圓錐曲線運動有心力問題的推理及動能導數法的優點分析

邵 云

（南京曉莊學院 電子工程學院，江蘇 南京 211171）

在已知軌道方程的情況下，多數教科書[1-3]都是采用比耐公式來求有心力。介紹一種用質點動能Ek對矢徑r求導來求有心力的方法，姑且稱作動能導數法，推導出做圓錐曲線運動質點所受的平方反比引力，以及系統能量的統一表達式；與此同時，將動能導數法與比耐公式法進行了較充分的比較，發現前者的優點所在。雖然文獻[4-6]已提及動能導數法，但卻未繼續討論；盡管文獻[7-8]明確地提出該方法并對其簡便性進行了一些論證，但卻未能把有心力和各種能量放在一起通盤考慮，顯得研究仍不夠深入。質點的角動量J→守恒是進行推理的前提，設其大小為

其中m為質點的質量，h為常量[1]。

1 從極坐標軌道方程計算質點的動能

設質點P做圓錐曲線運動如圖1所示，極坐標系的極點O位于近焦點，p為半正焦弦長度，e為偏心率，則在圖中的極坐標系下圓錐曲線的方程可表為

圖1 質點P的圓錐曲線運動

2 將動能對矢徑求導得有心力

可見，只要算得動能函數Ek（r），對其求導即得保守有心力 F（r）。

3 做圓錐曲線運動質點的動能、有心引力、勢能和總能量

現將圓錐曲線方程式（2）代入動能的計算式（7）得

此即質點在圓錐曲線軌道上任一點的動能，它誠然是r的單值函數。將式（13）代入式（12）即得有心力：

可見，圓錐曲線軌道所對應的有心力是平方反比引力（負號表示引力）。聯立式（9）和式（14）得該引力所對應的勢能函數為

其中，已令無窮遠處的勢能為零，即Ep（∞）=0。再將式（13）和式（15）代入式（10）得

從式（14）和式（16）可見，無論有心力 F（r）還是總能量E，它們不僅依賴于軌道的形狀（p和e），而且依賴于質點的質量m和角動量J（=mh）。

4 用動能導數法推導有心力問題的優點分析

在傳統的教科書中，都是通過比耐公式（u=1/r）：

將式（18）代入比耐公式（17）即得有心力：

圖 2 雙紐線 r2=a2cos2θ（a=1）

證法一（動能導數法）：將r2=a2cos2θ兩邊對θ求導并整理得可見，式（46）結果與式（38）結果相同。

分別比較以上兩個例題的證明過程可以發現，例1的動能導數證法顯然比比耐公式證法簡便，而例2的動能導數證法從實際計算量來看，也比比耐公式證法簡便。文獻[7]已經證明：對于很多數學上典型的軌道曲線 （注：物理上未必能實現！），應用動能導數法求其有心力似更簡單。

另外，這里順便提及一下，當已知v（r）求有心力F（r）時[9]，應用動能導數法就更直接方便了。

5 對第3節中能量結果的討論

是一與軌道無關的內稟常量。這就表明：此時的角動量大小J=mh由半正焦弦長p來表征，而能量E的大小則由軌道參量a或a′唯一地確定。這便是平方反比引力作用下質點所做圓錐曲線軌道運動的基本特征。

6 結語

在通常的教科書中，應用比耐公式從軌道方程推導有心力問題的思路是：軌道方程→有心力→勢能→總能量→動能；而本研究應用動能導數法的推理思路卻是：軌道方程→動能→有心力→勢能→總能量。比耐公式法的優點在于從軌道方程推導有心力的思路最直接，而動能導數法的優點不僅在于計算簡便 （包括有心力的計算以及諸能量的獲得），而且諸能量的含義都交待得明明白白。因此，動能導數法不失為從軌道方程推導有心力問題傳統所采用的比耐公式法的有益補充。此外，根據軌道方程，將動能、有心引力、勢能和總能量一系列地推導出來的研究思路，或可為相關內容的教學提供一些參考。當然，當已知有心力求軌道方程時，比耐公式是有明顯優勢的，這也是它被寫進教科書的原因所在。