不平等指數相對性指標的幾何圖解與實例對比

綦 路，陳 蔚

（山東大學 經濟學院，濟南 250100）

0 引言

不平等指數是指高收入和低收入的比例和，一般用不平等指數值表示社會不平等程度，反映社會貧富兩極人口的分布特征[1]。不平等指數值越低則表示社會中等收入較多，社會分化程度良好，反之，不平等指數值越高則表示社會貧富分化嚴重[2]。計算不平等指數時，比較難界定高收入和低收入，因此產生了諸多不平等指數計算方法，一般分為兩大類別，一類為絕對性指標，如方差、kolm指數和極差等，依據量綱對不平等程度進行絕對性計算。此類方法雖然計算流程簡單，但在計算單位變化后，即使不平等程度未變化，計算結果也會變化，無法準確反映不平等程度[3]。另一類為相對性指標，比較常用的有基尼系數、泰爾指數、相對平均離差等，一般認為相對性指標優于絕對性指標，原因在于相對性指標避免了單位對指數的影響。但相對性指標計算方法眾多，是否在面對所有問題時，可任意選取相對性指標計算方法。從學術研究成果看，目前沒有任何一種相對性指標方法全面優于其他指標，每個不平等指標方法都存在局限性，如基尼系數無法體現不平等分布狀態[4]、泰爾指數無法反映收入位置變動情況[5]。因此，在研究不同狀態的不平等問題時，需根據不平等問題特征來選取合適的指標方法，特別是運用相對指標計算方法時，此類計算方法過程復雜、涉及變量多，如何選擇計算指標方法成為重點。接下來對不平等指數計算中兩類（基尼系數和泰爾指數）重要相對性指標方法進行研究，以確定這些相對性指標方法最適應哪種情形下的不平等指數計算。

1 基尼系數框架及其計算方法

1.1 基尼系數的基本理論框架

基尼系數是國際衡量不平等程度的通用指數，赫希曼發明后由基尼發揚壯大。赫希曼從洛倫茨曲線分布中發現不平等程度的面積比關系[6]，設實際收入曲線（洛倫茨曲線）與絕對收入平等線之間的合圍面積為X，實際收入曲線（洛倫茨曲線）其他下圍面積為Y，則基尼系數G可表示為：

從公式（1）可知，如果X值為0則基尼系數G值為0，表示社會處于完全公平狀態；如果Y值為0則基尼系數G值為1，表示社會處于絕對不平等狀態。如果以實際收入曲線（洛倫茨曲線）為參照線，實際收入曲線（洛倫茨曲線）孤度越大，基尼系數G值越大，不平等程度越大，反之，實際收入曲線（洛倫茨曲線）孤度越小，基尼系數G值越小，不平等程度越小。為更清楚地反映上述關系，利用幾何圖解方式將基尼系數表示為圖1。

圖1 基尼系數的幾何圖解關系

由幾何圖解和面積比公式可得基尼系數的取值范圍為0～1，聯合國開發計劃署等組織根據不平等程度將基尼系數劃分為5個等級，見表1。國際上將基尼系數0.382設為不平等程度的黃金分割律[7]，超過該數值則表示國家的不平等程度越高，一般發達國家的基尼系數區在0.2～0.38，我國2016年的基尼系數為0.465，遠高于國際黃金分割律，不過隨著我國經濟的快速發展，預測未來5年內基尼系數有望降至黃金分割律之下。

表1 基尼系數的國際等級劃分及代表

1.2 基尼系數的計算方法對比

求解基尼系數的關鍵為計算面積比，而面積比的求解方式眾多，因此學者對基尼系數的具體計算方法作了大量探索，椐不完全統計大約在15種左右，如直接法、平均差法、矩陣法、曲線擬合法等，接下來本文對應用比較廣泛的積分法和幾何分組法進行具體的對比。

第一，積分法。積分法的思路較為簡單，由基尼系數的幾何圖解關系可知，絕對收入平等線下圍是一個直角等邊三角形，且二條直角邊的長度為單位1（100%），按上述思路二條直角邊分別定義為OA和OB，見圖2。

即得到三角形AOB，那么就有：

圖2 基尼系數積分法的幾何圖解

由公式（3）可知，積分法求解基尼系數的關鍵是圖2中Y的面積。為得到Y面積假定實際收入曲線（洛倫茨曲線）滿足函數f(x),則Y面積可以用函數f(x)在區間[0,1]的定積分表示。

將式（4）代入式（3），則可得到基尼系數G的最終公式為：

由此可見，積分法的關鍵是確定函數f(x)的形式，顯然函數f(x)與人口累計百分比、收入累計百分比相關，利用回歸分析法假定人口累計百分比為x，收入累計百分比為y，則有y=f(x)。在具體的基尼系數計算過程中，人口累計百分比x和收入累計百分比y為成對數據，只要對成對的x、y值進行回歸擬合，則可得出函數f(x)的具體形式。

第二，幾何分組法。積分法的優點在于能夠比較準確地反映基尼系數，劣勢在于要求用回歸方法求得實際收入曲線（洛倫茨曲線）函數，對于符合函數規律數據而言，積分法無疑是最優求解方式，如果數據為非規律性函數則會產生誤差。幾何分組法避免了此類問題，在OA軸上取n個點，將面積Y劃分為n份，見圖3。

圖3 基尼系數幾何分組法的幾分圖解

每部分以直代曲的方法求解面積，最后加成n份的總面積。由于直代曲存在誤差，只有將n取值為無窮大時，誤差才能降至最低[8]。從圖3中可以看出每份的面積由一個長方形（abcd）和一個三角形（ade）組成，則有：

Y的面積由n個Sabce組成，即有：

將式（7）與式（3）結合，則可以得出幾何分組法的基尼系數：

如果將式（8）中的度量單位轉換為統計學意義，則有bc為組距，dc為組下限，ec為組上限，利用上述幾個統計學指標，即可求得基尼系數。

1.3 積分法和幾何分組法的計算結果比較

基尼系數的計算方法眾多，但廣泛運用的為本文研究的積分法和幾何分組法，兩種方法的計算方式不同，積分法適應符合函數規律的數據求解，而幾何分組法能擺脫實際收入曲線（洛倫茨曲線）函數的限制，對數據特征依賴性不強。為驗證兩個計算方法的優劣性，選擇某城鎮居民的2017年收入分配數據為研究樣本（見表2），對兩種計算方法進行實證檢驗。

表2 某城鎮居民2017年收入分配數據 （單位：100%）

圖4 某城鎮居民2017年收入分配數據的函數分布規律散點圖

如果使用積分法求解基尼系數，關鍵在于確定函數形式，將表2中的人口累計比和收入分配累計比散點分布用圖4表示，以尋求二種數據間的函數關系。

從圖4散點分布特征來看，人口累計百分比與收累計百分比之間存在y=axb函數關系。為驗證該關系并求得常數a、b值，將所有數據代入y=axb函數，即可得到：

由式（9）求得a=0.7798,b=1.045,將a、b值代入積分法的基尼系數求解公式，則可得到：

結果表明，積分法計算下該城鎮2017年收入分配基尼系數為0.24，屬于低水平的基尼系數區間。接下來使用幾何分組法對2017年該城鎮居民的基尼系數進行運算，由于原始數據已經分組完成，因此幾何分組法只需要將數據代入公式（8）即可。

由此可見，積分法和幾何分組法求解的基尼系數都為0.24，說明兩種方法的準確率相似。但是積分法需要求解函數形式，對于數據的特征性要求更高，而且在實際操作中，尋找數據規律函數難度較大，在數據散點分布圖中可能無法找到或無法確定函數形式。而幾何分組法只需要將數據進行規律分組，無需依賴實際收入曲線（洛倫茨曲線）函數，對數據的規律依賴較少，適用多數實際性操作。而且幾何分組法對數據按不同性質歸類分組處理后，可以求解不同層次的基尼系數，便于研究不同層次的貧富差距等問題。

2 泰爾指數理論框架與實例計算

基尼系數對不平等程度反映較為準確，但存在二點不足。第一，基尼系數具有厭惡不平等現象，對窮人觀察值較敏感，如果樣本中窮人數據較大時，則基尼系數的計算結果誤差偏大。第二，相同數量收入轉移到研究樣本時，基尼系數的結果可能全部轉移至低收入樣本，對計算結果有不利影響。因此，在計算不平等指數的相對性指標方法中，還有一類泰爾指數較為常用。泰爾指數由泰爾(Theil,1967)利用信息理論熵計算收入不平等而來，假設U為收入分配事件A的發生概率，即有p(A)=U,并且收入分配事件A發生信息量e(U) 服從的減函數形式，那么n個收入分配事件發生概率為U1、U2、U3……Un，并且在所有事件中，某收入分配事件一定會發生，即根據信息熵理論可得：

顯然，當收入分配事件概率Ui趨近時熵值越大，泰爾認為可以用e（U）來反映收入分配不平等差距，依據信息熵理論e（U）值越大，收入分配越公平[9]，當n個收入分配事件中都有時，則表示n個收入分配事件達到了絕對公平，即e(U)=logn,泰爾在此基礎上將定義logn-e(U)為泰爾不平等指數（T）。

2.1 泰爾指數與廣義熵指數的關系

由基本理論框架可知泰爾指數由信息理論熵指數演變而來，那么泰爾指數與信息理論中熵指數有什么關聯呢？在信息理論中熵被定義為平均信息量，一般分布形式為連續和離散兩種[10]，用公式（14）表示離散的廣義熵指數,用公式（15）表示連續的廣義熵指數。

式（14）和式（15）中的C為常數，表示厭惡不平等程度，C值越大，表示厭惡不平等程度越小，Q（p）表示收入累計人口比對應的收入份配，μ表示收入平均值，p表示收入累計人口比。實際上泰爾指數是信息理論熵指數的特例，主要取決于常數C的取值，在離散型和連續型熵指數公式中，常數C不同取值代表不同的指數性質，具體見表3。

由表3可知，在離散型廣義熵指數中，當C→0和C→1時，廣義熵指數表示為泰爾指數，而在連續型廣義熵指數中，當C=0和C=1時，廣義熵指數表示為泰爾指數。

2.2 泰爾指數計算公式和計算實例

泰爾指數提出后，因其能夠提煉相互獨立的組間差異和組內差異，迅速被運用于不平等指數的計算。如果某區域內的收入和累計收入比等于人口和累計人口比，則表明該區域內的泰爾指數為0，收入分配達到絕對公平線。如果某區域內的收入份額較大，人口份額較少，則表明該區域內的泰爾指數趨近1，貧富差距較大，可見泰爾指數的取值范圍也為[0,1]，這點與基尼系數有相似之處，甚至泰爾指數和基尼系數具有互補關系。基尼系數的計算方法眾多，主要有積分法和幾何分組法，而泰爾指數計算方法相對單一，目前國際上比較認同的主要為以下計算公式：

表3 不同C值下廣義熵指數的性質

式（16）為總泰爾指數的計算公式，其中Y表示總收入份額，N表示總人口，Yij表示分組單元中的收入份額，Nij表示分組單元中的總人口。由于泰爾指數可以分解為若干個亞收入單元，因此還可以求得組間泰爾指數和組內泰爾指數，其計算公式依次為式（17）和式（18）。

式中Yi表示分組單元中第i個亞收入單元的收入份額，Ni表示分組單元中第i個亞收入單元的總人口。由上述公式可得到一個重要結論T=Tb+Tw，即泰爾指數為組間泰爾指數與組內泰爾指數之和，顯然是一個加權后的泰爾指數結果，為體現未加權的泰爾指數關系，可以利用公式（19）計算收入單元內的未加權泰爾指數。

接下來利用沿海某市的人口數量、人均收入、省份總人口、省份人均收入為研究樣本，測算該市在2008—2017年的泰爾指數，結果見下頁表4。

表4 某沿海城市2007—2017年的泰爾指數

由表4可知，總體泰爾指數T呈遞減趨勢，部分年份泰爾指數的增加未能改變遞減趨勢，證明在經濟發展趨勢利好的情形下，收入分配不平等現象正在逐漸降低，通過比較組內泰爾指數和組間泰爾指數的趨勢變化，可以進一步佐證該現象。而泰爾指數的走向變化與經濟合作與發展組織（OECD）最新公布的數據相吻合，說明泰爾指數在反映不平等程度具有較好的準確率。

3 不平等指數相對性指標對比

前文對基尼系數和泰爾指數的理論框架和計算方法進行了系統分析，但兩者在不平等指數測算中實踐差異如何，則可通過實際數據庫進行驗證。本文選擇中國家庭動態跟蹤調查（CFPS）數據庫中的收入數據做樣本[11]，時間跨度為2011—2016年，通過多次搜集反復驗證，最終選擇河南省為研究對象，并采取隨機起點、等距抽樣方法選取樣本。本文側重點為比較基尼系數與泰爾指數的優劣性，而非計算基尼系數和泰爾指數，因此本文并未區分樣本數據中的城鄉指標，統一按隨機分配方式選擇樣本。考慮數據的可得性，樣本數據以家庭為單位，主要以工資收入為指標，家庭經營性收入、投資性收入等被刪除，最終樣本量為1055戶。為使對比結果具備科學性，對比方式分橫、縱兩種方式，縱向比較用2011—2016年的整體數據，橫向比較用2015年月度數據。本文數據主要由Stata軟件處理完成，結果除基尼系數和泰爾指數外，將變異系數和阿爾特金森指數一并列出。為便于比較所有結果精確到萬分位，其中縱向比較結果見表5。

表5 2011—2016年不平等指數相對性指標的縱向對比結果

根據表5，基尼系數和泰爾指數的縱向比較結果類似，特別是排序結果基尼系數、泰爾指數、變異系數和阿爾特金森指數完全一樣，證明不平等指數相對性指標方法具有一致性，對于不平等程度都具有解釋能力。從基尼系數來看，2011—2016年間樣本數據的基尼系數長期處于黃金分割律線0.382之下，說明樣本數據中的收入相對較為平等，泰爾指數、變異系數和阿爾特金森指數佐證了該結論。但2013年幾種測算方法的測算結果偏高，特別是基尼系數誤差明顯大于其他幾種指標方法，甚至超過了黃金分割律線。研究樣本發現，2013年樣本中的低收入人群明顯高于高收入人群，基尼系數的這種厭惡不平等性質，給基尼系數測算結果造成一定影響。而泰爾指數由于將收入群體進行分解，產生此類測算誤差相對較少。那么是否說明泰爾指數優于基尼系數呢？選擇較平緩的2015年月度數據作橫向比較。由于連續月度數據相近且變化不大，為便于區分，只列出雙月的測算結果，見表6。為對比，將變異系數和阿爾特金森指數一并列出。

表6 2015年不平等指數相對性指標的橫向對比結果

根據表6可知，2015年樣本數據收入不平等現象并未發生較大變化，幾乎是一個平靜的波動過程，各指數的排序結果依然相似，只在個別月份出現微調現象，進一步說明不平等指數相對性指標具有一致性，在條件允許的情況下，可利用多種方法對不平等程度進行驗證計算。從計算結果來看，幾種相對性指標方法的均值結果約等于該指數全年整體值，說明不平等現象是一個積累過程。基尼系數在該輪驗證過程中并未產生較大的誤差，說明2013年過多的低收入人群對基尼系數計算結果產生了影響，在低收入人群占樣本多數時，建議采用泰爾指數計算不平等指數的研究方法。同時在計算的過程中發現，樣本數據6月至8月間中等收入和低收入人群有50%左右的位置更換過，基尼系數由于采用幾何分組法，在分組的過程中很容易發現已更換位置的樣本。但泰爾指數沒有該步驟，即使樣本個體位置變動也未被發現。由此可見，泰爾指數與基尼系數相比，泰爾指數無法體現收入位置的變動現象，即使高低收入人群全部進行互換，所得的泰爾指數相等。在研究收入位置變動的不平等指數時不適合采用泰爾指數，而應選擇基尼系數。

4 結論與討論

不平等指數反映社會貧富兩極人口的分布特征，對社會和諧發展具有重要的指導作用。學術中將計算不平等指數方法分為絕對性指標和相對性指標，絕對性指數的計算方法簡單，但受量綱限制，對單位變化后的不平等指數計算不準確，因此本文在相關研究的基礎上認為相對性指標要優于絕對性指標。相對性指標方法眾多，比較常用的有基尼系數、泰爾指數、相對平均離差等，如何選擇相對性指標方法是本文的重點。通過對比發現基尼系數和泰爾指數是較為成熟的兩種方法，對不平等指數具有較好的解釋能力。

本文通過系統的幾何分解基尼系數和推導泰爾指數后發現以下幾點問題。

（1）基尼系數的計算方法眾多，比較常用的有積分法和幾何分組法，積分法能夠較為簡單的求得基尼系數，但對數據的規律性要求較高，求解實際收入線（洛倫茨曲線）函數的工作量無法預測，因此積分法的實際操作性不強。幾何分組法可依據已知數據，對數據庫進行規律性的分組，盡管計算量較大，但可操作性強，相對而言，幾何分組法是實際基尼系數計算過程的重要方法之一。另外，幾何分組法中存在以直代曲的步驟，是計算結果誤差的主要來源，因此，幾何分組法計算下的基尼系數是誤差值，并不是實際基尼系數值。（2）值得注意的是本文只針對不平等指數相對性指標中的基尼系數和泰爾指數進行了比較，變異系數、阿爾特金森指數只列出了相關結果，僅僅起對比作用，實際上變異系數、阿爾特金森和泰爾指數與熵指數的有著密切的關系，廣義熵指數是他們的特例，而基尼系數則與熵指數沒有關系，因此不能將基尼系數歸類于熵指數。（3）盡管基尼系數不同于泰爾系數，但兩者之間具有一定的互補性。首先二者的取值區間都為[0,1]，對于同一樣本數據，基尼系數和泰爾指數的變化趨勢類似。其次，面對不同不平等指數計算時，可依據樣本數據特征進行選擇，比如基尼系數具有“厭惡不平等”現象，對低收入人群較為敏感，當低收入樣本數據較大時，選擇基尼系數會加大計算結果誤差，此時可選擇泰爾指數替換基尼系數。當研究收入變動的不平等指數時，由于泰爾指數無法體現樣本數據的收入變動現象，如果使用泰爾指數反映此類問題則可能得到錯誤的變動結果，此時可選擇基尼系數替換泰爾指數。