跨期選擇、異質偏好與經濟波動的福利成本估計

張 耿

（上海外國語大學 國際金融貿易學院，上海 200083）

0 引言

宏觀經濟波動造成了多大的福利損失，既是學術界長期關注的研究專題，也為各國政府實施宏觀穩定政策提供了理論依據。自羅伯特·盧卡斯開創性地對經濟波動福利成本進行定量測度以來，該學術專題迄今已經歷了30多年的發展，而后續研究的熱度始終不減，小概率災難、特質風險、不完全市場等各種重要的福利效應被陸續挖掘出來，體現了學界對經濟波動的理解越來越趨于深入。國內對此也積累了相當豐富的研究成果，一個明顯的特征是：國內前期研究大多沿用了盧卡斯基準模型的分析框架，繼承了這一框架所具有的簡潔明了的優點，可以很方便地導出福利成本的解析解，但在這一分析框架下，消費這一關鍵變量被設定為外生給定，從而無法討論跨期最優等動態問題。雖然一些學者對盧卡斯基準模型進行了拓展和改進，但都保持了消費外生的基本設定。鑒于當代宏觀經濟的政策分析已經大量采用了動態分析框架，因此，在經濟波動福利成本中引入動態分析方法，在跨期最優的框架下討論經濟波動福利成本問題，能夠進一步拓展現有的研究邊界，有助于更深入地理解我國經濟波動福利效應的微觀機制。

基于此，本文將放棄盧卡斯分析框架，在消費者跨期最優選擇的基礎上分析經濟波動的福利問題。為了便于求解福利成本，本文構建了一個離散形式的跨期選擇模型，通過數值逼近方法求解最優選擇的策略函數和最終的值函數，并進一步通過蒙特卡洛得到穩態下的經濟特征。本文還對偏好參數進行了異質性處理，從而可以分析不同類型個體的福利成本問題。

1 跨期選擇的福利成本模型

家庭戶無限期生存，其消費和生產的目標函數為生命周期的期望效用最大化：

其中，U（?）為即期效用函數，ct為t期消費，β為時間折現系數。在CRRA偏好下，即期效用函數為以下常見形式：

γ為相對風險規避系數。家庭戶追求效用最大化的行為受到一定的限制，約束方程如下：

其中，kt為t期持有的資本，δ為資本折舊率，At表示t期的生產沖擊。這一約束方程可以視為資本的積累方程，也可以視為收入的分配方程。每期收入yt=Atkθt用于兩個方面：當期消費ct和當期投資it=kt+1-（1-δ）kt，家庭戶可以通過當期消費立刻獲得效用，也可以延遲消費積累資本從而提高未來收入，理性家庭戶需要不斷權衡其中的替代關系以做出最優決策。

在人均生產函數yt=Atkθt中，參數θ為資本產出彈性，在規模報酬不變和完全競爭市場的假定下，資本產出彈性等于資本收入份額，（1-資本產出彈性）等于勞動收入份額。過去一般認為，美國的資本收入份額約為三分之一，勞動收入份額約為三分之二，對應θ值約為0.36，但經驗研究表明，資本產出彈性的數值在各國的不同發展階段存在較大變化，卡爾多事實中的“要素收入份額基本穩定”，只刻畫了少數發達國家穩態增長期的經濟規律。章上峰和許冰（2015）對中國的資本產出彈性進行了經驗研究，表明這一參數具有中國非穩態增長的典型特征，中國的資本產出彈性在數值和時變特征上都有自己的特點。本文將利用他們的參數進行福利成本分析。

模型的貝爾曼方程為：

借鑒國內外學者討論經濟波動時的常見做法，這里用兩狀態的馬爾可夫過程表示宏觀經濟中的不確定性：狀態1表示經濟正承受正面沖擊（擴張期），此時沖擊變量At=A1，狀態2表示經濟正承受負面沖擊（緊縮期），此時沖擊變量At=A2，狀態1和狀態2的出現概率由以下轉移矩陣決定：

轉移矩陣中的元素Pij為事件“當期狀態為i下期狀態為j”發生的概率，i,j=1,2。

接下來定義跨期模型的福利成本。自盧卡斯以來，不同文獻估計經濟波動福利成本時沿用的經濟思想是完全相同的：按照估計福利成本的普遍做法，以λ表示福利成本指標，則各期消費提升為（1+λ）倍后的社會福利水平（1+λ），等同于抹平經濟波動后的社會福利水平V+。按照這一思想建立補償方程：

λ的經濟學意義是很清晰的：消除經濟波動的福利效果，相當于將消費水平提升為現有的（1+λ）倍。一般認為λ小于0.01%數量級，則福利損失不重要，λ如達到1%數量級，則福利損失十分重要。本文通過求解補償方程（5）得到λ。下面依次討論V*、V+、λ：

V*為消除經濟波動后的社會福利水平。利用穩態下的貝爾曼方程：

式（6）變形為：

在CRRA偏好下，式（7）等于：

將式（8）寫成消除波動后的情形：

其中，c*為消除經濟波動后的穩態消費水平。

V+為消費提升為（1+λ）倍后的社會福利水平。由式（8）知：

聯立式（5）、式（9）、式（10），化簡得到：

這就是本文分析福利成本的測算公式。用這一公式估計福利成本，核心環節是計算出抹平經濟波動的福利水平V*與存在經濟波動的福利水平V。

2 參數設定與數值結果

2.1 數值方法說明

數值方法的第一步是求出式（3）的值函數和策略函數，由于存在兩個沖擊變量A1、A2，對應的值函數和策略函數也有兩組，本文采用迭代方法尋找值函數和策略函數，根據動態規劃知識，設定值函數和策略函數的初始值，經過貝爾曼方程多次迭代后，會逐漸收斂到真實值。具體操作時，先將狀態變量做離散化處理，借鑒同類文獻的做法并進行多次嘗試后，將人均資本的取值范圍設置為0～16個資本單位，在這一區間內將資本離散化為320個點格，即相鄰點格之間的距離為0.05個資本單位，對于不在點格上的資本，則通過三次樣條插值計算相應的函數值。這一設置在大多數參數下兼顧了數值程序的運算時間和運算精度。值函數和策略函數的初始值均設為常數1，迭代精度設為10的負6次方。實際操作中，策略函數會較快收斂，利用這一點可以大大減少程序運行時間：先找到符合精度條件的策略函數，然后利用策略函數進行迭代，可以較快地找到值函數。

數值方法的第二步是求出式（11）中的V：找到值函數和策略函數后，考慮到經濟的穩態消費、穩態資本、穩態產出在一個范圍不大的區間內波動，V實際上是這一區間內福利水平的數學期望，因此可以用蒙特卡洛原理進行求解。設置一個初始資本水平，通過值函數確定當期福利水平，通過當期隨機數、當期沖擊變量和轉移概率確定下期沖擊狀態，通過策略函數確定下期資本，這一過程不斷重復下去，模擬出經濟的動態演變過程，計算每一期的值函數數值，最后計算值函數的平均值，就是我們尋找的福利水平V。經過多次嘗試，蒙特卡洛模擬次數設為1百萬期，可以兼顧大多數參數下數值程序的運算時間和運算精度。為方便后續分析，在數值模擬時也記錄了消費、投資、產出等主要經濟變量的均值和對數方差②V*可以用數值方法求出，也可以直接用理論推導得到，兩種方法得到的結果是相同的。。

2.2 基本參數

相對風險規避系數γ、時間折現系數β、資本折舊率δ分別按常見數值取為γ=2、β=0.95、δ=0.1。

2.3 資本產出彈性

資本產出彈性θ：資本產出彈性基本保持不變，是“卡爾多事實”所提煉的穩態增長的核心規律，被視為經濟增長典型事實之一，但這一規律只適用于發達國家，中國等發展中國家經濟呈現非穩態增長特征，不符合“卡爾多事實”。從國家宏觀層面、區域經濟層面、產業經濟層面的經驗研究表明我國勞動收入份額/資本收入份額的內在邏輯和數值變化具有自身發展的規律，由于我國經濟長期處于非穩態轉型期，經濟結構快速演化，要素市場的制度性改革不斷推進，生產要素的投入數量和市場價格存在一定程度的變化，要素份額和產出彈性也在發生階段性的變化：1995年以來，國民收入份額中資本份額呈增長趨勢，勞動力份額呈下降趨勢。由于這一問題蘊含著我國經濟轉型的獨特性，對要素份額和中國宏觀生產函數的研究一度是國內學界的熱點問題。

章上峰和許冰（2015）利用局部線性估計方法分析時變彈性生產函數的資本產出彈性和勞動產出彈性，較好地刻畫了我國經濟非穩態增長特征，這里直接利用他們的估計結果，將資本產出彈性設為0.5212。

2.4 轉移概率矩陣

用Cohort觀察法確定轉移概率P和沖擊參數A1、A2：將我國人均實際GDP（對數）進行HP濾波后分離出人均實際產出的波動項，見圖1。可以觀察到從1978—2016年期間，正向沖擊發生的次數N1=21，負向沖擊發生的次數N2=18，上期為正向沖擊下期也為正向沖擊的次數N11=17，上期為負向沖擊下期也為負向沖擊的次數，因此有P12=1-P11=0.1905，P21=1-P22=0.1765。沖擊幅度

圖1人均實際產出的波動

由馬爾可夫過程的遍歷性，轉移概率矩陣收斂于以下無條件概率：

2.5 數值結果

運行上文所述的數值分析程序，得到福利成本的初步測算結果，見表1。

表1 數值分析的初步測算結果 （單位：%）

根據表1，數值模擬得到的消費波動率和產出波動率和現實數據基本一致，數值模擬得到消費波動率為2.85%，因此按照盧卡斯公式，經濟波動的福利成本γ=0.5γσ2=0.06%。而在跨期模型下，經濟波動的福利成本約為年度消費的0.29%，兩相比較，跨期模型得到了更大的福利成本。

跨期模型與盧卡斯模型在理論邏輯上存在重要區別，理論邏輯上，盧卡斯模型中的消費為外生變量，經濟波動之所以造成福利損失，根本原因是個體效用的邊際遞減性質，消費的正向沖擊導致效用增加，負向沖擊導致效用下降，邊際效用遞減規律決定了向上的效用增加無法彌補同等程度的向下的效用下降。

與盧卡斯模型不同，本文中的消費是內生變量，是個體進行最優決策的自然結果。在本文的動態模型中，經濟波動首先體現于生產環節的波動性，并通過個體的跨期最優行為傳導到消費環節，最終影響了個體效用和社會福利。在這一框架下，產出波動不但影響消費波動，而且可能影響消費水平，這是消費內生的福利模型所沒有考慮到的一個因素。如果不考慮跨期最優問題，將消費視為外生變量，那么抹除經濟波動后的消費水平就是原消費序列的數學期望，這是盧卡斯模型下計算經濟波動福利成本的依據；如果考慮跨期最優問題，消費成為個體最優選擇的內生變量，則抹除經濟波動后的消費水平不再是原消費序列的數學期望，按照消費者最優選擇的模擬結果，前者往往大于后者，說明在考慮了跨期最優行為后，抹除經濟波動除了消除原消費序列的不確定性，還具有提升消費水平的效果，這是以盧卡斯模型為代表的消費外生模型所忽略的一個福利機制。正是由于這一原因，本文所得到的經濟波動福利成本估計結果不同于盧卡斯模型。

3 異質偏好下的經濟波動福利成本

根據上文的分析結果，轉型期我國經濟波動造成的福利損失總體上是較為溫和的，福利成本的數值結果大于盧卡斯所認為的“微不足道”水平（消費的0.01%數量級），同時小于盧卡斯所認為的“十分重要”水平（消費的1%數量級），本文的數值結果介于這兩種情形之間，達到消費的0.1%數量級，說明從中長期的視角，總體上我國政府對于經濟波動的宏觀管理是較為有效的。

對代表性個體的分析有助于考察宏觀經濟的全貌和總體特征，對異質性個體的分析則有助于考察經濟社會中不同群體的福利問題，本文重點考察兩類異質偏好：主觀時間偏好和風險態度。

主觀時間偏好很早就引起了經濟學者的注意，經濟學家費雪曾指出：“其他條件相同的情況下，低收入可能與較高的不耐心程度相關，這是由于（當事人）認為當前的利益十分重要，也是由于（當事人）缺乏遠見和自律。”在這里，費雪將主觀時間偏好（耐心程度和自律能力）與收入高低聯系在了一起，這與當代宏觀經濟學中跨期最優決策的理論邏輯是內在相通的：在跨期模型中，個體在約束條件下決定當期消費和當期投資的大小，當期消費與當前效用相聯系，當期投資與未來收入和未來效用相聯系，直覺上，較小的時間折現系數意味著個體更重視眼前的效用，這使得個體愿意犧牲一部分未來的收入來獲取暫時的滿足。因此，經濟個體越缺乏耐心和自律，則其未來收入就越低。

主觀時間偏好對經濟波動的福利影響尚未得到充分的討論：根據盧卡斯模型，經濟波動導致的福利損失取決于經濟波動的劇烈程度和個體的風險規避系數，如果消費波動保持穩定，則福利成本與時間偏好參數無關。但在考慮跨期選擇行為后，相同的產出波動下，不同時間偏好可能導出不同的消費波動，因此經濟波動的福利成本可能與時間偏好有關。

另一方面，風險態度一直是經濟波動福利成本中的關鍵參數，根據盧卡斯模型，經濟波動導致的福利損失與風險態度呈線性正相關關系：風險厭惡程度越大，則經濟波動的福利成本越大。本文試圖檢驗這一結論對跨期模型是否仍然適用。

基于以上思考，將時間折現系數β從0.75到0.95進行逐步取值，相對風險規避系數γ從2到5進行逐步取值，代入計算機程序進行數值分析，得到的主要數值結果見表2。表中福利成本λ1為盧卡斯模型結果，λ2為跨期模型結果。

表2 不同偏好參數下的數值結果

觀察表2的數值結果發現，關于時間折現系數如何影響經濟波動福利成本，盧卡斯模型和跨期模型的結論正好相反：盧卡斯模型中時間折現系數與福利成本為正相關關系，跨期模型中二者則為負相關關系。原因在于，隨著時間折現系數的增加，跨期消費得到的消費波動率逐漸下降，而消費波動率是盧卡斯模型測算福利成本的唯一變量，因此用盧卡斯模型得到的經濟波動福利成本也在不斷下降；與此不同，消費內生的跨期模型對抹除經濟波動的福利后果分析得更加全面，正如上文所分析的那樣，抹除經濟波動除了影響消費波動，還在一定程度上影響了消費水平，隨著時間折現系數增加，在更大的時間折現系數下，抹除波動對消費水平的提升效果更加明顯，因此盡管消費波動率在下降，由跨期模型得到的福利成本總體上是在增加的。這也再次驗證了本文的觀點：與消費內生的跨期模型相比，消費外生的盧卡斯模型得到的福利成本測算結果可能存在一定失真。

本文用圖2和圖3匯總不同偏好參數下的福利成本測算結果。其中圖2給出了不同時間偏好下的經濟波動福利成本，圖中曲線呈現明顯的向右上方傾斜的圖形特征，即福利成本隨著時間折現系數的增加而增加。

圖2不同時間偏好下的經濟波動福利成本

圖3不同風險偏好下的經濟波動福利成本

圖3則給出了不同風險態度下的經濟波動福利成本：對于時間折現系數較小的個體，如圖中β等于0.8與0.85的兩條曲線，曲線的圖形特征基本保持水平，此時風險態度對經濟波動福利成本的影響不大；而對于時間折現系數較大的個體，如圖中β等于0.9與0.95的兩條曲線，曲線呈現明顯的向右上方傾斜的圖形特征，意味著此時風險厭惡程度與經濟波動福利成本正相關。總體而言，當遭受同等程度的沖擊時，更加厭惡風險同時也更加有耐心的個體，承受了較高的福利損失。

4 結論

本文采用消費內生的跨期最優選擇框架，使經濟波動福利成本的分析邏輯具有了更好的微觀基礎，通過計算機程序的數值迭代方法求解最優策略函數和值函數，通過蒙特卡洛模擬進行仿真模擬，解決了在復雜福利機制下推導福利成本的解析解時所存在的困難。數值結果表明：總體上我國轉型期的經濟波動造成的福利損失是一個較為溫和的數字，福利成本的數值結果大于盧卡斯所認為的“微不足道”水平（消費的0.01%數量級），同時小于盧卡斯所認為的“十分重要”水平（消費的1%數量級），跨期模型的數值結果介于這兩種情形之間，達到消費的0.1%數量級，說明從中長期的視角，總體上我國政府對于經濟波動的宏觀管理是較為有效的。

值得一提的是，考慮與盧卡斯模型的可比性，本文在估計福利成本時采用了與盧卡斯模型相同的CRRA偏好，如果改變偏好形式或引入更多的市場不完全因素，福利成本的估計結果可能會繼續增加。在跨期選擇框架下如何進一步引入我國的經濟制度因素和經濟環境特征，更加深入地分析經濟波動的福利成本機制，是一個值得繼續討論的話題。