量綱方法與彈簧振子周期的二級質(zhì)量修正

周國全 祁 寧

(武漢大學物理科學與技術學院，湖北 武漢 430072)

關于彈簧質(zhì)量對諧振周期的影響, 其研究結論已散見于各種文獻[1-4]，一般是根據(jù)彈性理論建立振動微分方程加以解決。本文介紹一種簡便而實用的方法——量綱方法[5-9]，配合實驗研究，可以在不求解彈簧諧振動系統(tǒng)的振動微分方程的情況下同樣得出正確的諧振周期一、二級修正公式

(1)

及

(2)

其中，M，m分別為彈簧振子及彈簧本身的質(zhì)量；k為彈簧的勁度系數(shù)。通過這一實例，可以體會到量綱理論在物理教學研究中的輔助作用。

1 量綱和諧原理與Π定理的應用

量綱和諧原理要求：支配物理現(xiàn)象的數(shù)學物理方程的等號兩側的量綱表達式必須是相同的，亦即所涉及的各基本單位的量綱指數(shù)必須是獨立而唯一的。這是量綱理論的基本要求。

具體研究思路如下：首先根據(jù)量綱和諧原理的要求，用量綱方法確定(M，m，k)振動系統(tǒng)周期T的基本形式，求出基本形式中各未知指數(shù)；尋找和構造若干獨立的無量綱量，再根據(jù)Π定理，建立各無量綱量之間的函數(shù)關系，其中某些待定系數(shù)(或參量)可以通過理想情況或極限、特例情形的泰勒級數(shù)展開、精確的實驗數(shù)據(jù)、巧妙的線性擬合技術加以確定。

以均勻直螺旋彈簧振子系統(tǒng)(M，m，k)為例，決定其周期T的因素如下：

① 彈簧勁度系數(shù)k；

② 振子質(zhì)量M;

③ 彈簧的質(zhì)量m。

量綱理論指出，周期T作為這一振動系統(tǒng)的一個特征物理量, 必然滿足

T=CMαkβ

(3)

其中,α,β為待定常數(shù)指數(shù)；C是與一些無量綱量有關的因子。

設基本量綱為[L]=L,[T]=T；[M]=M；則[k]=牛頓/米=MT-2，量綱和諧原理要求[4，5]：等式(3)兩側的量綱表達式必須相同，故有

L0M0T1=Mα·(MT-2)β=L0Mα+β·T-2β

根據(jù)基本物理量(質(zhì)量M與時間T)的量綱獨立性，必有如下待定指數(shù)方程組

于是

(4)

作為范例之一，為了運用Π定理以分析這一振動過程的周期關于勻質(zhì)彈簧質(zhì)量的函數(shù)關系，我們要尋找和構造若干與問題相關的無量綱量。這在量綱分析理論中有一定程序化的手續(xù)[5-9]，比較繁復。為了避免復雜的代數(shù)(如矩陣)運算，我們憑經(jīng)驗構造如下兩個無量綱量。將有質(zhì)量彈簧振子系統(tǒng)(M，m，k)的周期T與理想振子系統(tǒng)(M，0，k)的周期T0的公式

(5)

相比較，很明顯我們可以構造一個有理化的獨立的無量綱量μ

μ≡(T/T0)2

(6)

彈簧質(zhì)量m與振子質(zhì)量M之比，構成了另一獨立的無量綱量ν

ν≡m/M

(7)

必須指出，我們憑觀察和經(jīng)驗構造了兩個無量綱量，當然可能遺漏其他獨立的無量綱量，根據(jù)量綱分析方法中著名的Π定理，對于一個受到確定物理規(guī)律支配的、具有決定論性質(zhì)的系統(tǒng)，這些無量綱量之間必定存在著某種確定的函數(shù)關系[5-9]：

Π(μ,ν,…)=0

(8a)

式(8a)等價于如下隱函數(shù)關系

μ=F(ν,…)

(8b)

相應于一個平穩(wěn)連續(xù)的物理過程，除了物理狀態(tài)的突變臨界點之外，這個函數(shù)一定是光滑、連續(xù)而可微的。在此我們只關心無量綱參量μ隨ν而變化的規(guī)律，在無量綱參量ν?1，而其他無量綱量不變的情況下，我們對函數(shù)F(ν)在ν=0+附近作泰勒級數(shù)展開：

(9)

其中ci，(i=0，1，2，…，n，…)，是待定常系數(shù)。

2 理想情形與周期修正公式

由此可得c0=1。當ν=m/M?1時，僅保留式(9)中ν的一次方項，而略去ν的高階無窮小項，可得

μ?1+c1ν

(10)

代入式(6)、式(7)，可得彈簧諧振周期的一級修正公式

(11)

這里c1為待定系數(shù)。式(11)表明，彈簧質(zhì)量m對于諧振周期T的影響，即相當于以一定的折合質(zhì)量c1m加入到振子質(zhì)量M中去。在平面直角坐標系(μ,ν)中, 式(10)表示的μ與ν關系為一條斜率為c1，縱截距為1的射線(ν≥0)。當ν<1但不太小時，還可保留式(9)中的二次項，則有

μ=1+c1ν+c2ν2

(12)

代入式(6)，式(7)，可得彈簧諧振周期的二級修正公式

(13)

其中c1,c2也可通過精確的實驗數(shù)據(jù)與巧妙的線性擬合技術求出。式(12)可化為

λ≡(μ-1)/ν=[(T/T0)2-1]/ν=c1+c2ν

(14)

其中λ與ν是一線性關系，c2為直線的斜率。

3 修正系數(shù)c1及c2的實驗測定

實驗結果表明：

值得提醒的是，實際上式(16)中的c2之值通過實驗測量的誤差很大，因為由c2帶來的二階修正值實際上已淹沒在實驗的偶然誤差之下。姑且將它用如下理論修正值代替。基于彈簧的彈性理論, 建立起受載彈簧的振動的微分方程, 我們同樣可求出彈簧質(zhì)量對于振動周期的修正公式。理論上可導出[1]：

c1=1/3;c2=-1/9

(17)

于是彈簧諧振的周期的一級、二級修正公式分別為

這與我們用量綱方法及實驗研究的結果正相吻合, 充分地證明了用量綱方法指導物理研究的方法論意義，其有效性與重要性毋庸低估。

4 結論

量綱方法之能有效地應用于科學研究，有其深刻的理論依據(jù)和厚實的實踐基礎。由于研究對象的結構多樣性與運動復雜性，一些情況下我們無法建立嚴格有效的數(shù)理方程。所幸盡管存在困難，我們?nèi)阅芙柚烤V理論而得到一些富有啟發(fā)意義的東西，在一些情形能夠?qū)С銎湮锢硪?guī)律的基本函數(shù)關系，在某些情形甚至能精確到僅差一個待定常數(shù)因子[9,11,12](如流體力學中的某些問題)。這給進一步的理論與實驗研究提供了極有指導或參考意義的初始結論，正如前述范例所述。

量綱方法所得到的初步結論可以通過如下4種方法加以驗證：(1)必須遵守量綱和諧原理，假定的函數(shù)方程的表達式中，各基本單位所要求滿足的指數(shù)待定方程組必須是自治的。(2)用極限情形或理想情況下的已知結論去加以檢驗，或確定其中的某些參數(shù)。(3)用系統(tǒng)可能具有的對稱性或周期性等特點去加以驗證，或確定某些參數(shù)。(4)用實驗結果加以直接檢驗，這是最根本、也是最終的檢驗方法。

總之，量綱理論與量綱方法不僅在科學研究中具有不可忽視的指導作用，而且在現(xiàn)代工程技術中也有重要的應用。工程上常用的相似模擬手段就直接來源于量綱理論，模擬的相似性判據(jù)更是量綱理論的直接結論。本文表明，量綱理論與量綱方法作為方法論的應用價值不容忽視。