旋轉圓筒受均布壓力的應力解分析

郭海偉，陳占清

(中國礦業大學深部巖土國家重點實驗室，江蘇 徐州 221116)

王一麥，邵海磊

(鄭州四維特種材料有限責任公司，河南 鄭州 450001)

旋轉圓筒結構件被廣泛應用于醫藥、化工、水利水電、國防等工程領域[1,2]，其筒壁多承受內、外壓力及自身轉動所附加的離心力效果，尤其在高轉速過程下，圓筒結構件所產生的離心力會引起較大的徑向應力與環向應力。應力的大小、分布以及圓筒的結構，將影響圓筒旋轉過程中的強度和使用壽命，因此，研究與分析這種結構的應力變化情況，對保證其強度和使用壽命及優化設計模型有著重要的意義。

關于圓筒軸對稱載荷分布模型的應力研究，最早是Lame針對平面問題，運用彈性力學理論，提出了內外均布壓力作用下的二維理論解，其結果表明，環向與徑向應力沿筒軸向發生均勻的伸長或收縮，即垂直于筒軸的截面保持為平面[3～5]；1927年伽遼金應用Lame解推導了圓形隧道在均布內壓作用下襯砌應力的計算公式[6,7]；1992年劉東常等以Lame解為基礎，運用疊加方法，求解了環在彎曲應力和徑向力作用下的應力[8]。然而，平面問題的理論解并不能很好地表述三維模型的應力分布情況，如Z軸方向的應力分布情況,因此，出現了針對圓筒結構的空間問題的研究。羅祖道在1979 年建立了單層有限長空心圓柱體在空間軸對稱荷載作用下的變形分析方法[9]；林小松等1990年利用冪級數以及分離變量的方法得到了柱面在線性變化壓力作用下厚壁筒的解析解[10];1997～1999年他又將康托洛維奇變分法和高級康托洛維奇變分法用于空間軸對稱應力問題，導出了荷載為變量z的任意函數時的有限長厚壁圓筒三維軸對稱問題的康氏變分計算公式[11]；侯宇等在1991年利用H變換和Stocke變換求得彈性力學中有限長圓柱體的軸對稱問題的一般解析解[12]。然而，有關轉動圓筒模型在內外壓力作用下的三維強度計算問題，尚未得到理論的解析解。為此，筆者在柱坐標下建立了圓筒三維模型，依據彈性力學的三維微分方程，運用疊加原理，推導了內外均壓作用的轉動圓筒三維模型的空間三維應力解析解。

1 圓筒三維模型的應力解

設筒壁受內壓p1、外壓p2作用，并以角速度ω繞Z軸轉動(Z軸表示圓筒的中心軸向位置)，在柱坐標系下建立圓筒的力學模型，如圖1所示。其中，材料的密度為ρ，泊松比為μ，a為圓筒的內半徑，b是圓筒的外半徑。

基于小變形理論，采用通解加特解的方法給出應力分量表達式，并依據邊界條件求解待定未知量。假設試探應力函數[13]為：

φ(r,z)=A1(8z5-15zr4)+A2(8z5-40z3r2+15zr4)+A3(8z4-3r4)

+A4(2z4-3r2z2)+A5zlnr+A6z3+A7r2z+A8zr2lnr

+A9z3lnr+A10r2lnr+A11z2lnr

(1)

式中:φ(r,z)表示試探應力函數；A1～A11為待定系數；r為圓筒上任一點到z軸的垂直距離，r∈a,b。

試探應力函數滿足雙調和方程[14]，即：

(2)

將式(1)代入應力分量公式：

(3)

可得柱坐標系下圓筒三維模型的應力分量通解表達式：

+2(2μ-1)A7+2(2μ-1)lnr+(4μ-3)A8+6μlnrA9

(4)

+2 2μ-1A7+2 2μ-1lnr+ 4μ-1A8+6μlnrA9

(5)

σz= 3 160 1-μA1-160A2z2+-240 2-μA1+240A2r2

+192 1-μA3-24μA4z+6 1-μA6+4 2-μA7

+4 2-μlnr+1A8+6 1-μlnrA9

(6)

τrz= 2-240 1-μA1+240A2zr+-96 1-μA3+12μA4r

(7)

假設其特解形式為：

(8)

且滿足離心作用下平衡微分方程和相容方程，由小變形下應力的疊加性。上述問題的空間三維應力解析解可表示為：

+2 2μ-1A7+2 2μ-1lnr+ 4μ-3A8

(9)

(10)

σz= 3 160 1-μA1-160A2z2+-240 2-μA1+240A2r2

+192 1-μA3-24μA4z+6 1-μA6+4 2-μA7

(11)

τrz= 2-240 1-μA1+240A2zr+-96 1-μA3+12μA4r

(12)

式(9)～(12)須滿足下述邊界條件：

把邊界條件代入式(9)～(12)，可求待定系數，從而可獲得旋轉圓筒在均布內外壓力作用下的空間三維應力分量解析式：

(13)

2 應力分析

由式(13)可以看出，其徑向應力與環向應力是由圓筒中心線繞Z軸純轉動的應力分量與Lame應力分量解的線性疊加。對比上述問題的平面二維應力分量解：

(14)

二者具有一定的一致性。

對于徑向應力，三維與二維的誤差為：

15)

(16)

從而可看出，在材料一定的情況下，最大誤差隨角速度的增大而增大，因此，在高轉速過程中，使用平面二維應力解表示徑向應力應予以謹慎。

對于環向應力，三維與二維的誤差：

(17)

且為單調減函數，在r=a時有最大環向應力誤差：

(18)

再次說明最大誤差隨角速度的增加而呈平方增加，平面二維應力解在工程應用中須謹慎。

3 算例分析

GQ142G高速管式分離機是一種廣泛應用于生物制品、化工、制藥、飲料等行業的分離機械。以其轉鼓為研究對象，其主要的技術參數如表1所示。

徑向與環向的平面二維應力和空間三維應力分布如圖2和圖3所示。計算可知，徑向誤差最大值為4.64%，環向誤差最大值為1.09%，二者的應力曲線分布具有一定的一致性。

表1 GQ142G高速管式分離機轉鼓主要技術參數

圖2 平面二維與空間三維徑向應力分布 圖3 平面二維與空間三維環向應力分布

利用材料力學第四強度理論：

(19)

計算得出平面與空間應力解的最大相對誤差為0.85%，其應力曲線分布如圖4所示。在r=a=0.06m處，有最大的應力值。當內徑a=0.06m固定時，最大應力值隨著外徑b的變化而變化，如圖5所示。從圖5中可以看出，曲線存在一個外徑b0，使得圓筒的應力最小，即當內徑一定時，存在一個最優的壁厚，使得圓筒應力最小。該結果可以為旋轉圓筒壁厚的優化設計提供一定的理論依據。

圖4 第四強度理論空間三維應力與二維應力解的比較 圖5 最大應力隨外徑變化的分布

4 結論

1)旋轉圓筒在內外均布壓力作用下的環向與徑向應力解析式可看成是由純轉動效果所得應力疊加純壓力作用的應力(Lame應力分量表達式)，從形式上可以看出，其空間三維應力分量解與平面二維應力分量解具有一定的一致性。

2)經應力分量的誤差分析可知，其環向與徑向應力的最大誤差只與材料的屬性及轉速有關。即當材料一定時，其誤差的變化與轉速的平方成正比，在高轉速情況下，平面二維應力分量的應用須校對誤差。

3)以工程用GQ142G高速管式離心機轉鼓的實際數據為例，不考慮標準化問題，基于誤差分析方法，對空間三維應力解析解與平面二維應力解進行了比較，同時也給出了其轉鼓厚度設計優化的理論依據。