《怎樣圍面積最大》教學(xué)

黃 建

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)拓展課。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.根據(jù)周長(zhǎng)相等的條件，100%的學(xué)生能夠圍出不同的圖形并計(jì)算面積，90%的學(xué)生進(jìn)一步明確周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積最大。

2.60%的學(xué)生能夠用數(shù)學(xué)語言完整地表達(dá)推理過程，能總結(jié)概括出研究報(bào)告的要素，并通過多樣化的表達(dá)形成研究報(bào)告。

【課前思考】

什么是數(shù)學(xué)學(xué)科的表達(dá)能力？我們?cè)撊绾闻囵B(yǎng)？數(shù)學(xué)表達(dá)能力是指運(yùn)用語言文字闡明自己的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、意見或抒發(fā)思想、感情的能力。它包括口頭表達(dá)能力、文字表達(dá)能力、數(shù)字表達(dá)能力、圖示表達(dá)能力等幾種形式。同時(shí)數(shù)學(xué)語言的表達(dá)也是學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度的一種反映。

數(shù)學(xué)交流表達(dá)的幾個(gè)表現(xiàn)層次：1.（語句）完整；2.（邏輯）嚴(yán)密；3.（用詞）準(zhǔn)確；4.（語言）簡(jiǎn)潔；5.（方式）多樣。

于是，在學(xué)生經(jīng)歷了長(zhǎng)方形（正方形）、平行四邊形、三角形、梯形、圓的面積公式推導(dǎo)、掌握這些平面圖形的面積公式，明確一些圖形之間的面積關(guān)系——當(dāng)周長(zhǎng)相等的情況下，正方形的面積大于等于長(zhǎng)方形的面積等之后。我們?cè)O(shè)計(jì)了這樣一個(gè)小課題研究，而小課題研究的本質(zhì)上是這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題：當(dāng)周長(zhǎng)相等的情況下，圍成什么圖形的面積最大？基于這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問題，我們是怎么樣培養(yǎng)學(xué)生的達(dá)能力呢？在這一節(jié)課中，我們引導(dǎo)學(xué)生通過猜測(cè)、驗(yàn)證等過程培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力這一關(guān)鍵能力。在第一環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過表達(dá)明確小課題研究的主題、研究?jī)?nèi)容；在第二環(huán)節(jié)中，學(xué)生通過計(jì)算、推理等過程進(jìn)行驗(yàn)證，與此同時(shí)，尤其關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)的完整性、邏輯的嚴(yán)密性、用詞的準(zhǔn)確性與語言的簡(jiǎn)潔性。當(dāng)然，這些都是教師評(píng)價(jià)學(xué)生語言的重要標(biāo)準(zhǔn)。在第三環(huán)節(jié)中，鼓勵(lì)學(xué)生用多樣化的方式進(jìn)行表達(dá)。

【教學(xué)過程】

一、確定研究主題（預(yù)：5 分鐘）

1.出示情境。

師：今天，我們要解決這樣一個(gè)問題。你會(huì)圍成什么圖形？

生：三角形、長(zhǎng)方形、正方形、梯形、圓等。四邊形、五邊形、六邊形等。

小結(jié)：但是不管怎么圍什么是不變的，什么變化？

2.數(shù)學(xué)思考。

師：我們要解決這個(gè)問題，就是在研究一個(gè)什么數(shù)學(xué)問題？

出示課題：周長(zhǎng)相等的情況下，什么圖形的面積最大？這就是我們今天研究的主題。

3.交流討論。

師：說到面積，這么多的圖形，哪些圖形的面積現(xiàn)在是能夠確定的？我們來算一算。（按π=3 計(jì)算）

生：正方形邊長(zhǎng)24÷4=6（米），S正=6×6=36（平方米）；圓形半徑r=24÷3÷2=4（米），S圓=3×4×4=48（平方米）。

師：哪些圖形現(xiàn)在是能比出大小的？

生：長(zhǎng)方形＜正方形，這是我們已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)。

師：這么多圖形，我們能不能分分類？

分類：三邊形、四邊形、圓。

4.猜測(cè)。

師：現(xiàn)在，你能不能大膽猜測(cè)一下，哪個(gè)圖形的面積最大？

生：我覺得圓的面積最大，正方形的面積第二大。

二、討論研究方案

1.確定研究方案。（預(yù)：2 分鐘）

師：這只是我們的猜測(cè)，你打算怎么來驗(yàn)證？

生：我覺得圍成各種各樣的封閉圖形，然后計(jì)算這個(gè)封閉圖形的面積，最后比較它們的面積，得出結(jié)論，看看是哪個(gè)圖形的面積最大。

（小組討論，確定研究方案）

師：他想到了操作（板書），那我們不可能真的用一根24 米長(zhǎng)的繩子怎么辦？

生：那很簡(jiǎn)單，用24 厘米的繩子代替24 米的繩子。

師：如果每個(gè)圖形都去研究時(shí)間肯定不夠，你有什么好方法？

生：我覺得可以這樣，我們小組內(nèi)每人選擇一種圖形來圍。這樣能節(jié)省時(shí)間，而且也可以看看其他組和你圍的圖形一樣的同學(xué)。這樣就可以看到很多圖形了，并且節(jié)省時(shí)間。

2.合作研究。（預(yù)：8 分鐘）

師：就按照同學(xué)們說的做。

3.全班交流。（預(yù)：6 分鐘）

師：你們是怎么來就研究的，研究結(jié)論是什么？

（1）平行四邊形的面積。

生：我們是四人小組合作，我們分別研究了平行四邊形、三角形、梯形這三類圖形。我研究的是平行四邊形，你們看我圍出的這個(gè)平行四邊形，通過計(jì)算我發(fā)現(xiàn)這個(gè)平行四邊形的面積是24 平方厘米。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。（黑板上記錄）

師：同樣是研究平行四邊形，有沒有比這個(gè)圖形面積更大的圖形？你圍的圖形的面積是多少？

生：我圍得的也是平行四邊形，它的面積是58.5平方厘米。

生：我覺得根本不可能，你看看我們知道周長(zhǎng)是24 厘米。底是6.5 厘米，斜邊最多5.5 厘米。這一條高是9 厘米，高一定比斜邊短，9＞5.5。根本不可能。

師：能聽懂嗎？是的！底邊是5.5 厘米，則這一條也是5.5 厘米，那么周長(zhǎng)是24 厘米，24-5.5×2=13（厘米），斜邊就是13÷2=5.5（厘米）。而斜邊要大于等于直角邊，9＞5.5，不可能。

小結(jié)：周長(zhǎng)相等的情況下，平行四邊形的面積小于圓的面積。

（2）三角形的面積。

生：我研究的是三角形，你們看我圍出的這個(gè)三角形，通過計(jì)算我發(fā)現(xiàn)這個(gè)三角形的面積是28.9 平方厘米。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。（黑板上記錄）

師：同樣是研究三角形，有沒有比這個(gè)圖形面積更大的圖形？你圍的圖形的面積是多少？對(duì)于三角形，還有沒補(bǔ)充的？

小結(jié)：周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積最大。

（3）梯形的面積。

生：我研究的是梯形，你們看我圍出的這個(gè)梯形，通過計(jì)算我發(fā)現(xiàn)這個(gè)梯形的面積是35 平方厘米。但是它的面積要比圓小。所以我發(fā)現(xiàn)圓的面積最大。（黑板上記錄）

師：同樣是研究梯形，有沒有比這個(gè)圖形面積更大的圖形？面積是多少？對(duì)于梯形，還有沒有補(bǔ)充的？

小結(jié)：周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積最大。

（4）小結(jié)提升。

生：綜上所述，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積最大。

師：到目前為止，我們通過操作總結(jié)得出這樣一個(gè)結(jié)論。但我們是不是就能說，這個(gè)結(jié)論一定是正確的呢？

生：我覺得是正確的！

生：我覺得是更有信心了！但是我還是不怎么確定，你看！我們只是研究了三邊形、四邊形、圓，那還有五邊形、六邊形等我們都沒有研究過呢！

生：我也覺得，那不一定，哪怕是三角形、梯形、平行四邊形還有很多種，我們只是舉了其中幾個(gè)例子，我們覺得還不是特別有說服力。

4.推理論證（控制高不變）。（預(yù)：8 分鐘）

師：怎么樣變得更有說服力呢？既然我們已經(jīng)知道了S正＜S圓，現(xiàn)在，我們把這四個(gè)周長(zhǎng)相等的圖形放在一組平行線之間，你知道了什么？

生：我知道了這幾個(gè)圖形的周長(zhǎng)是相等的！

生：兩條平行線之間距離處處相等，所以高也相等，都是6。

師：周長(zhǎng)相等、高相等，它們的面積和正方形的面積有什么關(guān)系呢？小組里互相交流一下。

生：周長(zhǎng)相等，當(dāng)高相等時(shí)，因?yàn)槠叫兴倪呅蔚男边叡日叫蔚倪呴L(zhǎng)長(zhǎng)，所以平行四邊形的底比正方形的底短；又因?yàn)楦呦嗟龋云叫兴倪呅蚊娣e小于正方形的面積。

師：說得很完整、也很有邏輯性，但是不夠簡(jiǎn)潔，誰愿意上來指著這個(gè)圖形再來說說看？

生：b 大于6，所以a 小于6。高相等，所以S平小于S正。

生：其實(shí)可以這樣理解，b 一定是大于6 厘米的，所以它的對(duì)邊也大于6 厘米，而又因?yàn)橹荛L(zhǎng)是24 厘米，所以2a 一定小于12，a 小于6。S平=a×6，S正=6×6，a 小于6，所以S平小于S正。

師：在表述過程中，借助字母可以讓我們說得更簡(jiǎn)潔、更清楚。那梯形和三角形呢？為了便于你們交流，我們也標(biāo)上字母任選一個(gè)，和你的同桌說一說。

生：c+d 大于12，所以a 小于12。高相等都是6，S△=a×6÷2，S正=6×6，a÷2 小于6，所以S△小于S正。（教師板書）

生：c+d 大于12，所以a+b 小于12。高相等都是6，S梯=（a+b）×6÷2，S正=6×6，（a+b）÷2 小于6，所以S梯小于S正。

師：你們覺得他們說得怎么樣？

師：你看，我們又作了這樣的推理，當(dāng)周長(zhǎng)、高相等的情況下，它們的面積永遠(yuǎn)小于正方形的面積，又因?yàn)檎叫蔚拿娣e小于圓的面積。所以，圓的面積最大。現(xiàn)在，是不是更有信心了？

5.進(jìn)一步推理論證（底、高都變化）。（預(yù)：6 分鐘）

師：剛才我們發(fā)現(xiàn)，四邊形中哪個(gè)圖形的面積最大？（出示正四邊形）那三邊形呢？

生：我覺得是正三角形面積最大。

生：我覺得是等腰直角三角形面積最大。

（1）底不變，從一般三角形→等腰三角形。

師：任意一個(gè)三角形，如果它的底不變，另一個(gè)頂點(diǎn)可以移動(dòng)，什么時(shí)候面積最大？（操作）為什么？

生：底相等，高最大的時(shí)候，面積最大。生：所以周長(zhǎng)相等時(shí)等腰三角形面積最大。

（2）等腰三角形→等邊三角形。

①想象：繼續(xù)想，同樣是等腰三角形，什么時(shí)候面積最大。

②操作：請(qǐng)你選擇一個(gè)三角形，找一找面積最大的等腰三角形。

生：我覺得是等邊三角形面積最大。

③驗(yàn)證：我們來看一下對(duì)不對(duì)！（幾何畫板操作）

生：我們猜對(duì)了，當(dāng)它是正三角形的時(shí)候，面積最大是27.8 厘米。

（3）回顧。

師：剛才，我們是怎么找到三邊形中面積最大的圖形？

生：當(dāng)?shù)紫嗟鹊那闆r下，等腰三角形的面積最大，同樣是等腰三角形時(shí)等邊三角形的面積最大。

師：而正三角形的面積比正四邊形的面積小，比圓的面積小，所以還是成立的。

6.總結(jié)回顧。

師：同學(xué)們！剛才我們通過這樣的研究得出什么結(jié)論？是用什么方法研究的？

生：計(jì)算、推理（和正方形比較，找到周長(zhǎng)相等、同一類中面積最大的圖形）。

師：我們不僅得出了這樣的結(jié)論，還發(fā)現(xiàn)三邊形時(shí)，什么圖形的面積最大？四邊形時(shí)？那如果是五邊形、六邊形？幾邊形呢？有興趣的同學(xué)可以自己去研究。但是到目前為止，我們發(fā)現(xiàn)，周長(zhǎng)相等的情況下，圓的面積最大。

三、形成研究報(bào)告

師：今天，我們研究了一個(gè)非常了不起的小課題。需要把整個(gè)研究過程記錄下來，如果讓我們寫一份研究報(bào)告，你打算從哪些方面撰寫？

生：我們覺得研究報(bào)告，首先要有標(biāo)題；有了標(biāo)題之后，得有研究主題，就是研究的是什么；而且還要寫研究的方案，我們是打算怎么來研究的；接著在研究過程中，我們是分成哪幾類情況進(jìn)行研究，對(duì)于同一類，我們又用了哪些方法；最后，我們的研究成果是什么。

師：剛才他說到了幾個(gè)關(guān)鍵詞，研究主題、研究方法、研究過程和研究結(jié)論。請(qǐng)你從這幾個(gè)方面把剛才的研究過程進(jìn)行整理。

四、多樣化表達(dá)

（學(xué)生作品略）