不可約內(nèi)部算子和不可約閉包算子

徐款款，盧 濤

(淮北師范大學數(shù)學科學學院，安徽淮北 235000)

偏序集上的內(nèi)部算子和閉包算子[1]是對點集拓撲學中的內(nèi)部和閉包的抽象和完善.很多學者對它進行了研究，路玲霞[2]、姚衛(wèi)[3]分別給出內(nèi)部算子和閉包算子與伴隨的關(guān)系及其性質(zhì).本文在格上給出不可約閉包算子和不可約內(nèi)部算子的定義，并研究了相關(guān)性質(zhì)及其等價刻畫，進一步豐富了偏序集上的算子理論.

1 預備知識

定義1.1[4]設L是格，a∈L，(1)設a≠1，若?x,y∈L，當x∧y=a時，有x=a或y=a，則稱a是L的交既約元；(2)設a≠0，若?x,y∈L，當x∨y=a時，有x=a或y=a，則稱a是L的并既約元.

定義1.2[5]設S和T是偏序集，f:S→T,g:T→S是映射，若(1)f和g都是保序映射；(2)?s∈S,t∈T，f(s)≥t?s≥g(t)，則稱偶對(f,g)是S和T上的Galois伴隨(簡稱伴隨).其中，f稱為上伴隨，g稱為下伴隨.

定義1.3[6]設L是半格，F(xiàn):L→L是映射，對任意的a∈L，設a≠1，如果對一切的x,y∈L，當F(x∧y)≤a時，有F(x)≤a或F(y)≤a，則稱F為L上的素內(nèi)部算子.

定義1.4[6]設L是并半格，F(xiàn):L→L是映射，對任意的a∈L，設a≠0，如果對一切的x,y∈L，當F(x∨y)≥a時，有F(x)≥a或F(y)≥a，則稱F為L上的素閉包算子.

2 不可約內(nèi)部算子與不可約閉包算子

定義2.1 設L是半格，F(xiàn):L→L是保序映射，對任意的a∈L，設a≠1，如果對任意的x,y∈L，當F(x∧y)=a時，有F(x)=a或F(y)=a，則稱F為L上的不可約內(nèi)部算子.

定義2.2 設L是并半格，F(xiàn):L→L是保序映射，對任意的a∈L，設a≠0，如果對任意的x,y∈L，當F(x∨y)=a時，有F(x)=a或F(y)=a，則稱F為L上的不可約閉包算子.

顯然，根據(jù)不可約內(nèi)部算子和不可約閉包算子定義,有以下結(jié)論：(1)設L是格，若L上的恒等映射F:L→L是保序映射，a∈L,a≠1，且a是L的交既約元，則F為L上的不可約內(nèi)部算子；(2)設L是格，若L上的恒等映射F:L→L是保序映射，a∈L,a≠0，且a是L的并既約元，則F為L上的不可約閉包算子.

命題2.1 設L是半格，F(xiàn):L→L是半格同構(gòu)映射，對?a∈L，若F為不可約內(nèi)部算子，則a是L上的交既約元.

證明 設a≠1，對?x,y∈L，當x∧y=a時，由F保序知，F(xiàn)(x∧y)=F(a).因為F為不可約內(nèi)部算子，則F(x)=F(a)或F(y)=F(a).由F逆保序知，x=a或y=a，故a是L上的交既約元.

相應地，有以下命題：

命題2.2 設L是并半格，F(xiàn):L→L是并半格同構(gòu)映射，對?a∈L，若F為不可約閉包算子，則a是L上的并既約元.

定理2.1 設(f,g)是格S和T上的伴隨且f保并，g保交，(1)若任意的a∈T是并既約元，則gf是不可約閉包算子；(2)若任意的a∈S是交既約元，則fg是不可約內(nèi)部算子.

證明 (1)?x,y∈T，若fg(x∨y)=a，則fg(x)∨fg(y)=a.因為a是并既約元，則fg(x)=a或fg(y)=a，故fg是不可約閉包算子.

(2)?x,y∈S，若fg(x∧y)=a，則fg(x)∧fg(y)=a.因為a是交既約元，則fg(x)=a或fg(y)=a，故fg是不可約內(nèi)部算子.

接下來給出不可約閉包算子和不可約內(nèi)部算子與素閉包算子和素內(nèi)部算子的關(guān)系：

定理2.2 設L是分配格，F(xiàn):L→L是保序映射，則(1)F是素內(nèi)部算子當且僅當F是不可約內(nèi)部算子；(2)F是素閉包算子當且僅當F是不可約閉包算子.

證明 (1)設F是不可約內(nèi)部算子，若?x,y∈L,?a∈L,F(x∧y)≤a，則由分配律可知，a=F(x∧y)∨a=a∨(F(x)∧F(y))=(a∨F(x))∧(a∨F(y))，則a=a∨F(x)或a=a∨F(y)，從而F(x)≤a或F(y)≤a，故F是素內(nèi)部算子.

反過來，設F是素內(nèi)部算子，若?x,y∈L,?a∈L,F(x∧y)=a，則F(x∧y)≤a且F(x∧y)≥a，當F(x∧y)≤a時，F(xiàn)(x)≤a或F(y)≤a；當F(x∧y)≥a時，a≤F(x)或a≤F(y)，故F(x)=a或F(y)=a，F(xiàn)是不可約內(nèi)部算子.

類似可證結(jié)論(2).

定理2.3[4]設L是格，F(xiàn)是L上的閉包算子，對任意的a∈F(L)，則F是格L上的素內(nèi)部算子當且僅當主理想↓(F(a))是素理想.

定理2.4[4]設L是格，F(xiàn)是L上的內(nèi)部算子，對任意的a∈F(L)，則F是格L上的素閉包算子當且僅當主濾子↑(F(a))是素濾子.

根據(jù)定理2.2、定理2.3和定理2.4有以下結(jié)論：

定理2.5 設L是分配格，F(xiàn)是L上的閉包算子，對任意的a∈F(L)，則F是格L上的不可約內(nèi)部算子當且僅當主理想↓(F(a))是素理想.

定理2.6 設L是分配格，F(xiàn)是L上的內(nèi)部算子，對任意的a∈F(L)，則F是格L上的不可約閉包算子當且僅當主濾子↑(F(a))是素濾子.

定理2.7 設L是完備格，映射{gi}i∈I:L→L保序，(1)對任意的a∈L，若a是交既約元，則L上的所有不可約內(nèi)部算子構(gòu)成的集合是完備格；(2)對任意的a∈L，若a是并既約元，則所有不可約閉包算子構(gòu)成的集合是完備格.

證明 設任意的映射{gi}i∈I是不可約內(nèi)部算子，設g=∧i∈Igi，則g保序.任意的a∈L,a≠1，?x,y∈L，當∧i∈Igi(x∧y)=a時，即(∧i∈Igi(x))∧(∧i∈Igi(y))=a，又因為a是交既約元，故∧i∈Igi(x)=a或∧i∈Igi(y)=a，從而∧i∈Igi是不可約內(nèi)部算子，即所有不可約內(nèi)部算子構(gòu)成的集合對任意交封閉，故L上的所有不可約內(nèi)部算子構(gòu)成的集合是完備格.

同理可證，L上的所有不可約閉包算子構(gòu)成的集合是完備格.

設f是不可約內(nèi)部算子，g是不可約閉包算子，令Lf={a∈L:f(a)=a},Lg={a∈L:g(a)=a}，若f,g冪等，則Lf，Lg非空.若L是完備格，則Lf是交完備子格(即對任意交封閉)，Lg是并完備子格(即對任意并封閉).

定理2.8 設L是完備格，映射f:L→L是冪等的，若存在L的并完備格子格L1，使?a∈L，都有f(a)=∨↓L1a成立，其中↓L1a={x∈L:x≤a}，則f是素內(nèi)部算子.

證明 ?a,b∈L，使a≤b，則↓L1a?↓L1b，從而∨↓L1a?∨↓L1b，即f(a)≤f(b)，從而f保序.因為f(a∧b)=f(b)=↓L1b={x∈L:x≤b}≤b，又因為f冪等，則a=f(a)≤f(b)=b≤b，從而f(a)≤b或f(b)≤b，故f是素內(nèi)部算子.

定理2.9 設L是完備格，映射f:L→L是冪等的，若存在L的交完備格子格L1，使?a∈L，都有f(a)=∧↑L1a成立，其中↑L1a={x∈L:x≥a}，則f是素閉包算子.

最后給出關(guān)于布爾代數(shù)上的不可約閉包算子與不可約內(nèi)部算子的等價刻畫.

設L是布爾代數(shù)，:L→L是相應的補運算(即滿足?a∈L,a∧a=0,a∨a=1).易知，:L→L為逆合對應，即?x,y∈L,x≤y?x≥y.證明過程可見參考文獻[7].

定理2.10 設L是布爾代數(shù)，:L→L是補運算，對?a∈L，若f是不可約內(nèi)部算子，g是不可約閉包算子，則f是不可約閉包算子，g是不可約內(nèi)部算子.