分數加法法則：把異分母分數先轉化成同分母分數，再相加。轉化成同分母分數的意義就是使兩個分數的分數單位變成相同，以滿足相加的條件。

在關于加法運算的例子中，加法運算的意義和本質是上位知識，也是一般模型，而整、小數加法運算和分數加法運算是加法的三個特例，是下位知識。基于兒童學習特點，教材按這樣的順序組織：先安排學習整數加法運算，而后在與整數相加法的類比中學習小數加法計算，最后再安排異分母分數加法計算學習。作為教師，如果能諳熟加法運算的本質聯系，就能透過教材的組織關系，輕易地找到知識之間的支撐關系，并強化舊知的支撐作用，高效完成新知建構。再如，蘇教版五年級上冊“小數乘法”單元安排了“一個數乘10、100、1000 后小數點位置變化”的學習，而在“小數除法”單元安排了“一個數除以10、100、1000后小數點位置變化”的學習。如下圖：

通讀教材后，我認為“一個數除以10、100、1000后小數點位置變化”的學習可以前置，只要在“一個數乘10、100、1000 后小數點位置變化”的學習之后，用類比支撐一下，就可以完成學習。

教師可以這樣引導建立支撐：通過剛才的學習，我們知道一個數乘10、100、1000 后，小數點就會向右移動一位、兩位、三位。我們還知道除法是乘法的逆運算，那么請你想一想，如果一個數除以10、100、1000，小數點會怎樣移動呢？右與左互逆，于是學生馬上會想到一個數除以10、100、1000，小數點會向左移動一位、兩位、三位。這時再組織學生用計算器驗證一下，進一步鞏固即可。這樣，在教師客觀分析知識間的關系基礎上，巧妙地用好這種關系，不僅可以穩固知識的結構，也可以節約課時，激起學生的自豪感。教材是課程標準的具體文本表現，是許多教育教學專家智慧的結晶，也是人類智慧的結晶，具有普遍性。教師的作用在于引導學生創造性地參與文本的意義生成過程，即重建文本的意義，并且根據兒童需要，對教材進行再度重構設計，大膽地進行“用課標教”的課程想象和實踐，追求兒童與課程的真正和諧共振。