GP-平坦模的若干性質(zhì)

王修建 甘德俊 黃新宇 李福軍

（1.皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012；2.安徽教育出版社，安徽 合肥 230601）

0 引言

20世紀(jì)40年代，純粹代數(shù)研究領(lǐng)域引入了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的部分概念和方法，它極大地豐富了代數(shù)學(xué)的研究思路和研究?jī)?nèi)容，使得同調(diào)不變量成為代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要的核心關(guān)鍵詞，并且在這一理論形成的初期，許多代數(shù)學(xué)家對(duì)從代數(shù)拓?fù)渲幸氲难芯繉?duì)象、研究方法以及研究過程中所思考的問題表現(xiàn)出前所未有的興趣，投入了大量的研究精力，產(chǎn)出了一大批成果，并逐漸使之發(fā)展成為代數(shù)學(xué)中的一個(gè)新的研究方向-同調(diào)代數(shù)。而同調(diào)代數(shù)形成和發(fā)展也促進(jìn)著交換代數(shù)、代數(shù)幾何、代數(shù)表示論以及李代數(shù)等研究領(lǐng)域的發(fā)展，尤其是在上世紀(jì)50年代，著名的Krull猜想通過同調(diào)代數(shù)的內(nèi)容和思路得到了解決，使得國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)家日益重視同調(diào)代數(shù)的研究。近幾十年來，同調(diào)代數(shù)在國(guó)內(nèi)代數(shù)界取得了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，無論在傳統(tǒng)的環(huán)論、模論領(lǐng)域，還是在近年迅猛發(fā)展的代數(shù)表示論領(lǐng)域，同調(diào)代數(shù)研究及應(yīng)用都是問題研究的熱點(diǎn)。

模論與代數(shù)學(xué)的許多分支都有著密切的聯(lián)系，起突出重要作用的是投射模、內(nèi)射模和平坦模，而投射模、內(nèi)射模和平坦模是同調(diào)代數(shù)中最重要的三大模類，可以通過它們有效的研究經(jīng)典的同調(diào)維數(shù)，刻畫著名的環(huán)類，如正則環(huán)、QF環(huán)、IF環(huán)等，以及用來證明環(huán)論和代數(shù)表示論的許多著名猜想。如Baer于1940年提出的內(nèi)射性的概念在刻畫QF環(huán)方面就起著重要的作用，從Baer準(zhǔn)則出發(fā)，許多學(xué)者研究了自內(nèi)射性的種種真推廣。

FP-內(nèi)射性?P-內(nèi)射性?GP-內(nèi)射性?單內(nèi)射性?極小內(nèi)射性。

然而，平坦模與內(nèi)射模、投射模有著密切的關(guān)系，它也有著各種真推廣，一方面Enochs、Jenda等人把投射模、內(nèi)射模和平坦模拓展到了Gorenstein投射模、Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein平坦模，促進(jìn)了相對(duì)同調(diào)代數(shù)的發(fā)展；另一方面，國(guó)內(nèi)外代數(shù)研究工作者在經(jīng)典的同調(diào)代數(shù)中做著不同的真推廣，這些研究在特殊環(huán)等方面都得到了有益的結(jié)果。受這些工作的啟發(fā)，本研究引入GP-平坦模的概念，并討論它與GP-內(nèi)射模的關(guān)系及其一些性質(zhì)，然后嘗試用GP-平坦?？坍嬆愁愄厥獾沫h(huán)，研究GP-平坦維數(shù)及其相應(yīng)的GP-平坦性質(zhì)。

1 GP-平坦模與GP-內(nèi)射模

右R-模MR稱為平坦模，若對(duì)于R的任意左理想I，都有0→M?I→M?R成立。如上所述，平坦模是模范疇中非常重要的一類模，在環(huán)和模范疇的研究中至今都非常重要，近年來一直廣受關(guān)注，利用平坦模及廣義平坦模可以刻畫許多重要的環(huán)。顯然，投射模一定是平坦模，反之不一定成立（注：環(huán)R上每個(gè)左R平坦模是投射模的充分必要條件是，環(huán)R是左完全環(huán)。)。眾所周知，關(guān)于平坦性的問題已經(jīng)被廣泛研究，本研究是在引入GP-平坦模的定義基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了GP-內(nèi)射模和GP-平坦模的一點(diǎn)性質(zhì)，同時(shí)也給出了GP-平坦維數(shù)的一些性質(zhì)。文中所考慮的環(huán)是指具有單位元的結(jié)合環(huán)，所考慮的模都是指酉模，各類環(huán)與模的定義以及所用各種記號(hào)基本上都可在文獻(xiàn)[1-8]中找到，后文使用時(shí)不再一一說明。

定義1 一個(gè)右R-模M稱為GP-平坦模，如果對(duì)于R的任一元素r，存在m∈N，使得任意的n≥m，n∈N，都有 0→MR?Rrn→MR?R 成立。

命題1 M是GP-平坦右R模當(dāng)且僅當(dāng) M*是 GP-內(nèi)射左 R 模，其中 M*=Homz（M，Q/Z）為 M的特征模。

證明：若右R-模M是GP-平坦右R模，則顯然有正合列 0→Rrn→R， 有 0→M?Rrn→M?R正合，由于Q/Z是內(nèi)射余生成子，那么

反之，我們繼續(xù)考慮如上的交換圖，這時(shí)，右列是正合的，得出左列是正合的，故每個(gè)Mα是GP-平坦模。

命題3 設(shè)M，N是GP-平坦模，則M?N仍是GP-平坦模。

證明：取m為一個(gè)足夠大的自然數(shù)，則對(duì)于任一自然數(shù)n≥m，

因?yàn)?α，γ 同構(gòu)，若 x∈ker β，則 0=ψβ（x）=γτ（x），則 τ（x）=0，因?yàn)?γ 是單的，且兩行正合，則有x=σ（y），對(duì)某個(gè) y∈A?Rrn。 但這樣 0=β（σ（y））=φ（α（y））可得 α（y）=0（φ 單）。 這樣 y=0，x=σ（y）=0可得β同構(gòu)，由定義B是GP-平坦模①短正合列中的三個(gè)模有著一定的聯(lián)系，命題4給出了前后兩模的GP-平坦性決定了中間模的GP-平坦性，我們自然會(huì)思考其它條件的GP-平坦性，尤其是中間模的GP-平坦性能否決定前后兩端模的GP-平坦性，如不行，需要在什么條件下才能成立，為此我們首先引入純子模的定義。。

稱φ（A）是B的純子模。

引理1[10-11]對(duì)右R-模M來說，下列條件等價(jià)：

（1）M是絕對(duì)純的.

（2）M 是 E（M）的純子模（E（M）為 M 的內(nèi)射包）.

（3）M 是 FP-內(nèi)射模.

（4）M是FP-內(nèi)射模的純子模.

引理2 設(shè)R是任意環(huán)，對(duì)右R-模M來說，下列條件等價(jià)：

（1）M 是 GP-平坦模；

（2）對(duì)任意環(huán)R，存在m∈N，使得任意的n≥m，n∈N，有 Tor1R（M，R/Rrn）=0。

命題5 設(shè)0→AR→BR→CR→0是純正合列，若B是GP-平坦模，則A和C都是GP-平坦的。

證明：對(duì)于任意環(huán)R，存在m∈N，使得任意的n≥m，n∈N，由長(zhǎng)正合列有

定理1 對(duì)于環(huán)R，下列條件是等價(jià)的：

（1）GP-平坦模的直積是GP-平坦的；

（3）環(huán)R是左GP-凝聚環(huán)；

（4）左R-模M是GP內(nèi)射的，當(dāng)且僅當(dāng) M*是GP-平坦的；

（5）左R-模M是GP內(nèi)射的，當(dāng)且僅當(dāng) M**是GP內(nèi)射的；

（6）右R-模M是GP-平坦的，當(dāng)且僅當(dāng) M**是GP-平坦的；

（7）對(duì)于任意環(huán) S，

其中n為某一個(gè)固定常數(shù)后任一自然數(shù)，B為（R，S）-雙模，CS是內(nèi)射的。

證明：（1）?（2）顯然。

（3）?（1） 設(shè){Mi|i∈I}是一簇 GP-平坦模，要證∏i∈IMi也是GP-平坦模，由定理3知，我們只需證 α：（∏i∈IMi）?Rrn→（∏i∈IMi）Rrn是單的。 考慮如下交換圖：

由（3）知Rrn是有限表現(xiàn)的，所以ε是同構(gòu)，且β也是同構(gòu)，又{Mi|i∈I}是一簇GP-平坦模，則得 γi：Mi?Rrn→MiRrn是單的， 所以 γ 是單的，從而知α是單的，那么∏i∈IMi是GP-平坦模。

（3）?（7） 見引理 3。

（7）?（4） 令 S=Z，C=Q/Z，B=M，則由條件知有

所以左R-模M是GP內(nèi)射的，當(dāng)且僅當(dāng) M*是GP-平坦的。

（4）?（5） 設(shè)左R－模M是GP內(nèi)射的，則由所給條件知，M*是GP-平坦模，從而M**是GP內(nèi)射的，反之顯然。

（5）?（6） 如果 M 是 GP-平坦模，則 M*是GP內(nèi)射的，由所給條件知M***是GP內(nèi)射的，從而M**是GP-平坦模。反之，若M**是GP-平坦模，由引理1知M是M**的純子模，所以M是GP-平坦模。

2 GP-平坦維數(shù)

下設(shè)環(huán)R為交換環(huán)，由于每個(gè)R-模M都有平坦分解，而平坦模是GP-平坦模，所以每個(gè)R-模都有GP-平坦模，即存在正合列

則在M的所有這種形狀的GP-平坦分解中，必有一個(gè)GP-平坦分解，其中的非負(fù)整數(shù)n是最小的，這個(gè)最小的n稱為R-模M的GP-平坦維數(shù)，記為Gfd（M）=n，若上述的 n不存在，則記為Gfd（M）=∞。 記 Gfd（R）=sup{Gfd（M）|M 為任意的R-模}為環(huán)R的GP-平坦維數(shù)；WD（R）為環(huán)R的整體維數(shù)。并由定義，不難得出如下結(jié)論①（1）Gfd（R）≤WD（R），對(duì)任意的環(huán) R；（2）若 R 是遺傳環(huán)，則有 Gfd（R）≤1；（3）若 R 是 Von Nenmann 正則環(huán)，則 Gfd（R）=0。。

命題6 R-模是GP-平坦模當(dāng)且僅當(dāng)Gfd（M）=0。

證明：設(shè)M是GP-平坦模，則M有GP-平坦分解 0→…→0→F0→M→0， 其中 F0=M，F(xiàn)i=0，?i≥1，那么 Gfd（M）=0。 反之，設(shè) Gfd（M）=0，則 M有一個(gè)GP-平坦分解…→0→F0→M→0，其中Fi=0，?i≥1，因此，F(xiàn)0?M，故 M 是 GP-平坦模。

命題7 Gfd（M）≤1當(dāng)且僅當(dāng)GP-平坦模的子模是GP-平坦模。

證明：對(duì)任意右 R-模 M，有 Gfd（M）≤1，設(shè) F0是GP-平坦模，F(xiàn)1是F0的子模，則有正合列0→F1→F0→F0/F1→0，由于已知 Gfd（F0/F1）≤1，則有F1是GP-平坦模。反之，設(shè)M是任意右R-模，則有自由模F0，使正合列0→F1→F0→M→0成立，由于F0是GP-平坦模，由已知F1也是GP-平坦模，得 Gfd（M）≤1。

類似于GP-平坦模，由于每個(gè)R-模M都有內(nèi)射分解，而內(nèi)射模是GP-內(nèi)射模，可定義GP-內(nèi)射維數(shù)的定義，并刻畫兩者之間的關(guān)系。

設(shè)R-模M有如下形狀的GP-內(nèi)射分解

則在M的所有這種形狀的GP-內(nèi)射分解中，必有一個(gè)GP-內(nèi)射分解，其中的非負(fù)整數(shù)n是最小的，這個(gè)最小的n稱為R-模M的GP-內(nèi)射維數(shù)，記為Gid（M）=n，若上述的 n不存在，則記為Gid（M）=∞。

定理2 設(shè)R是一個(gè)環(huán)，對(duì)任意的R-模M，Gfd（M）=Gid（M*）。

證明：設(shè) M 是任意 R-模，Gfd（M）=n，由 GP-平坦分解的定義知，存在一個(gè)正合列

眾所周知，若每一個(gè)R-模都是平坦模，則R稱為正則環(huán)；若每一個(gè)內(nèi)射R-模都是平坦模，則稱R稱為IF環(huán)。可以說，近幾十年來，正則環(huán)和IF環(huán)一直國(guó)內(nèi)外環(huán)論專家關(guān)注的焦點(diǎn)，尤其在歷屆的中日韓環(huán)論國(guó)際會(huì)議上，一直是討論的熱點(diǎn)。我們現(xiàn)在利用GP-平坦性做一下推廣，可以得到一些平行的結(jié)論。若每一個(gè)R-模都是GP-平坦模，則稱R稱為GP－正則環(huán)；若每一個(gè)內(nèi)射R-模都是平坦模，則稱R稱為IGPF環(huán)②環(huán)R是正則環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是GP-正則環(huán)，并且GP-平坦模的子模都是平坦模。事實(shí)上，對(duì)于任意的R-模F，存在正合列0→F→F′，根據(jù)題設(shè)R是GP-正則環(huán)，那么由定義知F、F′為GP-平坦模，又由題設(shè)GP-平坦模的子模都是平坦模知F是平坦模，因此R是正則環(huán)，反之顯然。。

結(jié)合文獻(xiàn)[12]，類似于文獻(xiàn)[13]的證明，我們可以得到如下命題

定理3 設(shè)R為一任意環(huán)，則下述等價(jià)：

（1）R 為 GP-正則環(huán)；

（2）內(nèi)射R-模的本質(zhì)子模是GP-平坦模；

（3）GP-平坦R-模的同態(tài)像是GP-平坦模；

（4）任意R-模的兩個(gè)GP-平坦子模的和是GP-平坦模；

（5）任意R-模的兩個(gè)同構(gòu)的GP-平坦子模的和是GP-平坦模。

定理4 設(shè)R為一任意環(huán)，則下述等價(jià)：

（1）R 為 IGPF 環(huán)；

（2）FP－內(nèi)射R-模Q的都是GP-平坦模；

（3）若 Q1?Q 都是 FP－內(nèi)射 R-模，則 Q/Q1是GP-平坦模；

（4）對(duì)任意的 R-模 M，E（M）是 GP-平坦模；

（5）任意的R-模M是GP-平坦模的子模；

（6）內(nèi)射R-模M是GP-平坦模的子模。

證明：（1）?（2） 因?yàn)?FP－內(nèi)射模Q是內(nèi)射包 E（Q）的純子模，根據(jù)題設(shè)知 E（Q）是 GP－平坦模，由命題5知Q是GP－平坦模。

（2）?（3） 顯然 0→Q1→Q→Q/Q1→0 是純正合列，而Q1是FP－內(nèi)射模，Q是GP－平坦模，所以由命題5知Q/Q1是GP-平坦模。

（1）?（4）?（5）?（6） 顯然成立。

（6）?（1） 設(shè)M為任一內(nèi)射模，M為F的子模且F為GP－平坦模，則存在正合列0→F→M，由命題2知M是GP-平坦模，即證R為IGPE環(huán)。

（3）?（1） 任一內(nèi)射模M是FP－內(nèi)射模，而0模也是FP－內(nèi)射模，因此有條件知M=M/0是GP－平坦模，即證R為IGPE環(huán)。

由定理4不難得出，環(huán)R是IF環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R是IGPE環(huán)，并且GP－平坦模的每個(gè)內(nèi)射子模都是平坦模。