基于極限分析有限元與強度折減法的邊坡穩定性分析方法

王 奭

(中國鐵路青藏集團有限公司，810007，西寧//高級工程師)

0 引言

邊坡的穩定性評估是土木工程和采礦工程中的一項非常基礎性的工作。目前評估邊坡的穩定性主要是采用理論分析的方法(包括極限平衡法、極限分析法和滑移線場法等)求解邊坡的安全系數，以此判斷邊坡是否失穩。例如：文獻[1]采用極限平衡法并假定邊坡滑裂面為對數螺旋線求解邊坡的安全系數，并依據所求得的安全系數對邊坡穩定性進行判別；文獻[3]采用極限分析方法并假定邊坡破壞模式為3D牛角破壞模式來求解多臺階邊坡安全系數，并以此判斷邊坡是否失穩。以上方法均是建立在假定滑裂面(例如折線、圓弧和對數螺旋線等)基礎之上的，其在分析邊坡穩定性時沒有考慮土體內部的應力應變關系，無法準確分析邊坡破壞的發生和發展過程。

此外，隨著計算機科學和有限元理論的發展，目前廣泛用來分析邊坡穩定性的方法還包括位移有限元，如文獻[4]，通過采用位移有限元結合強度折減的方法求解邊坡安全系數。但位移有限元在分析問題的過程中耗時較長，且在分析問題時需要對很多巖土參數進行假設或取經驗值，這就導致在分析邊坡穩定性問題時往往得不到準確的結果。

為了解決以上方法存在的不足，本文采用近幾年發展起來的極限分析有限元方法。極限分析有限元方法的實質是采用數值分析方法求解極限問題，所以可考慮不同的力學參數以及復雜工況，并避開了復雜的應力-應變增量迭代過程，直接對最終的極限狀態進行研究，而且無需假定破壞模式即可進行穩定性計算；通過計算機軟件自動搜索出土體破壞時的速度場(極限分析上限法)或應力場(極限分析下限法)，進而可以用來快速研究工程結構物的穩定性問題。目前極限分析有限元的方法已被廣泛用來求解隧道和邊坡等穩定性問題[5-11]。但目前尚無學者采用極限分析有限元方法結合強度折減方法研究各幾何結構參數和巖土參數等對邊坡穩定性的影響。

本文采用極限分析有限元軟件OptumG 2,結合強度折減方法對邊坡的穩定性進行研究，通過定義無量綱參數P計算邊坡安全系數。經與文獻[4]研究結果進行比較以驗證本文方法的準確性。在進行參數討論時，對坡腳、內摩擦角和P取值不同條件下的邊坡穩定性進行研究，并對內摩擦角對邊坡破壞模式的影響進行分析討論。

1 邊坡穩定性分析模型

為了分析邊坡穩定性，本文提出如圖1所示的平面應變分析模型。假定構成邊坡的巖土材料遵循摩爾庫倫破壞準則，巖土參數為內摩擦角φ、黏聚力c和單位土重γ。為了簡化問題分析，定義如下假設：

(1) 不考慮地表起伏和地下水的影響，即假定地表為水平面，所有計算均采用總應力分析方法。

(2) 假設模型土質均勻，無各向異性。

(3) 不考慮外部荷載對邊坡穩定性的影響。

注：h——邊坡坡高；β——邊坡坡腳

2 極限分析有限元原理

極限分析有限元的基本原理是：①采用有限單元將物體內的速度場(極限分析上限法)或應力場(極限分析下限法)離散化；②在離散的速度場或應力場內建立滿足機動許可條件或靜力許可條件的約束方程(或不等式)，并以物體內總的內能耗散率(上限分析)或外力荷載(下限分析)作為目標函數，即將上、下限定理轉化為相應的數學規劃問題；③采用合適的數學規劃算法對所建立的數學規劃模型進行求解，并由計算機搜索出極限狀態下的速度場和應力場。

與傳統的極限分析方法相比，有限元極限分析方法具有如下優點：

(1) 通過數值離散，可將復雜的速度場或應力場在各單元內被簡化為低階分布形式(如線性分布)，很容易通過建立單元變量和節點變量的約束方程來保證速度場的機動許可條件和應力場的靜力許可條件，進而克服了傳統極限分析中機動速度場或應力場難以構造的困難。

(2) 通過將上、下限定理轉化為相應的數學規劃模型，可以采用計算機自動搜索出巖土極限狀態下的速度場或應力場，避免了傳統極限分析中需要預先假定破壞機構或破壞面的問題。

(3) 借助有限單元法，可以很方便地模擬復雜荷載條件、復雜幾何邊界條件、非線性破壞準則、非均質材料等問題，極大地拓寬了極限分析法在巖土穩定性分析中的應用范圍。

3 模型參數對邊坡安全系數的影響

本文采用極限分析有限元方法并結合強度折減理論求解邊坡安全系數S，進而對邊坡的穩定性進行分析。S的定義見式(1)。

(1)

式中：

cci-red——折減后的黏聚力；

φci-red——折減后的內摩擦角。

當S>1時,說明邊坡可以自穩;而當S<1時,說明邊坡不能自穩，會有發生滑坡的危險。結合本文所應用的極限分析有限元方法，通過圖2所示流程圖可得到邊坡安全系數的上下限。

圖2中的SUB和SLB分別表示邊坡安全系數的上限值和下限值。需要說明的是，設置SLB的初始值為0，設置S的初始值為1,SUB的初始值可選擇區域內的一個足夠大的值。由以上分析可知，當邊坡的幾何參數(坡腳和坡高)確定之后，邊坡的安全系數只與邊坡周圍巖土的材料參數有關，見式(2)。

S=f(h,β,c,φ,γ)

(2)

為了研究方便，本文定義了P，見式(3)。

(3)

圖2 強度折減方法獲得安全系數的流程圖

因此式(2)可簡化為式(4)。

S=f(β,φ,P)

(4)

為了驗證P為S的獨立影響因素，本文對P(取0.1)、β(取45°)和φ(取20°)取值相同，但h、γ和c取值不同的5個案例的計算結果進行比較(見表1)。

表1 P取值相同情況下各案例邊坡安全系數比較

由表1可知，P為影響邊坡安全系數的獨立影響因素;對于上述5個案例，采用極限分析有限元結合強度折減方法所求得安全系數上下限的差值均小于1%，故可以采用安全系數上下限的平均值來分析邊坡穩定性問題。

4 邊坡安全系數比較分析

選擇文獻[4]的安全系數研究結果與本文安全系數研究結果進行對比(見表2)，來驗證本文所采用的極限分析有限元結合強度折減方法的正確性。文獻[4]在研究邊坡穩定性的過程中采用的是有限元強度折減法，該方法雖能得出比較理想的結果，但是耗時長，而且為了得到結果往往需要對巖土材料進行假設。表2的計算參數及其數值為：h為20 m，β分別為30°、35°、40°、45°和50°，γ為25 kN/m3，c為42 kPa，φ為17°。

表2 文獻[4]安全系數研究結果與本文安全系數研究結果的比較

從表2中可以看出，本文與文獻[4]的安全系數研究結果相差很小，尤其與文獻[4]采用簡化Bishop法求出的安全系數相差不超過1%。除此之外，本文所求得的結果均小于文獻[4]所求得的結果，說明本文所采用的方法能夠更安全地用來評估邊坡穩定性。此外，從表2同樣可以看出，坡腳越大則邊坡越容易失穩。β為50°的情況下，安全系數小于1，說明此邊坡處于不穩定狀態。

5 模型參數對邊坡穩定性的影響分析

本節主要研究β、φ和P對邊坡穩定性的影響。圖3為β、φ以及P取值不同情況下的安全系數。由圖3可以看出，邊坡安全系數隨著摩擦角的增大而顯著增大，說明摩擦角越大邊坡越安全，因此工程上可以通過增加邊坡材料摩擦角的方法增加邊坡的穩定性。此外，由圖3同樣可以看出隨著坡腳的增大，邊坡的安全系數逐漸變小，說明坡腳越大邊坡越容易發生失穩破壞，因此工程上可以通過減小坡腳的方式來增加邊坡的穩定性。

圖4為φ取值不同、P為1/7的情況下,β對邊坡穩定性的影響曲線，該曲線能夠更直觀地反映出β對邊坡穩定性的影響。由圖4可知，隨著β的增加，邊坡安全系數幾乎呈線性減小，說明β越大，邊坡越不安全，因此工程上可通過放緩坡腳的方式增加邊坡穩定性。

圖5為β取值相同、φ和P取值不同情況下的邊坡安全系數變化曲線。由圖5可以看出，邊坡安全系數隨著P的增大而呈線性增加趨勢，說明P越大邊坡越安全。因此，工程上可以采用增大邊坡黏聚力或者減小邊坡高度的方法增加邊坡的穩定性。

a) P=1/14

b) P=1/7

c) P=3/14

圖4 β對邊坡穩定性影響 (P=1/7)

圖5 P對邊坡穩定性影響(β=45°)

圖6為β、P取值相同情況下，φ對邊坡破壞模式的影響。由圖6可知，隨著φ的增大，邊坡破壞模式顯著減小，說明φ越大，邊坡越傾向于不發生失穩破壞，即邊坡越穩定。因此，工程上可以通過增加邊坡材料摩擦角的方法增加邊坡的穩定性。

a) φ=10°

b) φ=20°

c) φ=30°

d) φ=40°

6 結論

(1) 采用本文介紹的極限分析有限元方法并結合強度折減理論所求得的安全系數的上下限差值小于1%，說明本文方法求得的上下限差值很小，可以用上下限平均值表示所求邊坡的安全系數。

(2) 通過本文所求得的結果與已有文獻結果比較表明，本文所求得結果能夠更好地評估邊坡穩定性。

(3) 坡腳、摩擦角和無量綱參數對邊坡安全系數均有很大的影響，在設計和施工過程中應充分考慮以保證邊坡穩定。