解析幾何中代點(diǎn)配湊法的解題范式研究

薛紅利

【摘要】 代點(diǎn)配湊法是解析幾何學(xué)習(xí)中重要的解題方法，是“點(diǎn)差法”運(yùn)算的深化，本文主要探究代點(diǎn)配湊法的解題定式和應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 代點(diǎn)配湊法;點(diǎn)差法;解析幾何

高考試卷中的解析幾何題中如何消去參數(shù)，是干擾學(xué)生得高分的“瓶頸”，而“代點(diǎn)配湊、代入消參”是重要的解題方法之一，它是“點(diǎn)差法”運(yùn)算的深化，也是“先局部，后整體，有序地運(yùn)算”的深化.本研究主要討論代點(diǎn)配湊法的解題定式.

案例呈現(xiàn)? 橢圓的中心為原點(diǎn)O，離心率e=? 2? 2 ，一條準(zhǔn)線的方程為x=2 2 .

（Ⅰ）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足OP =OM +2ON ，其中M，N是橢圓上的點(diǎn).直線OM與ON的斜率之積為- 1 2 .是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2，使得|PF1|+|PF2|為定值？若存在，求F1，F(xiàn)2的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由.（試題來(lái)源2011年高考重慶卷理科）

案例分析? （Ⅰ）由題可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 4 + y2 2 =1.

（Ⅱ）設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

由OP =OM +2ON 得（x，y）=（x1，y1）+2（x2，y2），

即x=x1+2x2，y=y1+2y2.

因?yàn)辄c(diǎn)M，N在橢圓 x2 4 + y2 2 =1上，

所以x21+2y21=4，x22+2y22=4，

故x2+2y2=（x21+4x22+4x1x2）+2（y21+4y22+4y1y2）

=（x21+2y21）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）

=20+4（x1x2+2y1y2），

設(shè)kOM，kON分別為直線OM，ON的斜率，由題意知，

kOM·kON= y1y2 x1x2 =- 1 2 ，因此x1x2+2y1y2=0，

所以x2+2y2=20，

所以P點(diǎn)是橢圓 x2 （2 5 ）2 + y2 （ 10 ）2 =1上的點(diǎn)，

設(shè)該橢圓的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，

則由橢圓的定義，|PF1|+|PF2|為定值，

又因?yàn)閏= （2 5 ）2-（ 10 ）2 = 10 ，

因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1（- 10 ，0），F(xiàn)2（ 10 ，0）.

思路梳理? 通過(guò)上面案例，我們可以梳理代點(diǎn)配湊法的解題模式為：

（1）代點(diǎn)：因?yàn)锳（x1，y1），B（x2，y2）在曲線F（x，y）=0上F（x1，y1）=0，F(xiàn)（x2，y2）=0;

（2）配湊：按照求解目標(biāo)，兩式相加或相減，得到關(guān)于x1，x2，y1，y2的整體關(guān)系式;把上述關(guān)系式，配湊為含有F（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）的式子，從而整體消除部分表達(dá)式，得到一個(gè)新的關(guān)系式f（x1，y1，x2，y2）=0;

（3）代入消參.

深入探究? 已知P，Q是橢圓T：x2+2y2=1上兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足|OP|2+|OQ|2= 3 2 ，求證：|kOP·kOQ|是定值，并求這個(gè)定值.

解? 設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）（x21+y21）+（x22+y22）= 3 2 .

① 代點(diǎn)：x21+2y21=1，x22+2y22=1;

② 配湊：? 1 2 x21+ 1 2 （x21+2y21） +? 1 2 x22+ 1 2 （x22+2y22） = 3 2 ;

1 2 x21+ 1 2? +? 1 2 x22+ 1 2? = 3 2 x21+x22=1.

③ 代入消參：（kOP·kOQ）2=? y1y2 x1x2? 2= y21y22 x21x22

=? 1 2 （1-x21）× 1 2 （1-x22） x21x22 = 1 4 × 1-（x21+x22）+x21x22 x21x22

= 1 4 × 1-1+x21x22 x21x22 = 1 4 |kOP·kOQ|= 1 4 =定值.

分析? 求定點(diǎn)定值和軌跡方程時(shí)常常用到“代點(diǎn)配湊、代入消參”的解題模式，在探求處理定點(diǎn)、定值、定形問(wèn)題時(shí)，它僅僅是一種方法，并不是所有的問(wèn)題都必須采用，不要構(gòu)成錯(cuò)誤的“思維定勢(shì)”.從解題方法來(lái)看，它僅僅是“點(diǎn)差法”運(yùn)算的深化，增加了“消參”環(huán)節(jié)，從而得到常數(shù)，所以求解時(shí)，可以按照“點(diǎn)差法”的模式，先局部，后整體，有序地運(yùn)算，處理好整體與局部的關(guān)系，提高解題能力.

【參考文獻(xiàn)】

[1]張同君.中學(xué)數(shù)學(xué)解題研究[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2002.

[2]秦德生.美國(guó)中小學(xué)“估算”課程設(shè)計(jì)及其啟示[J].外國(guó)中小學(xué)教育，2013（12）：50-54.

[3]韓曉剛.“點(diǎn)差法”解決圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題[J].學(xué)周刊，2011（4）：132-133.