基于空時(shí)頻輸出矩陣的盲波束形成算法

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(陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū)， 河北石家莊 050003)

0 引 言

陣列信號(hào)處理在無線通信、雷達(dá)信號(hào)處理、水聲探測(cè)、醫(yī)學(xué)診斷等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用[1-2]。例如在空地雙基地雷達(dá)中，雷達(dá)系統(tǒng)由無人機(jī)搭載發(fā)射器，如果采用傳統(tǒng)的脈沖追趕方式[2]，要求比較高的時(shí)間準(zhǔn)確度和空間定位精度。但在實(shí)際情況中，由于空中平臺(tái)的穩(wěn)定度較低，發(fā)射波束指向不穩(wěn)定，導(dǎo)致來波方向無法與實(shí)際情況相符，造成一定的空域覆蓋損失。而盲波束形成算法只需要一定的先驗(yàn)信息而不需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)，是陣列天線在復(fù)雜環(huán)境中有效工作的迫切要求。

現(xiàn)有的盲波束形成算法中，最常見的比如利用信號(hào)的恒模特性[3]、循環(huán)平穩(wěn)特性[4]、高階統(tǒng)計(jì)量特性[5]等。但是其主要適用于窄帶信號(hào)的分析中。國內(nèi)分析寬帶信號(hào)的文獻(xiàn)較少。其思路一般是將其理解為卷積混合盲源分離問題[6-7]，再利用盲解卷積算法進(jìn)行求解。盲解卷積算法主要包括時(shí)域算法和頻域算法兩大類[8]。時(shí)域算法需要設(shè)計(jì)FIR濾波器達(dá)到解卷積的目的，而濾波器階數(shù)上升會(huì)造成計(jì)算量大幅增加，并且系統(tǒng)的穩(wěn)定性也是必須考慮的問題。頻域算法主要是利用傅里葉變換，將時(shí)域問題轉(zhuǎn)換為頻域問題，將一個(gè)卷積混合問題轉(zhuǎn)化為瞬時(shí)混合問題，利用時(shí)域上的盲分離算法如H-J擴(kuò)展算法即可完成波束形成。但是由于各頻點(diǎn)輸出獨(dú)立，存在子帶輸出排序上的模糊問題，導(dǎo)致性能下降。

文獻(xiàn)[9-11]將時(shí)頻分析理論應(yīng)用到盲波束形成算法中，通過在時(shí)頻域上的分析估計(jì)出導(dǎo)向矢量，在性能方面較之傳統(tǒng)的波束形成有一定的優(yōu)勢(shì)，但是計(jì)算過于繁瑣。本文從寬帶信號(hào)的特性出發(fā)，利用分?jǐn)?shù)階模型分析提取信號(hào)。理論分析和仿真實(shí)驗(yàn)表明，在快拍數(shù)較少、信噪比較低的情況下，所提算法具有更好的有效性和穩(wěn)健性。

1 信號(hào)模型

1.1 寬帶信號(hào)模型

有M陣元的均勻線陣，以第一個(gè)陣元為參考原點(diǎn)，陣元間隔是d。假設(shè)有Q個(gè)線性調(diào)頻信號(hào)入射到平面上，第m個(gè)陣元的輸出為

(1)

式中,τm,q=(k-1)dsinθq/C,sq(t)=ejπ(2fq0t+μqt2),C為光速，τm,q為第q個(gè)信號(hào)關(guān)于參考陣元的延時(shí)，fq0為第q個(gè)信號(hào)的初始頻率，μq為第q個(gè)信號(hào)的調(diào)頻率，nm(t)為與信號(hào)無關(guān)的高斯白噪聲，θq為第q個(gè)信號(hào)的入射角度。

寫成向量的形式：

(2)

式中，第q個(gè)信號(hào)的導(dǎo)向矢量是

aq(t)=[1 e-j2π(fq0+μqt)τ1,qejπμq(τ1,q)2…

e-j2π(fq0+μqt)τM,qejπμq(τM,q)2]T

(3)

1.2 信號(hào)的分?jǐn)?shù)階域模型

(4)

式中，T為觀測(cè)時(shí)間長度。為了能在離散域進(jìn)行計(jì)算，采用Ozaktas的離散算法[12]，得到離散的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換。以采樣率Fs對(duì)sq(t)完成時(shí)域上的離散：

s1,q(n)=ejπ(2fq0(n/Fs)+μq(n/Fs)2)

(5)

對(duì)其進(jìn)行分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，對(duì)應(yīng)最優(yōu)階數(shù)αq0=-cot-1(μq)：

(6)

對(duì)每個(gè)陣元的接收數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)階次分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，可得

Sm,q(αq0,km,q)=Am,q(τm,q)S1,q(αq0,k)

(7)

Am,q(τm,q)=ejπ/Nτm,q(-2kq0Fscscαq0)ejπ/N(τm,q)2(-Fs2sinαq0cosαq0)

(8)

綜合所有陣元的輸出可得

(9)

由于線性調(diào)頻信號(hào)在最優(yōu)階的變換下除峰值點(diǎn)以外其他取值比較小，可以把它看作干擾項(xiàng)略去。改寫為

X(αq0,km,q)=Aq,m(τm,q)Sq(αq0,kq0)+

Nm(αq0,km,q)

(10)

(11)

考慮到模型建立與實(shí)際情況的關(guān)系，下面的分析中做出以下3點(diǎn)假設(shè)：

1) 調(diào)頻率不一樣，可以將其分離；

2) 信號(hào)的來向不同，也就是導(dǎo)向矢量之間是相互獨(dú)立的；

3) 采集到的信號(hào)是一個(gè)脈沖內(nèi)的信號(hào)。

2 基于分?jǐn)?shù)階傅里葉域?yàn)V波的盲波束形成算法

對(duì)于線性調(diào)頻信號(hào)而言，分?jǐn)?shù)階傅里葉變換具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在最優(yōu)階的變換下具有最好的能量聚集性。據(jù)此可以把信號(hào)的能量集中于很小的一個(gè)部分，通過濾波的方式獲得信號(hào)的大部分能量，根據(jù)這些信息便可以很好地估計(jì)出實(shí)驗(yàn)需要的導(dǎo)向矢量，再根據(jù)波束形成算法對(duì)特定的方向完成接收和抑制的作用。

2.1 分?jǐn)?shù)階傅里葉域峰值濾波

通過上述分析可知，在最優(yōu)階數(shù)下，線性調(diào)頻信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域會(huì)出現(xiàn)能量的聚集效應(yīng)，也就是會(huì)出現(xiàn)單峰值點(diǎn)，這個(gè)峰值就是線性調(diào)頻信號(hào)在分?jǐn)?shù)階域的表示，它包含了線性調(diào)頻信號(hào)的所有信息，如圖1所示。據(jù)此，可以構(gòu)造一個(gè)峰值濾波器，最大限度地分離特征不同的信號(hào)，并且濾除噪聲。

(a) 有用信號(hào)在不同階下的幅值分布

(b) 干擾信號(hào)在不同階下的幅值分布圖1 不同信號(hào)的幅值分布圖

2.2 導(dǎo)向矢量的估計(jì)

(12)

(13)

由式(13)可得每個(gè)信號(hào)的估計(jì)導(dǎo)向矢量，其中q表示第q個(gè)信號(hào)，m表示第m個(gè)陣元。

2.3 干擾協(xié)方差矩陣

濾波后得到的干擾信號(hào)同樣對(duì)其作分?jǐn)?shù)階域的峰值濾波，得到與有用信號(hào)導(dǎo)向矢量估計(jì)相似的干擾導(dǎo)向矢量估計(jì)，而對(duì)其作協(xié)方差的運(yùn)算即可得到MVDR準(zhǔn)則中的關(guān)于分?jǐn)?shù)階域的空時(shí)頻輸出矩陣協(xié)方差矩陣：

(14)

計(jì)算時(shí)為了提高整個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)健性，采用文獻(xiàn)[13]中提到的對(duì)角加載技術(shù)改造協(xié)方差矩陣，如下式：

(15)

式中，load表示加載系數(shù)，具體數(shù)值根據(jù)環(huán)境中的信噪比確定。

2.4 波束形成

根據(jù)MVDR波束形成理論，得到導(dǎo)向矢量和干擾協(xié)方差矩陣，如下式計(jì)算權(quán)值：

(16)

根據(jù)Lagrange乘數(shù)法，可以得到最終需要的最優(yōu)權(quán)矢量，通過最優(yōu)權(quán)矢量便可以形成所需要的波束：

(17)

2.5 算法分析

文獻(xiàn)[8]的運(yùn)算主要集中在時(shí)頻變換的計(jì)算上，本文算法的計(jì)算量主要集中在分?jǐn)?shù)階域?yàn)V波上，利用FFT算法可以極大程度地減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算效率。具體運(yùn)算量對(duì)比如表2所示。

通過分析可知，文獻(xiàn)[8]算法隨著N的增大快速增加，而本文算法利用FFT算法可以很好地降低運(yùn)算量，且FFT算法在工程實(shí)踐中已經(jīng)有成熟的算法，所以該算法在工程實(shí)踐中有更好的應(yīng)用前景。

表1 本文算法

表2 運(yùn)算量對(duì)比分析

注：P表示需要做P次(本文取100次)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換，M表示陣元數(shù)，N表示采樣點(diǎn)數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果與分析

考慮有8個(gè)陣元的均勻線陣，陣元間距是信號(hào)最小波長λmin的一半，為了不失一般性，有兩個(gè)遠(yuǎn)場信號(hào)射入。假設(shè)一個(gè)是寬帶信號(hào)s1，入射角是-25°，調(diào)頻范圍是90～100 MHz，中心頻率是95 MHz，相對(duì)帶寬滿足寬帶條件。另一個(gè)是寬帶信號(hào)s2，入射角是0°，中心頻率是142.5 MHz，調(diào)頻范圍是135～150 MHz，相對(duì)帶寬滿足寬帶條件。輸入干噪比等于輸入信噪比。設(shè)置不同的仿真條件，假設(shè)s1是有用信號(hào)，s2是干擾信號(hào)，進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)，將本文算法與頻域[8]以及時(shí)頻域[9]算法進(jìn)行對(duì)比，分析總結(jié)算法性能。

實(shí)驗(yàn)一 不同輸入信噪比下的輸出信干噪比

實(shí)驗(yàn)條件是信噪比由-20～20 dB，步長是 5 dB，采樣頻率是400 MHz的情況下。比較本文算法與頻域[8]算法以及時(shí)頻域[9]算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化趨勢(shì)。仿真結(jié)果如圖2所示。

“統(tǒng)一戰(zhàn)線具有內(nèi)蘊(yùn)的共同體理論基因、豐富的共同體表現(xiàn)形式、獨(dú)特的共同體力量功能，這是統(tǒng)一戰(zhàn)線成為我們黨的重要法寶的理論原理所在。”［9］由于統(tǒng)一戰(zhàn)線是政治聯(lián)盟，統(tǒng)一戰(zhàn)線所構(gòu)建的共同體主要是政治共同體。統(tǒng)一戰(zhàn)線與共同體的邏輯關(guān)聯(lián)表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

如圖2所示，在信噪比較低的時(shí)候，由于分?jǐn)?shù)階傅里葉變換具有較好的能量聚集性，本文算法可以較好地識(shí)別信號(hào)。而頻域和時(shí)頻域的方法由于受到噪聲的影響更大，恢復(fù)性能有較大限制。

圖2 輸出信干噪比與輸入信噪比的關(guān)系

實(shí)驗(yàn)二 不同快拍數(shù)下的形成質(zhì)量

在同樣的信噪比(SNR=10 dB)下,設(shè)置不同的采樣率從100～400 MHz，快拍數(shù)分別是80,120,160,200,240,280,320。比較時(shí)頻域[9]的算法和本文算法在不同快拍數(shù)下的區(qū)別，仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同快拍數(shù)下的輸出信干噪比

如圖3所示，在低快拍數(shù)的情況下本文算法具有較好的性能，時(shí)頻域算法的性能要略差一些。

實(shí)驗(yàn)三 波束形成的魯棒性仿真分析

在導(dǎo)向矢量誤差為1°的情況下，設(shè)置信噪比是-40～40 dB，步長是5 dB，采樣頻率是400 MHz。比較本文算法與頻域[8]、時(shí)頻域[9]算法的輸出信干噪比隨輸入信噪比的變化趨勢(shì)，仿真結(jié)果如圖4所示。

通過圖4可以看出，當(dāng)估計(jì)導(dǎo)向矢量1°的誤差時(shí)仿真的3種算法性能都有所下降，但是本文算法能隨著輸入信噪比的提高能較快地趨向最優(yōu)，說明本文算法的魯棒性較好。

圖4 導(dǎo)向矢量誤差1°時(shí)的輸出信干噪比

實(shí)驗(yàn)四 一定條件下的波束形成圖

在信噪比(SNR=10 dB)下,設(shè)置采樣率是400 MHz，入射角是-25°，調(diào)頻范圍是90～100 MHz，中心頻率是95 MHz。根據(jù)本文方法計(jì)算波束圖。

通過圖5可以看出，本文方法形成的波束指向較為穩(wěn)定，可以較好地接收信號(hào)。但是副瓣電平較高，接近-10 dB，對(duì)波束形成的穩(wěn)定性造成了不良影響。

圖5 波束形成圖

4 結(jié)束語

波束形成算法中傳統(tǒng)的時(shí)頻分析方法計(jì)算量較大，當(dāng)需要快速探測(cè)時(shí)，會(huì)有較大的遲滯。本文利用線性調(diào)頻信號(hào)在分?jǐn)?shù)階傅里葉域具有能量聚集的特性，采用峰值濾波的方式構(gòu)造空時(shí)頻輸出矩陣，并估計(jì)導(dǎo)向矢量，實(shí)現(xiàn)寬帶信號(hào)的波束形成。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在低信噪比、計(jì)算量較少的情況下，可得到較好的輸出性能。但是波束的旁瓣較高，需要進(jìn)一步提高波束的穩(wěn)定性，這也成為下一步的研究重點(diǎn)。