貝葉斯定理及其應(yīng)用淺析

【摘要】貝葉斯定理是概率論中一個(gè)重要的理論，該理論主要適用于解決逆向估計(jì)問(wèn)題，在實(shí)際生活中有著重要的應(yīng)用價(jià)值。本文將首先介紹貝葉斯定理涉及的若干概念，然后介紹定理內(nèi)容，最后通過(guò)應(yīng)用示例，展示貝葉斯定理重要的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

【關(guān)鍵詞】貝葉斯公式 條件概率 疾病診斷

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）07-0132-02

1.研究背景簡(jiǎn)介

在實(shí)際生活中，我們經(jīng)常需要對(duì)某些事件做出預(yù)測(cè)或估計(jì)，在預(yù)測(cè)或估計(jì)的過(guò)程中，往往需要綜合過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，以及一些外在的信息，共同得出結(jié)論。例如，當(dāng)我們預(yù)測(cè)明天的天氣是否會(huì)下雨時(shí)，過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)來(lái)自于我們對(duì)該地區(qū)現(xiàn)在所處季節(jié)的氣象知識(shí)，這種經(jīng)驗(yàn)可以幫助我們判斷江浙地區(qū)的夏季下雨的概率比較大，而華北地區(qū)的冬季下雨的概率比較小。而外在的信息，例如過(guò)去三天的天氣或鄰近地區(qū)的降雨情況，則可以幫助我們進(jìn)一步修正關(guān)于明天是否會(huì)下雨這一事件的判斷。這種綜合了過(guò)去經(jīng)驗(yàn)以及新的信息的估計(jì)，在概率論中已經(jīng)形成一套完備的理論，即貝葉斯定理。貝葉斯定理主要被用來(lái)解決逆向估計(jì)問(wèn)題，所謂逆向估計(jì)，是因?yàn)楣烙?jì)過(guò)程中借用了部分關(guān)于“結(jié)果”的信息，例如在上文所舉的例子中，我們需要估計(jì)的是明天的氣象情況，而事實(shí)上，一段事件內(nèi)的氣象情況和相鄰地區(qū)的氣象情況是息息相關(guān)的，所以過(guò)去三天或鄰近地區(qū)的氣象情況本質(zhì)上是最近這段事件該區(qū)域的氣象情況所產(chǎn)生的一個(gè)結(jié)果。雖然該結(jié)果并不能幫我們完全還原出該區(qū)域近期的氣象情況，但卻可以對(duì)明天的天氣做出更準(zhǔn)確的估計(jì)。因此，這種結(jié)合了外在信息的對(duì)原有經(jīng)驗(yàn)估計(jì)的修正被稱為逆向估計(jì)。逆向估計(jì)的問(wèn)題無(wú)處不在，下文我們將首先介紹概率論中的相關(guān)知識(shí)，即貝葉斯定理以及相關(guān)概念，然后進(jìn)一步通過(guò)實(shí)例分析，說(shuō)明該定理在實(shí)際問(wèn)題中是如何應(yīng)用的。

2.貝葉斯定理概念簡(jiǎn)介

本小節(jié)將會(huì)重點(diǎn)介紹貝葉斯定理的內(nèi)容，相應(yīng)的，也會(huì)介紹該定理所涉及的必要概念，如條件概率、乘法公式、全概率公式等。其中，條件概率是推算得出乘法公式的基礎(chǔ)，而乘法公式和全概率公式，則是貝葉斯公式推導(dǎo)過(guò)程中的重要環(huán)節(jié)。這三個(gè)環(huán)節(jié)和相關(guān)概念對(duì)于理解貝葉斯定理有著不可或缺的重要意義。

2.1條件概率

3.貝葉斯定理應(yīng)用情況淺析

上述貝葉斯公式說(shuō)明，對(duì)事件B發(fā)生的概率，可以通過(guò)新的信息A來(lái)修正。事件A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，與A相對(duì)于B的條件概率有關(guān)。以下我們通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明貝葉斯定理在實(shí)際中的應(yīng)用。

貝葉斯定理最常見(jiàn)的應(yīng)用是用來(lái)做醫(yī)療疾病的檢測(cè)。例如，醫(yī)院檢測(cè)病人是否患有某種疾病。對(duì)病人的診斷只有兩個(gè)可能的結(jié)果，即該病人患有該疾病，或該病人不患有該疾病。如果醫(yī)生沒(méi)有更多的外在信息，則只能根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，即該疾病在人群中的發(fā)病率，來(lái)判斷這一患者換病的概率和不患病的概率。此時(shí)，如果引入新的信息，例如，某種檢測(cè)儀器對(duì)于該疾病的診斷，則可以修正對(duì)于換病和不患病概率的估計(jì)。

計(jì)算可得，在檢測(cè)結(jié)果為正的情況下，病人確實(shí)患有此疾病的概率為0.21，而病人沒(méi)有患有此疾病的概率為0.79。相比于該疾病在人群中的發(fā)病率0.3%，該疾病在檢測(cè)結(jié)果為正的人群中的發(fā)病率有21%，大幅高于在普通人群中的發(fā)病率，但仍然不是一個(gè)很大的數(shù)值。這個(gè)結(jié)果一方面是因?yàn)樵摬≡谌巳褐邪l(fā)生的可能性極低，另一方面也是因?yàn)闄z測(cè)手段的準(zhǔn)確率有限。

這個(gè)例子很好地解釋了貝葉斯定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。如果僅僅依靠該疾病在人群中的信息來(lái)診斷，則僅能得到先驗(yàn)概率，并不準(zhǔn)確。當(dāng)引入了額外的信息，即檢測(cè)的結(jié)果之后，則可以得到對(duì)該患者是否患病的后驗(yàn)概率。這個(gè)結(jié)果也很好地說(shuō)明了對(duì)于現(xiàn)代醫(yī)學(xué)的結(jié)果如何做出正確的解讀。事實(shí)上，這僅僅只是貝葉斯定理在醫(yī)學(xué)中應(yīng)用的一小部分，在實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)等方面以及其他領(lǐng)域，諸如市場(chǎng)預(yù)測(cè)、安全監(jiān)控等，貝葉斯定理同樣也有廣泛的應(yīng)用。

4.小結(jié)

貝葉斯方法通過(guò)一整套系統(tǒng)的理論和嚴(yán)密的推理，提供了一個(gè)綜合利用先驗(yàn)知識(shí)的估計(jì)方式，成為現(xiàn)如今數(shù)據(jù)處理眾多方法中的最重要方法之一。近幾年來(lái)隨著人工智能的發(fā)展，貝葉斯的學(xué)習(xí)理論內(nèi)容被廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，因此我們要在今后的學(xué)習(xí)中多加善于思考，運(yùn)用貝葉斯定理來(lái)解決實(shí)際的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1]李昊，謝中江，侯哲生.基于貝葉斯決策的網(wǎng)格計(jì)算資源分配算法[J].吉林化工學(xué)院學(xué)報(bào). 2013（07）

[2]郭迎春.基于貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)決策的創(chuàng)新風(fēng)險(xiǎn)管理研究[J].科技管理研究.2012（15）

作者簡(jiǎn)介：

張?chǎng)┙荩?001年9月-），女，山東人，就讀于山東省青島第十六中學(xué)，高中在讀，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。