基于輔助粒子濾波與灰色預測的時間序列NAR模型狀態估計

馬雪瑩，蔡如華，寧巧嬌，吳孫勇

（桂林電子科技大學 數學與計算科學學院，廣西 桂林 541004）

0 引言

時間序列預測在很多領域有著極其廣泛的應用。對于如何進行時間序列的建模和預測,尤其是線性模型,這方面的研究由來已久，常見的方法有AR模型、最小二乘估計等。但現實中,有很多時間序列的數據是大量的,并且具有非線性的特點,上述方法便不再適用。于是,統計學家們提出了人工神經網絡、支持向量機方法等，但是神經網絡只適用于短期預測，支持向量機方法計算時間較長，計算過程復雜[1，2]。粒子濾波方法是近年提出的一種適用于視覺目標跟蹤的有效算法，該方法簡單易行，適用于任何非線性非高斯環境[3]。在非線性時間序列建模過程中可以利用粒子濾波算法，分析解決復雜的積分問題，避免了非線性時間序列分析過程中需要儲存大量歷史數據的問題，該算法在降低算法復雜度、提高擬合性能上具有一定的優勢。

利用粒子濾波（PF）方法估計非線性自回歸（NAR）模型的狀態，在一定程度上提高了估計的精度，但是粒子濾波方法在計算過程中，容易出現粒子退化現象，增加了由參數估計帶來的估計誤差[4，5]。輔助粒子濾波（APF）可以自然地從當前量測中產生樣本，使之更可能的落在高似然區域內，降低了濾波對外部干擾的敏感度，而灰色預測在不增加計算量的情況下可以對目標狀態進行預測，克服粒子退化現象。

本文在NAR模型建模的基礎上，利用輔助粒子濾波和灰色預測相結合的方法估計NAR模型的參數和狀態，并應用于股票數據的預測和分析。仿真實驗及應用實例表明，該方法比傳統NAR及粒子濾波方法的效果更好。

1NAR模型

NAR模型是一個時間序列預測模型，主要利用時間序列數據估計未來的預測值，一般使用最小二乘法確定模型的參數和結構[6-8]。NAR模型可以表示為：

其中x(t)為時間序列數據，np為多項式展開的項數，Pl為l階回歸項向量，且P1=1，θl為l階回歸參數，ε(t)為白噪聲。

式（1）可用矩陣形式表示為：

其中P是一個n×m的回歸項量矩陣，θ是一個m×1的系數向量，ε為白噪聲殘差。利用QR分解方法分解式（2）中的矩陣P，即：

其中Q為正交矩陣，R為上三角矩陣。定義g：

則：

若P中每一列的誤差為ei，基于已定義的g，每一列i的誤差值可表示為：

通過觀察發現的值越大，模型殘差越小，因此可根據式（6）選擇出對模型有意義的回歸項PM=QMRM，其參數值θM可以通過對式（3）和式（4）利用QR分解方法分解，由式（5）計算得到，記為

通過上述方法可得到NAR最佳模型：

2 輔助粒子濾波與灰色預測的狀態估計

2.1 輔助粒子濾波

輔助粒子濾波是標準粒子濾波的一種擴展[9，10]。其中粒子濾波是基于序貫重要性采樣（SIS）思想，利用蒙特卡羅（MC）和執行貝葉斯遞歸估計的一種濾波方法。SIS濾波的基本思想是從概率密度函數p(x)中采集樣本，利用帶有權值的樣本表示后驗概率密度，從而得到目標的狀態估計。其基本算法為：

令k時的聯合后驗密度近似為：

通過增加的樣本和新狀態獲得新樣本，并得到權重的更新方程：

則后驗概率密度可近似為：

但是重要權重的方差會隨時間增長，在若干次遞歸后，每個粒子幾乎都會帶有很小的權重，產生權重退化現象。為了改善這種現象，需要引入重采樣方法。

引入重采樣算法的SIS濾波構成了基本的粒子濾波算法。但是由于重要性密度是獨立于量測zk的，所以這類濾波對外部的干擾是低效且敏感的，并且隨著重采樣的進行，粒子的多樣性會喪失，為了解決這一問題，提出了輔助粒子濾波。

輔助粒子濾波的主要思想是在粒子轉移到k時刻之前在k-1時刻實現重采樣，主要源自SIS中引入一個重要性密度并且這個重要密度可以導出樣本集，其中ij表示粒子在k-1時刻的標記。但是APF的采樣獲取主要來自于聯合密度，這樣就可以忽略(xk，i)中的標記i，從聯合密度中產生采樣用來刻畫新采樣的重要性密度函數定義為：

其中μ是在xk-1已知時的xk的信息。均值可以看成的一個樣本值，所以式（12）可改寫為：

則可得到其狀態估計值：

2.2 灰色預測原理

灰色預測方法先由歷史數據構建一個序列，通過累加運算（AGO）生成一個累加序列，構建灰色微分方程并利用該累加值估計方程參數，從而預測下一時刻累加值，最后通過逆累加（IAGO）作用于累加預測值，得到目標狀態的預測值[11，12]。

利用灰色GM（1,1）進行建模：

（1）構建一個包含最近量測信息的序列X(0)=式中x(0)(n)為量測數據，n為序列長度。

（2）通過對X(0)進行累加運算（AGO）建立一個新序列其中

（3）構建灰色微分方程：

其中a，b是微分方程的系數。

其中z(1)(k)為均值生成序列且

由最小二乘法得到系數a，b的值。

把系數a，b帶入，即可得到1-AGO灰色預測模型：

因為1-AGO灰色預測模型為一次累加數據得到的，所以需要將通過逆累加（IAGO）還原成狀態預測值，即有:

2.3 NAR模型狀態估計

輔助粒子濾波進行了兩次加權操作，考慮了當前量測對狀態估計的影響，生成的粒子權值變化更穩定，使模型更加接近未知的狀態，估計的結果也更加準確。而灰色預測模型主要是在利用粒子濾波對當前的目標狀態進行估計的基礎上，再把目標歷史序列和當前目標狀態作為輸入信息，利用灰色預測理論對下一時刻的目標狀態進行預測，在不增加計算量的情況下，進一步改進粒子退化現象，提高預測效果。于是把輔助粒子濾波和灰色預測方法結合在一起對時間序列的NAR模型狀態進行估計，得到以下狀態估計的基本步驟：

（4）判斷k大?。喝鬹+1≥f（f為灰色系統輸入的粒子數），則進行灰色預測算法，反之進行輔助粒子濾波算法。

為了更準確地評價NAR、PF-NAR、APFGM-NAR狀態估計方法的好壞，將采用平均絕對誤差（MAE）、平均絕對百分比誤差（MAPE）、均方根誤差（RMSE）三個評價指標：

3 仿真實驗與應用實例

3.1 仿真實驗

為了驗證基于輔助粒子濾波及灰色預測對NAR模型狀態估計的可行性及優越性，需要建立一個NAR模型，即：

其中xt為狀態向量，ai為模型系數，由最小二乘法可得ai值分別為-0.5536,0.7064,0.9966,1.4549，εt為高斯白噪聲，zt為量測向量，βt為量測噪聲。

由式（20）可以得到模型的狀態與量測圖形，如圖1所示。

圖1 狀態與量測圖

通過式（20）中的狀態方程與量測方程進行粒子的傳播與更新，得到NAR模型的狀態估計值，并與傳統的NAR和PF-NAR方法的估計結果作比較，如圖2所示。

圖2 APFGM-NAR、PF-NAR和NAR狀態估計圖

在得到NAR估計值，PF-NAR估計值與APFGM-NAR估計值后，通過殘差計算公式得到殘差估計值并進行對比，如圖3所示。

圖3 APFGM-NAR、PF-NAR和NAR殘差估計圖

通過對圖2的觀察可知，由APFGM-NAR方法得到的狀態估計值比傳統的NAR和PF方法更加接近真實的狀態，因此可以說明由APFGM方法估計NAR模型的參數和狀態是可行的。對圖3分析可知，APFGM-NAR方法所得到的估計殘差值在零均值附近波動且與其他兩種方法相比波動較小。為了更好地對比三種方法的估計精度，利用MAE、MAPE和RMSE三種評價指標對估計結果進行評估，結果如表1所示。從表中可以看出APFGM-NAR方法的估計精度最高。

表1 APFGM-NAR、PF-NAR和NAR性能評價指標

3.2 應用實例

本文選取深深寶A股票，提取2014年12月23日至2015年6月12日的115個交易日的收盤價，數據來源通達信金融終端軟件。深深寶A股票的時間序列如圖4中ture-state所示，通過對圖中股票收盤價的走勢分析，可以發現其具有很強的非線性，由此，可以把115個交易日的收盤價當做仿真數據，通過上文建立合適的NAR模型，并對模型進行狀態估計，如圖4中NAR-state所示。觀察圖4可知，NAR狀態估計與真實狀態之間的誤差較大，因此利用輔助粒子濾波與灰色預測相結合的方法估計NAR模型的參數和狀態，并與基于粒子濾波方法的估計結果作比較。

圖4 深深寶A股時序和NAR狀態估計圖

利用輔助粒子濾波與灰色預測相結合的方法估計NAR模型的參數及狀態，與粒子濾波估計結果進行對比，如圖5。并對兩種方法的估計結果進行殘差計算，得到殘差對比圖，如圖6所示。

圖5 APFGM-NAR和PF-NAR方法的股票價格估計

圖6 APFGM-NAR和PF-NAR方法的殘差估計圖

由圖5可知基于輔助粒子濾波與灰色預測的方法對NAR模型狀態的估計比粒子濾波方法更加接近于真實的狀態。由圖6可知，基于輔助粒子濾波與灰色預測方法的估計殘差比粒子濾波估計殘差在0均值上下的波動幅度小，更平穩。為了更加直觀地比較這兩種方法對股價走勢預測的效果，根據性能評價指標，給出了兩種方法的MAE、MAPE、RMSE的對比值，如表2所示。

表2 APFGM-NAR和PF-NAR性能評價指標

通過對以上圖表的觀察分析可知，基于輔助粒子濾波與灰色預測的方法比粒子濾波方法對NAR模型參數及狀態的估計更加精確，對股票價格走勢的預測更加準確。

4 結束語

粒子濾波方法是一種非線性濾波方法，能很好地解決非線性問題，但是在對非線性自回歸模型進行狀態估計的過程中容易出現粒子退化現象，所以本文提出了一種基于輔助粒子濾波與灰色預測相結合的NAR模型狀態估計算法。通過加入輔助變量，進行兩次加權操作，降低了對外界干擾的敏感度，灰色預測理論對重采樣后的粒子狀態進行了修正，有效地克服了粒子退化現象。結果表明，基于輔助粒子濾波與灰色預測相結合的方法優于傳統的NAR和粒子濾波估計方法，更適合于金融時間序列的預測和分析。