“六招”輔助線解決全等三角形證明問題

陳莉麗

(湖北省宜昌市第十九中學(xué) 443000)

一、連接線段構(gòu)造共邊三角形全等

例1 已知：如圖AD=BC,AC=BD.求證：∠C=∠D.

此題是一道易錯(cuò)的全等三角形證明題，很多學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤的證明△ADO和△BCO全等，容易忽略線段AC和BD并不是要證明的△ADO和△BCO的對應(yīng)邊.此題正確的解法應(yīng)是連接AB或者DC，然后利用“邊邊邊”證明△ABC和△BAD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等證明即可．

二、中線倍長構(gòu)造對頂三角形全等

例2 已知：如圖,在三角形ABC中,點(diǎn)O為BC的中點(diǎn),點(diǎn)M為AB上一點(diǎn),ON垂直O(jiān)M交AC于N.求證：BM+CN>MN.

證明兩條線段的和大于第三條線段，通常把這三條線段集中到一個(gè)三角形中，再利用三角形的三邊關(guān)系解答.當(dāng)題目中出現(xiàn)中點(diǎn)或中線時(shí)，往往是解題的突破口，通過倍長中線構(gòu)造對頂三角形全等，將分散的條件集中，很好地詮釋了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想.

證明延長NO至點(diǎn)P,使得ON=OP,連接BP，MP.∵BO=CO,∠NOC=∠POB,ON=OP，∴△OBP≌△OCN，∴BP=CN.OP=ON.又∵OM⊥ON,OM=OM，∴△ONM≌△OPM，∴NM=MP，在△BMP中,BM+BP>MP，∴CN+BM>MN.

三、半角模型構(gòu)造三角形全等

例3 如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=BC，E、F分別在AD，CD上，且∠EBF=60°.求證：EF=AE+CF.

這是一道典型的“半角”模型題，所謂半角模型是指共端點(diǎn)的等線段及共頂點(diǎn)的倍半角圖形，通過旋轉(zhuǎn)或翻折可以構(gòu)造全等，將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)，從而解決問題.

證明延長DC至M，使CM=AE.在△ABE和△CBM中，CM=AE，∠BCM=∠A=90°，AB=BC，∴△ABE≌△CBM(SAS).∴BM=BE，∠CBM=∠ABE.∵∠D=60°，∠A=∠C=90°，∴∠ABC=360°-60°-90°×2=120°.∵∠EBF=60°，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC-∠EBF=120°-60°=60°，∴∠MBF=∠MBC+∠CBF=∠ABE+∠CBF=60°，∴∠EBF=∠MBF.在△BMF和△BEF中，BM=BE，∠EBF=MBF，BF=BF，∴△BMF≌△BEF(SAS)，∴MF=EF.∵M(jìn)F=MC+CF，∴EF=AE+CF．

四、一線三等角模型構(gòu)造三角形全等

例4 如圖,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,請按照圖中所標(biāo)注的數(shù)據(jù),計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是多少.

顧名思義，一線三等角是指三個(gè)相等的角的頂點(diǎn)在同一條直線上，那么這條直線上的兩個(gè)三角形全等.此題AE⊥AB且AE=AB，可過點(diǎn)E作EF⊥AC，過點(diǎn)B作BG⊥AC,過點(diǎn)D作DH⊥AC.這樣在直線AC上共有三個(gè)直角，易證△EFA≌△AGB,同理易證△BGC≌△CHD.

解∵AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH,∴∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°,∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°∴∠EAF=∠ABG.∵AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG,∴△EFA≌△AGB.∴AF=BG,AG=EF.同理證得△BGC≌△CHD得GC=DH,CH=BG. ∴FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16, ∴S= (6+4)×16÷2-3×4-6×3=50.

五、截長補(bǔ)短構(gòu)造三角形全等

例5 如圖，在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點(diǎn)，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，猜想線段AE、AB、DE的長度滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明．

證明線段的和差倍分關(guān)系，常常用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等.

解AE=AB+DE.證明如下：如圖，在AE上截取AF=AB，并連接CF.∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠CAF.又∵AC=AC，∴△BAC≌△FAC(SAS).∴BC=FC，∠ACB=∠ACF.∵∠ACE=90°，∴∠ACF+∠FCE=90°，∠ACB+∠DCE=90°，∴∠FCE=∠DCE.又∵C為BD的中點(diǎn)，∴BC=DC，∴DC=FC.又∵CE=CE，∴△FCE≌△DCE(SAS).∴DE=FE，∴AE=AF+FE=AB+DE.

六、利用角平分線構(gòu)造三角形全等

例6 如圖，△ABC中，AC的垂直平分線DE與∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E，若∠ABC=72°，求∠ADC的度數(shù).

遇到角平分線，常常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，構(gòu)造全等，或者在角的一邊截取線段，利用角平分線可以翻折構(gòu)造全等.過點(diǎn)D作DF⊥BA延長線于點(diǎn)F，DG⊥BC于點(diǎn)G， ∴∠DFA=∠DGC=90°.又BD平分∠ABC，∴DF=DG.DE垂直平分AC，∴DA=DC.在Rt△DAF和Rt△DGC中，DF=DG,DA=DC,

∴Rt△DAF≌Rt△DCG(HL)，∴∠FDA=∠GDC.∴∠ADC=∠FDG=360°-∠DFA-∠DGC-∠ABC=360°-90°-90°-72°=108°.

總之，在添加輔助線證明三角形全等時(shí)一定要認(rèn)真審題，充分挖掘題目的已知條件和隱含條件，靈活添加輔助線，從而解決較復(fù)雜的幾何全等證明問題.