數列極限中部分性質和定理的推廣與拓展

楊一琦

【摘要】極限是當代數學理論中的一個基本概念，也是現代數學的基石之一，而其中數列極限又是極限理論的基礎。數列極限具有諸多的性質，從整體上把握和厘清這些性質對理解數列極限的含義有著至關重要的作用。本文從數列極限幾個常見的性質和定理出發，研究了這些性質和定理的條件，并對這些性質和定理的推廣和拓展進行了討論。

【關鍵詞】極限 數列 收斂準則

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）07-0135-02

1.引言

極限的思想從古就有，比如中國古代大數學家劉徽就這樣描述他的割圓術：割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣[1]。如今，經歷了上百年的發展，極限的概念和思想業已成為現代數學大廈的基石，理解好極限的概念對學習微積分、概率論等課程至關重要。無論是要在數學領域進行相關研究，還是只需使用數學工具解決各類問題，極限的概念都是首先需要掌握的。本文從數列極限的性質和收斂判別準則出發，研究了這些性質和定理的條件，并在此基礎上給出了其中部分性質和定理的推廣。

2.數列極限及其基本性質

2.1數列極限的定義

我們首先給出數列極限的定義。

定理5把閉區間套換成了滿足端點嚴格單調性的任意一簇區間。這簇區間可以包含任意種類的區間，且不要求它們都是同一類區間。這從一定程度上減弱了定理2的條件要求，是定理2的推廣。

3.3數列及其子列的收斂性

定理8有如下的一個推論：

推論2 一個數列收斂到常數A當且僅當其奇數項和偶數項構成的子列均收斂到常數A。

定理8和推論2在證明數列收斂時很有用。例如根據推論2，我們只需證明一個數列的奇數項和偶數項都收斂，且收斂到同一個極限，就可以證明原數列的收斂性。這比使用一個數列收斂當且僅當其任意子列收斂這一結論證明收斂性要方便得多。

4.結語

本文總結了數列極限的一些常用性質和定理，并在此基礎上給出了部分性質和定理的推廣與擴展。推廣的結論不僅對理解極限的定義至關重要，也進一步豐富了極限的相關理論，具有一定的理論和應用價值。

參考文獻：

[1]陳紀修，於崇華，金路.數學分析-第2版[M].高等教育出版社，2004.

[2]唐海波.數列極限與函數極限的統一[J].河池學院學報，2017（5）：70-75.