數形結合解數學題

張筱溪

數形結合巧妙地將直觀的空間圖形與抽象的數量關系有機結合，其實質是數與形的相互轉換，是數學解題中不可或缺的基本策略。

我在數學解題中重視數形結合思想的應用，優化了解題途徑，提高了解題效率。

一、由“數”想“形”，以“形”助“數”

對于某些數學問題，其代數式在變形之后往往有一定的幾何意義，如代數中的二元一次方程與幾何中直線的截距緊密相聯，比值則與兩點連線的斜率息息相關。

我在解題過程中，注重思考由“數”想“形”，以“形”助“數” ，常常將代數問題幾何化，將抽象問題轉化為更加直觀的問題，從而快速找到解題的突破口。

例1：若方程x2+2ax+k=0的兩個實根在方程x2+2ax+a-4=0的兩根之間，試求參數a與k應滿足的關系式。

解析：畫出x2+2ax+k=0和x2+2ax+a-4=0對應的二次函數y1=x2+2ax+k，y2=x2+2ax+a-4的圖象，如圖1。

觀察該圖象可知，這兩個函數圖象均為開口向上，形狀相同，且存在公共對稱軸的拋物線。要使方程x2+2ax+k=0的兩個實根在方程x2+2ax+a-4=0的兩根之間，意味著與其對應的函數圖象y1與x軸的交點應在函數y2與x軸的交點之內，相當于拋物線y1的頂點縱坐標應小于或等于零，且大于拋物線y2的頂點縱坐標。

由配方法可知，拋物線y1和y1的頂點分別為P1（-a， -a2+k），P2（-a， -a2+a-4），所以-a2+a-4≤-a2+k≤0，從而求出a與k應滿足的關系式為a-4≤k≤0。

二、由“形”化“數”，以“數”解“形”

對于某些幾何問題，若直接利用幾何方法求解不易入手，我會觀察圖形，分析已知條件和所求目標的特點，由“形”化“數”，以“數”輔“形”，將題目中的圖形用代數式表示出來，使幾何問題代數化，從而化難為易。

例2：已知A、B為平面上的兩定點，C為平面上位于直線AB同側的一個動點，分別以AC、BC為邊，在ABC外側作正方形CADF、CBEG，求證：無論C點取在直線AB同側的任何位置，DE的中點M的位置均不變。

分析：由于D、E隨著C的變化而變化，但M為定點，故用幾何方法求證難度較大，此時若能轉換思維，以“數”解“形”， 以C點坐標為參量，以AB的中點為坐標原點，建立復平面，證得M點坐標不隨C點的變化而變化，即可以使問題迎刃而解。

證明：以AB的中點為坐標原點，直線AB為實軸，建立復平面，如圖2所示。設A、B、C對應的復數分別為-a，a，x+yi，其中a、x、y∈R，則 =zC-zA=（x+a）+yi， = ，i=-y+（x+a）i= = ，所以 = - =-（a+y）+（a+x）i，D點的坐標為（-y-a，a+x）。同理，可得E點的坐標為（y+a，a-x），根據中點公式，可知DE的中點M的坐標為（0，a），它只與AB的長度有關，與C點位置無關的點，所以，無論C點取在直線AB同側的任何位置，DE的中點M的位置均不變。

總之，在平時數學解題中，我比較注重靈活滲透數形結合的思想，盡量運用數形結合的方法解題，從而學會從形的直觀性和數的嚴謹性兩方面思考和分析問題，使代數問題幾何化，幾何問題代數化，復雜問題簡單化，抽象問題直觀化，久而久之不但開拓了解題思路，而且優化了思維品質，提升了數學解題能力。