基于梯形模糊MULTIMOORA的混合多屬性群決策方法

齊春澤

（蘭州財(cái)經(jīng)大學(xué) 信息工程學(xué)院，蘭州 730020）

0 引言

混合多屬性群決策是指多個(gè)決策專家根據(jù)已有的多種類型的決策信息，運(yùn)用特定的方法對(duì)有限個(gè)備選方案比較與選擇的過程。在實(shí)際決策中，由于決策專家在專業(yè)背景、決策經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)決策問題的認(rèn)識(shí)等方面存在差異，因此他們?cè)敢獠捎玫男畔⒈硎灸Ｐ鸵矔?huì)有所不同。如果強(qiáng)行消除這種差異，即所有的決策專家均采用相同的信息表示模型，一方面會(huì)導(dǎo)致大量的信息丟失或失真，另一方面會(huì)大大削弱群決策的效用。然而，如果不同決策者針對(duì)同一屬性采用不同的信息表示模型，就會(huì)使決策矩陣在信息類型方面存在很大差異，而多數(shù)現(xiàn)有方法很難解決此類問題。在這種情形下，如何充分保留所有決策專家的偏好，最大限度發(fā)揮群決策的效用，相關(guān)決策方法的研究就顯得尤為重要。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者們相繼提出了許多有用的多屬性決策方法，如TOPSIS、VIKOR、ELECTRE 等。2006年，Brauersand和Zavadskas[1]首次提出了MOORA（Multi-Objective Optimization by Ratio Analysis），該方法包括比率系統(tǒng)和參考點(diǎn)兩個(gè)子方法。隨后，他們將完全相乘法引入MOORA，從而形成了MULTIMOORA（MOORA plus the full multiplicative form）[2，3]。同現(xiàn)有相關(guān)方法相比，該方法簡單、有效，便于對(duì)備選方案進(jìn)行比較與選擇[1-4]。然而，目前尚未發(fā)現(xiàn)MULTIMOORA被用來解決混合多屬性群決策問題。

同區(qū)間數(shù)和三角模糊數(shù)相比，梯形模糊數(shù)能更好地反映決策問題的不確定性，同直覺模糊數(shù)和二元語義相比，梯形模糊數(shù)更直觀，更有利于降低決策中計(jì)算的復(fù)雜性。因此，本文在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，基于梯形模糊數(shù)和MULTIMOORA提出了一種解決混合多屬性群決策問題的方法。首先，將不同類型的評(píng)價(jià)信息轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)，構(gòu)建梯形模糊初始決策矩陣，并運(yùn)用離差最小化法和熵權(quán)法分別計(jì)算決策專家權(quán)重與屬性權(quán)重。其次，基于梯形模糊數(shù)對(duì)MULTIMOORA進(jìn)行擴(kuò)展，并據(jù)此對(duì)備選方案進(jìn)行比較與選擇。最后，通過算例驗(yàn)證了該方法的可行性與有效性。同現(xiàn)有相關(guān)方法相比[5]，本文所提方法同時(shí)考慮了精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)以及二元語義等信息類型，因此具有一定的普適性。其次，允許不同專家為同一屬性給出不同類型的評(píng)價(jià)值，因此有助于充分表達(dá)決策者的偏好，有助于充分發(fā)揮群決策的優(yōu)勢(shì)，進(jìn)而有助于得到更為合理的決策結(jié)果。

1 基礎(chǔ)知識(shí)

定義1[6]：設(shè)為實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)閉區(qū)間，則aˉ被稱為一個(gè)區(qū)間數(shù)。其中，和分別為的下界與上界。

定義 2[7]：若且 0≤aL＜，則?被稱為三角模糊數(shù)。其中和aU分別為?的下界與上界，為?最可能的取值。

定義3[8]：設(shè)X為一給定論域，則稱為X上的一個(gè)直覺模糊集，其中與vP:X→[0,1]分別表示P?的隸屬度與非隸屬度函數(shù)，且對(duì)于任意，都有成立。為中元素xi的猶豫度，可記為為便于描述，若中僅有一個(gè)元素，則稱P?為直覺模糊數(shù)，記為

定義4[9]：設(shè)μ=s（a）為語言值，s（a）的語言評(píng)估標(biāo)度為{極差,很差,...,極高}。其中，

定義5[10]：二元語義是一種運(yùn)用二元組 （si,αi）表示語言評(píng)價(jià)信息的方法。其中，是一個(gè)預(yù)先定義好的，包含g+1個(gè)語言詞的語言評(píng)價(jià)集，si是S中的第i個(gè)元素，αi∈[-0.5,0.5）是符號(hào)轉(zhuǎn)換值，表示評(píng)價(jià)結(jié)果與si之間的偏差。

定義6[11]：設(shè)為實(shí)數(shù)域上的模糊數(shù)，如果其隸屬函數(shù)為：

定義 7[11]：設(shè)和為兩個(gè)梯形模糊數(shù)，則其遵循以下運(yùn)算規(guī)則：

（5）對(duì)于 ?λ∈R，如果λ≥0 ，則λa4）；如果λ＜0 ，則

（6）對(duì)于 ?λ∈R，a?λ=（（a1）λ,（a2）λ,（a3）λ,（a4）λ）。

2 混合屬性值轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)

2.1 實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)

設(shè)有實(shí)數(shù)a，可據(jù)式（3），將其轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)：

其中，梯形模糊數(shù)a?的下界與上界同為實(shí)數(shù)a，閉區(qū)間[a,a]為?的最可能取值區(qū)間。

2.2 區(qū)間數(shù)轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)

設(shè)有區(qū)間數(shù)aˉ=[aL,aU]，可據(jù)式（4），將其轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)：

其中，aL和aU分別為梯形模糊數(shù)?的取值范圍的下界和上界，為?的最可能取值區(qū)間。

2.3 三角模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)

其中，梯形模糊數(shù)a?的下界為aL，上界為aU，最可能取值區(qū)間為[aM,aM]。

2.4 直覺模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)

（3）學(xué)校將酒店租賃給校外承租方經(jīng)營，其經(jīng)營的目的是單純追求利益最大化，存在經(jīng)營方向難以控制等很多不確定因素和風(fēng)險(xiǎn)；學(xué)校掌控難度較大，難以滿足服務(wù)學(xué)校教學(xué)科研工作要求；且很多高校的酒店地址都在校園內(nèi)，不可控因素較多，校外承租方經(jīng)營，也不利于校園安全。

2.5 語言值轉(zhuǎn)化為梯形模糊數(shù)

設(shè)有語言評(píng)估標(biāo)度S={s1,s2,…,sk,…,sp}，可據(jù)式（7），將其每個(gè)元素轉(zhuǎn)換為梯形模糊數(shù)形式：

2.6 二元語義轉(zhuǎn)為梯形模糊數(shù)

設(shè)有二元語義（st,at），可以根據(jù)公式（8）將其轉(zhuǎn)換為梯形模糊數(shù)

3 基于梯形模糊MULTIMOORA的混合多屬性群決策方法

3.1 問題描述

3.2 決策過程

第二步：計(jì)算決策專家權(quán)重

群決策是多個(gè)決策者共同協(xié)商的過程，其意見應(yīng)當(dāng)趨于一致。因此可依據(jù)個(gè)體決策與群體決策之間的離差來確定決策者的權(quán)重。如果個(gè)體決策與群體決策差異越小，則其權(quán)重應(yīng)越大；反之，則其權(quán)重應(yīng)越小。

其中，fk表示專家ek的決策與群體決策之間的離差，λk表示專家ek的權(quán)重。

第三步：根據(jù)專家權(quán)重對(duì)不同決策專家下的梯形模糊決策矩陣進(jìn)行集結(jié)，得到梯形模糊綜合決策矩陣

第四步：計(jì)算屬性權(quán)重

可采用熵權(quán)法計(jì)算屬性權(quán)重，具體過程如下：

第五步：運(yùn)用梯形模糊MULTIMOORA對(duì)方案進(jìn)行排序

傳統(tǒng)MULTIMOORA忽視了屬性權(quán)重的重要作用，這會(huì)對(duì)決策結(jié)果的合理性產(chǎn)生不利影響。為消除這種不利影響，本文在基于梯形模糊數(shù)對(duì)MULTIMOORA擴(kuò)展時(shí)，考慮了屬性權(quán)重的重要作用。

（1）運(yùn)用梯形模糊比率系統(tǒng)法對(duì)方案進(jìn)行排序

根據(jù)式（14）可得梯形模糊比率系統(tǒng)法下方案ai的評(píng)價(jià)值為：

其中，g為收益型屬性的個(gè)數(shù)，n-g為成本型屬性的個(gè)數(shù)。越大，則方案ai越好。因此，梯形模糊比率系統(tǒng)法下的最優(yōu)方案為：

（2）運(yùn)用梯形模糊參考點(diǎn)法對(duì)方案進(jìn)行排序

根據(jù)式（16）確定屬性cj的參考點(diǎn)

其中，g為收益型屬性的個(gè)數(shù)。

梯形模糊參考點(diǎn)法下方案ai的評(píng)價(jià)值z(mì)i為：的值越小，則對(duì)應(yīng)方案越好。因此，梯形模糊參考點(diǎn)法下的最優(yōu)方案為：

（3）運(yùn)用梯形模糊完全相乘法對(duì)方案進(jìn)行排序

梯形模糊完全相乘法下方案ai的評(píng)價(jià)值為：

u?i的值越大，則方案ai越好。因此，梯形模糊完全相乘法下的最優(yōu)方案為：

第六步：方案的最終排序

占優(yōu)理論可以根據(jù)支配、被支配、平等以及傳遞等方式將幾種排序綜合為一種排序，詳情可參照文獻(xiàn)[1-3,12]。基于占優(yōu)理論，將第五步所得方案的排序結(jié)果進(jìn)行整合，形成方案的最終排序。

4 算例分析

為了驗(yàn)證本文所提方法的可行性與有效性，運(yùn)用本文所提方法解決文獻(xiàn)[13]中的決策問題。某銀行擬對(duì)4個(gè)公司ai（i=1,2,3,4）中前景最好的進(jìn)行投資，特聘請(qǐng)3位專家ek（k=1,2,3）組成評(píng)估小組。評(píng)估小組從經(jīng)濟(jì)效益c1、社會(huì)效益c2、環(huán)境污染c3以及再生產(chǎn)能力c4這4個(gè)方面對(duì)備選公司進(jìn)行評(píng)價(jià)。其中，c3為成本型，其余屬性均為收益型。初始決策矩陣R（k）（k=1,2,3）引自文獻(xiàn)[13]，詳情如表1至表3所示。

表1 決策矩陣 R（1）

表2 決策矩陣 R（2）

表3 決策矩陣 R（3）

第一步：將初始決策矩陣R（k）轉(zhuǎn)換為梯形模糊決策矩陣X（k）

根據(jù)公式（3）至公式（6），可將初始的混合決策矩陣轉(zhuǎn)換為梯形模糊決策矩陣，結(jié)果見表4至表6。

表4 梯形模糊決策矩陣X（1）

表5 梯形模糊決策矩陣 X（2）

表6 梯形模糊決策矩陣X（3）

第二步：計(jì)算決策專家權(quán)重。根據(jù)式（9）和式（10）可得專家權(quán)重λ=（0.33,0.40,0.27）。

第三步：根據(jù)專家權(quán)重對(duì)不同專家下的梯形模糊決策矩陣進(jìn)行集結(jié)，得到梯形模糊綜合決策矩陣X=（x?ij）m×n，結(jié)果如表7所示。

表7 梯形模糊綜合決策矩陣X

第四步：計(jì)算屬性權(quán)重

根 據(jù) 公 式（11）至 公 式（13），可 得 屬 性 權(quán) 重w=（0.39,0.25,0.19,0.17）。

第五步：運(yùn)用梯形模糊MULTIMOORA對(duì)方案進(jìn)行排序

（1）梯形模糊比率系統(tǒng)法。據(jù)式（14）和式（15）可得梯形模糊比率系統(tǒng)法下各方案的評(píng)價(jià)值及排序結(jié)果，如表8所示。

表8 梯形模糊比率系統(tǒng)法下各備選方案的評(píng)價(jià)值及排名

（2）梯形模糊參考點(diǎn)法。根據(jù)公式（16）至公式（18）可得梯形模糊參考點(diǎn)法下各方案的評(píng)價(jià)值及排序結(jié)果，如表9所示。

表9 梯形模糊參考點(diǎn)法下各備選方案的評(píng)價(jià)值及排名

（3）運(yùn)用梯形模糊完全相乘法對(duì)方案進(jìn)行排序

由式（19）和式（20）可得梯形模糊完全相乘法下各方案的評(píng)價(jià)值及排序結(jié)果，如表10所示。

表10 梯形模糊完全相乘法下各備選方案的評(píng)價(jià)值及排名

第六步：方案的最終排名

運(yùn)用占優(yōu)理論集結(jié)各備選方案在梯形模糊比率系統(tǒng)法、梯形模糊參考點(diǎn)法以及梯形模糊相乘法下的排名，可得各備選方案的最終排序，結(jié)果如表11所示。

表11 各備選方案的最終排名

由表11可知，a2為最優(yōu)方案，即該銀行應(yīng)該選擇a2投資，這與文獻(xiàn)[13]所得結(jié)果一致，說明所提方法是可行的，也是有效的。但是，兩種方法所得結(jié)果也存在一些差異，文獻(xiàn)[13]所提方法得到a1?a3，而本文所提方法得到a3?a1。由表7可知，備選方案a3的c1屬性值和c4的屬性值遠(yuǎn)大于備選方案a1，備選方案a3的c2屬性值與備選方案a1基本相等。此外，c1屬性和c4屬性權(quán)重和達(dá)到了0.56，而c3的權(quán)重僅為0.17。因此，a3?a1是合理的，也說明本文所提方法是合理的。

5 結(jié)論

在實(shí)際決策中，由于決策者在專業(yè)背景、決策經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)決策問題的認(rèn)識(shí)等方面存在差異，因此決策者擅長采用的信息表達(dá)模型也會(huì)有所不同。如果強(qiáng)行消除這種差異，就會(huì)造成信息丟失或失真，也會(huì)削弱群決策的整體效用，進(jìn)而導(dǎo)致不合理的決策結(jié)果。針對(duì)上述情況，本文基于梯形模糊MULTIMOORA提出了一種解決混合多屬性群決策問題的新方法。與現(xiàn)有相關(guān)方法相比，本文所提方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）與傳統(tǒng)的MULTIMOORA相比，本文所提方法將其擴(kuò)展到了群決策環(huán)境，并考慮了屬性權(quán)重的重要性。（2）本文所提方法同時(shí)考慮了精確數(shù)、區(qū)間數(shù)、三角模糊數(shù)、梯形模糊數(shù)、直覺模糊數(shù)以及二元語義等信息表示模型，因此具有一定的普適性。（3）在決策中，允許決策者采用不同的信息表示模型，因此能準(zhǔn)確刻畫決策的實(shí)際情景。本文僅研究了權(quán)重為實(shí)數(shù)的決策情景，權(quán)重為梯形模糊數(shù)形式是本文下一步的研究重點(diǎn)。